Пусть Я. — некоторое кольцо с основными операциями сложения и умножения. Одним из основных методов построения новых алгебр и других алгебраических систем является метод производных операций. Так в случае ассоциативной ниль-алгебры (ниль-кольца) множество элементов вида 1 + а, где, а 6 относительно операции умножения образует группу, которая называется присоединенной к Д. Можно рассмотреть производную операцию «присоединенного умножения» аоЪ — а—Ъ—аЪ. В этом случае, с точностью до изоморфизма, получается та же самая присоединенная к Л группа. В ряде работ [20, 21, 22] А. И. Мальцев вводит и использует на ассоциативном кольце присоединённое умножение в связи с разложением алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, с вложением группы в присоединённую группу кольца и т. д. Благодаря указанной плодотворной связи колец и групп решены многие известные проблемы [2, 5, 6, 32]. Наряду с кольцом Л часто рассматриваются так называемые сг-операторные кольца [19]. Подмножество К множества Я называется <�т-допустимым, если для любого, а? а и к? К ка € К. В диссертации с помощью конструкции Голода-Шафаревича строятся ассоциативные сг-операторные ниль-алгебры и примеры не локально конечных р-групп с условиями конечности.
В наиболее общем виде метод производных операций был реализован А. И. Мальцевым в [21]. Он изучал связь между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами используя следующие операции. Если в ассоциативной алгебре, А над полем Ф определить умножение «о» как хоу = а&Ьуа + fjУgjxhj, где х, у Е, А и а^Ь^с^д^ — фиксированные элементы из А, то совокупность элементов Л относительно старой операции сложения и новой операции умножения «о» является алгеброй над Ф, но, вообще говоря, не ассоциативной.
Пусть В — неассоциативная конечномерная алгебра над полем Ф, и, А — алгебра матриц порядка п = сПтВ над Ф. Пусть на элементах алгебры, А определено новое умножение по формуле.
1оУ = ^ АаРХВа0УСа^.
Обозначим новую алгебру через .А^.
А.И. Мальцев доказал: всякая неассоциативная конечномерная алгебра В изоморфна подалгебре алгебры для определенным образом подобранных матриц АаР, Ва/3, Са (3 [21].
В общем случае им же было показано [21], что каждое неассоциативное кольцо С над произвольным кольцом операторов О изоморфно подколъцу подходящего ассоциативного 0,-кольца, в котором операция «о «определяется формулой х о у = аху или х о у = хуа.
Отметим, что операция хоу = хау сама является ассоциативной и не приводит к образованию неассоциативных колец, и что существуют алгебры конечного ранга, которые не вкладываются в конечномерную ассоциативную алгебру с помощью операций умножения х о у = аху или (= хуа) [21]. Например 3-х мерная алгебра с таблицей умножения е = еь &1&2 = 0, е2б1 = е2, е = е2 [21].
Как уже упоминалось, присоединённое умножение имеет непосредственное отношение к разложениям алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, квазирегулярным элементам и радикалам [2, 11, 13, 32]. Среди классических радикалов ассоциативных колец наиболее известны ниль-радикалы — нижний ниль-радикал Бэра, локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний ниль-радикал Кёте [2]. Из предложения 1.2 диссертации следует, что в ассоциативных кольцах не существует п-нильпотентного радикала, промежуточного между радикалом Левицкого и радикалом Кёте.
Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэли и алгебры Кэли-Диксона [13]. Хорошо известно, что подкольца альтернативного кольца, порождённые любой парой элементов, ассоциативны. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ = а+Ь+аЬ образуют квазигруппу — алгебраическую систему наиболее близкую к группам. Известно [2], [13], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать ¡-3{Я). В классе ассоциативных колец известен следующий факт (см. [11], глава 10): если Я — ассоциативное нилъ-колъцо с тождественным соотношением, то Р'2{Я) = ЯРешению вопроса о стабилизации цепочки бэровских идеалов в альтернативных кольцах с тождественными соотношениями посвящена глава 3 диссертации.
Производные операции на линейном пространстве ассоциативных алгебр изучал Альберт [34], ввёл понятия изотопа и гомотопа неассоциативной алгебры. Пусть неассоциативные алгебры Ао и, А имеют общее линейное пространство, на котором определены операторы умножения Тх и (для, А и Ао). Алгебры Ао и, А называются изотопными, если существуют невырожденные линейные отображения Р, ф, С, такие, что Тх®- = РГ^дС. Алгебра Ао называется изотопом А. Если хотя бы одно из преобразований Р, ф, С вырожденное, то А^ называется гомотопом А.
