Интегралы. 
Функции переменных

Вариант 2.

I. Вычислить интегралы Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:

Найдем, А и В:

Отсюда видно что, А и В являются решением системы:

Решим эту систему и найдем, А и В:

Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.

с помощью замены переменных Введем и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:

Возвращаемся к x:

Теперь вычисляем определенный интеграл:

Итак,.

3. методом интегрирования по частям.

Итак,.

II. Функции многих переменных.

1. Найти частные производные 1-го порядка.

2. Исследовать на экстремум функцию.

Найдем частные производные Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: ,.

Это равносильно следующему:

Вторая система не имеет вещественного корня.

t= 0 t=1.

y=1 y=-1.

x=1.

M0(0;0) и M1(1;1) — стационарные точки данной функции.

Теперь определим характер этих стационарных точек.

Найдем частные производные второго порядка этой функции.

В точке M0(0;0):

Так как <0, то экстремума в точке M0(0;0) нет.

В точке M1(1;1):

Так как >0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума, Причем этот экстремум-минимум.

III. Решить дифференциальные уравнения.

1. Решить уравнение с разделяющимися переменными Интегрируем правую и левую части уравнения:

После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:

2. Решить линейное уравнение 1-го порядка Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:

При этом:

После подстановки в исходное уравнение имеем:

Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:

Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:

:

Решение запишется в виде:

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:

где — общее решение соответствующего однородного уравнения, — частное решение.

Найдем.

Решим однородное дифференциальное уравнение Характеристическое уравнение для него:

Это квадратное уравнение.

d=36−100=-64 — дискриминант отрицательный, корни комплексные:

k1=3−4i; k2=3+4i.

Общее решение, следовательно, имеет вид:

.

где — константы.

Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:

где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25.

При этом, следовательно, частное решение ищем в виде:

Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:

Для нахождения коэффициентов, А и В решим систему:

A=0,07, B=0,16.

Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:

IV. Ряды Исследовать на сходимость ряд с положительными членами Рассмотрим ряд:

Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.

Теперь сравним члены ряда с членами ряда.

при n>4, значит ряд также сходится.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.

.

Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:

следовательно наш ряд расходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость:

Так как условия признака Лейбница выполнены данный ряд сходится условно.

3. Найти область сходимости функционального ряда.

перепишем его в виде:

Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.

Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда определяется сходимостью степенного ряда:, причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.

Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:

Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :

Итак, область сходимости функционального ряда :