Уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме

Планетарная модель водородоподобного атома, сформулированная Бором, не является ни классической (поскольку допускает квантование), ни квантовой (поскольку квантование не объясняет). Объяснить квантование можно с помощью уравнения Шредингера.

Однако описание атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является сложной задачей. Это касается даже простейшего атома водорода и водородоподобных ионов. Поэтому ограничимся здесь качественным рассмотрением задачи, которая сводится к анализу движения электрона в кулоновском иоле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром заряда Ze задается формулой.

Здесь г — расстояние между электроном и ядром. Необходимо учитывать, что атом принципиально является трехмерной системой, и одномерным приближением для его описания обойтись нельзя. Поэтому стационарное уравнение Шредингера для водородоподобного атома записывается следующим образом:

Масса ядра на несколько порядков больше массы электрона, поэтому систему центра масс обычно можно считать привязанной к ядру. Поле, в котором движется электрон, является в этой системе центрально-симметричным.

Задачи такой геометрии удобно решать в сферической системе координат (рис. 37.1). В ней для точки М выбраны координаты г, 0, ср. Расстояние до начала координат г равно ОМ. Полярный (зенитный) угол 0 — это угол между осью Oz и радиусвектором г, который меняется в пределах от 0 до к. Азимутальный угол ф — это угол между осью Ох и проекцией радиус-вектора г на плоскость Оху, ко- Рис. 37.1 торый меняется в пределах от 0 до 2л. Переход к сферической системе от декартовой и обратно осуществляется по следующим из геометрии правилам:

После перехода к сферической системе координат решение уравнения Шредингера ищется в виде произведения трех составляющих, каждая из которых зависит от одной из сферических координат:

Решение уравнения Шредингера с трехмерным кулоновским потенциалом оказывается еще более сложным, чем в предыдущей задаче с одномерным потенциалом гармонического осциллятора. Аналогично предыдущим квантовым задачам поиск собственных волновых функций (с учетом естественных ограничений) приводит к получению дискретных собственных энергетических состояний. И каждая из составляющих волновой функции дает набор решений, характеризующийся своим квантовым числом: главным п, орбитальным / и магнитным т,.