Дедловская М.И. [7] - [9] рассматривала гомотопы и изотопы (—1,1) алгебр относительно умножения, определяемого как х-ау = (ха)у. Ей доказано, что многообразие, порожденное свободной (—1,1) алгеброй с двумя образующими замкнуто относительно взятия гомотопа, т. е. вместе с каждой своей алгеброй содержит и любой ее гомотоп. При этом, изотоп свободной (—1,1) алгебры с тремя образующими лежит в многообразии Мз, порожденном свободной (—1,1) алгеброй с тремя образующими.
К. Маккримон [38] описывая квазирегулярный радикал йордано-вой алгебры, А над кольцом Я, определил гомотоп А^а определенный элементом а, как Я-модуль с умножением х-ау= (ха)у- (х, у, а), где (х, у, а) = (ху)а — х{уа). Он показал, что У (А) — квазирегулярный радикал есть множество Р (21(А) всех собственно квазирегулярных элементов алгебры А. Элемент называется собственно квазирегулярным, если он квазирегулярен в любом гомотопе А. В классе специальных йор-дановых алгебр справедливо следующее соотношение: х 'а У = ^ {{ха)у + х (ау)).
Эндоморфизм <р алгебры, А называется ¿—дифференцированием, если для любых х, у Е Я справедливо ху)(р = 8{{хф)у + х (уф)).
Таким образом естественно рассмотреть новую операцию на алгебре А, по аналогии с гомотопами йордановых алгебр, как х-у = {ху)<�р, где у — ¿—дифференцирование. Полученная структура А^ также была названа гомотопом алгебры А.
В.Т. Филиппов изучал ¿—дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [29] - [31]. Он показал, что в этих классах ¿—дифференцирования могут быть только тривиальные [30]. Следовательно гомотопы этих алгебр могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, так как существует простая неассоциативная, некоммутативная алгебра Новикова [16]. Как доказано в диссертации, существуют ненулевые гомотопы первичных и других алгебр Новикова.
Диссертация посвящена изучению алгебраических систем с производными операциями, заданных на основной алгебре (кольце): присоединённых групп ассоциативных ниль-алгебр, альтернативных нильколец, их радикалов, гомотопов и изотопов, алгебр Новикова.
В главе 1 приведены известные определения и результаты, используемые в дальнейшем.
В главе 2 исследуются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные нильалгебры, их присоединённые группы и группы Голода [5, 6]. Результаты главы доказаны в нераздельном и равном соавторстве с научным руководителем и опубликованы в [42]-[44]. Сформулируем основные результаты главы.
Теорема 2.1. Пусть для некоторой системы элементовд, д2, —-¡-дь нильалгебры, А справедливы равенства.
Тогда д = д2 =. = дь = 0. В частности, если ниль-алгебра, А конечно порождена, то она отлична от своего квадрата А2.
В [18] под номером 11.101. сформулирован следующий вопрос Ти-мофеенко A.B.: Существует ли группа Голода (см. 9.76) с конечным к.
3=1 центром? Положительный ответ на этот вопрос вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2.2. Если Р — группа Голода, то некоторая её факторгруппа является группой Голода и имеет тривиальный центр.
В параграфе 3 главы строятся ассоциативные нильалгебры с операторами.
Теорема 2.3. Для произвольных натуральных чисел 2 < d < п, подгруппы G группы GLn (p), конечного множества М натуральных чисел, содержащего вместе с числом все его делители, в алгебре F = Ф (х, ., хп) над Ф = GF (p) существует допустимый относительно G однородный идеал J С F^, для которого выполняются следующие утверждения.
1) Фактор-алгебра, А = F^/J есть бесконечномерная ниль-алгебра, в которой все (d— 1)-порождённые подалгебры нильпотентны;
2) Группа G есть группа операторов алгебры А;
3) Для любого подмножества D = {х^, ., Xid} С {xi, хп} фактор-алгебра A (D) = F1(D)/(F1(D) П J) есть бесконечномерная ниль-алгебра, в которой все (dm — 1)-порождённые подалгебры из A (D)m нильпотентны для каждого т € М;
4) Если однородные компоненты степени 1 многочленов gi,., gd? линейно независимы, то подалгебра, порождённая в, А образами многочленов gi,., gd, бесконечномерна.
Рожков A.B. в [23][С. 589] поставил следующий.
Вопрос. Пусть р — простое нечетное число, п — натуральное. Для всех ли пар р, п существуют финитно-аппроксимируемые конечно порожденные р-группы, являющиеся сопряженно п-конечными, но не би-примитивно конечные?
Как показано в предложении 2.4, при п > р таких групп нет, и для исчерпывающего ответа на вопрос A.B. Рожкова достаточно рассмотреть случай п = р — 1, р > 2.
Пример. Для каждого простого р > 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе < р, порождает конечную подгруппу.
В классе альтернативных колец радикал Бэра можно построить следующим образом:
Пусть ?'i{R) — сумма всех разрешимых идеалов кольца, если для всех порядковых чисел, а < 7 ?'a{R) уже определены, то ?'^R) — есть сумма полных прообразов разрешимых идеалов кольца R/?'a{R), если 7 — не предельное, и?! y® = U ?'aWi если, а — предельное. а< 7.
К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка идеалов, построенная выше, в классе альтернативных колец с тождественными соотношениями?
В главе 3 даётся ответ на этот вопрос и некоторые смежные вопросы. Результаты главы принадлежат диссертанту и опубликованы в [40].
Теорема 3.1. Пусть R — альтернативное ниль-кольцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда ?'?® ~ R.
Теорема 3.2. Всякий односторонний нильпотентный идеал альтернативного кольца порождает двусторонний нильпотентный идеал.
Следствие 3.3. Пусть Л — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе и, А — ниль-подкольцо в Я. Тогда (3(А) = А.
Следствие 3.4. Пусть Я, — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца и, А — ниль-подкольцо в И. Тогда @(А) = А.
Неассоциативная Ф-алгебра, А называется Ф-алгеброй Новикова, если в, А выполняются тождества х{уг) = у{хг), {х, у, г) = (х, л, у), где (ж, у, г) = (ху)г — х (уг) — ассоциатор элементов х, у, г (алгебры Новикова были впервые введены в [3]). В главе 4 диссертации рассматриваются гомотопы и изотопы алгебр Новикова, т. е. алгебры, полученные из алгебры Новикова, А посредством производной операции х • у = ху<�р на Ф-модуле А. Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с В. Т. Филипповым и опубликованы в [41].
Напомним определения. Через V^ обозначается алгебра, полученная из V с помощью производной операции коммутирования [х, у] = ху — ух. Г (У) — левый центроид алгебры V, т. е. централизатор алгебры Ь{у) — левых умножений алгебры V. А (К) — множество дифференцирований V и С (У) = ЩУ) П.
Теорема 4.1. Если, А — Ф-алгебра Новикова Е Ф), <р — произвольный элемент из С (А), то её гомотоп А, р является алгеброй Новикова.
Теорема 4.2. Если V — неассоциативная Ф-алгебра Е Ф), (р — произвольный обратимый элемент С (У), то её изотоп У^ является Ф-алгеброй Новикова тогда и только тогда, когда V является Ф-алгеброй Новикова.
Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое.
Теорема 4.3. Если, А — первичная Ф-алгебра Новикова (€ Ф), то Г[(А) — коммутативная подалгебра алгебры Епс1фА и выполняется равенство Г?{А) = С (А).
Теорема 4.4. Если, А — первичная Ф-алгебра Новикова Е Ф), — произвольный элемент из Г/(А), то её гомотоп А^ является алгеброй Новикова.
Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях «Алгебра и её приложения» (Красноярск, 2002 г.), «Алгебра и теория чисел» (Тула, 2003 г.), «Мальцевских чтения» (Новосибирск, 2003 и 2004гг) и семинаре «Алгебра и логика». Кроме того, они обсуждались на Красноярском городском семинаре «Алгебраические системы» и на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии.
Основные результаты диссертации опубликованы в [40] - [44].
Работа над диссертацией поддержана РФФИ (грант № 03−01−356) и ККФН (грант № 1Ш)201С).
Автор выражает благодарность научным руководителям В. Т. Филиппову и А. И. Созутову за постановку задач и внимание к работе.
и включение.
D (A) С М (А). (4.19).
Доказательство. Достаточно показать замкнутость Ф-подмодулей [Л, Л] и (Л, Л, Л) относительно умножения на элементы из Л.
Ввиду леммы 4.2 имеем Ьх? Д (Л^) для любого х? Л. Следовательно, в Л выполняется тождество z] = ^[ху, z] -f sz]. (4.20).
Отсюда ж[у,*]е[Л, Л], Л[Л, Л]С[Л, Л], у, г]х = ж[у, г] + [[у, г], х] е [А, А], [А, А]А С [Л, А].
Следовательно, выполняется равенство (4.17). В силу (1.10) г (ж, у, г) — (х, у, ¿-г) = ¿-(жуг) — *(ж (уг)) — + ж (у (¿-г)) = ху (гг) — г (г (уг)) — жу (*г) + ж (у (¿-г)) = -ж (¿-(уз)) + ж (у (¿-г)) = 0. Поэтому в, А выполняется тождество ж, у, г) = (ж, у,?г). (4.21).
Далее, в любой неассоциативной алгебре выполняется тождество Тейхмюллера: жу, г, ?) — (ж, уг, ?) + (ж, у, — ж (у, г, — (ж, у, = 0. (4.22).
В силу (4.21), ?(ж, у, <г) 6 (Л, Л, Л), т. е. Л (Л, Л, Л) С (Л, Л, Л). Отсюда и из (4.22) имеем включение ж, у, г)* = (жу, г, г) — (ж, уг, ?) + (ж, у, — ж (у, г, *) е (Л, Л, Л), и (Л, Л, Л) Л С (Л, Л, Л). Значит, выполняется равенство (4.18). В силу (1.11) и (1.10) имеем.
2(ж, у, г) = (ж, у, г) + (ж, у, г) = (ж, у, г) + (ж, г, у) = хуг — х (уг) + хгу — х (гу) = жу, г] + г[ху) — ж (у г) + у{хг) + [хг, у) — ж (гу) = = [жу, г] + ж (гу) — у{хг) + у (жг) + [жг, у] - ж (гу) = = [жу, 2] + [жг, у]. (4.23).
Отсюда получаем включение.
АДЛ) с [л, Л].
Наконец, из (4.17) и (4.18) вытекает включение (4.19). Лемма доказана.
Пусть •/Уг (У) — правоассоциативный центр алгебры V:
Я (У) = {пеУ-, (У, У, п) = о}.
Если п € ЛГГ (Л), то в силу тождества (1.11) выполняется равенство.
А, п, А) = 0. (4.24).
Лемма 4.4. Правоассоциативный центр Л^Г (А) алгебры, А является её идеалом и выполняется равенство.
М{АЩ{А) = 0. (4.25).
Доказательство. Пусть п? АГГ (А), х, у, г е А. По тождеству (4.21) и определению Лгг (Л) имеем ж, у, гп) = у, п) = 0. (4.26).
С другой стороны, применив последовательно (4.22), определение МГ (А) и тождества (1.11), (4.24), (4.21) и (4.24), получим равенства ж, у, яг) = -(жу, п, г) + уп, г) + ж (у, п, *)'+ (ж, у, п) г = х (уп)г = (ж, уп) = у{х, п, г) = 0. (4.27).
Из (4.26) и (4.27) получаем включение гп, пг € АГг (А). Следовательно, Л^(А) является идеалом алгебры А.
По определению А^Г (А) и (1.10), имеем х, у]п = жуп — ухп = х (уп) + (х, у, п) — у (яп) — (у, X, п) = х (уп) — у (хп) = 0. Отсюда и из леммы 4.3 следует тождество (4.25). Лемма доказана.
Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое.
Предложение 4.1. Если, А — первичная Ф-алгебра Новикова и |? Ф, то либо, А — ассоциативная коммутативная алгебра, либо АТГ (А) = 0.
Доказательство. Если, А является коммутативной, то по лемме 4.3 алгебра, А ассоциативна. Если, А не коммутативна, то М (А) ф 0 и по лемме 4.4 имеет место равенство А^Г (Л) = 0. Предложение доказано.
В связи с предложением 4.1 заметим, что существуют даже простые алгебры Новикова, которые не являются ассоциативными коммутативными алгебрами (см., например, [30]) и, следовательно, имеют ненулевой правоассоциативный центр.
Лемма 4.5. Если а{, Ьг (г = 1, .,&) — произвольные элементы из А, удовлетворяющие соотношению.
2{х, аг, Ь1) = 0, (4.28) г для любого х? А, то агоЪг? Иг (А). (4.29) г.
Доказательство. В дальнейшем знак суммы будем опускать, считая, что в формулах, содержащих повторяющийся индекс г, имеется ввиду суммирование по г от 1 до к.
Применив последовательно (4.22), (1.11), (4.28), (4.21), (1.11) и снова (4.21), получим равенства гсаг, Ьь у) = (ж, (фь у) — (ж, (Ц, Ъ[у) + х (щ, Ьг-, у) + (X, сц, Ьг) у = = (ж, у, (цЬ{) — (X, а-, бгу) + х ((ц, 6″, у) = = (ж, у, аф{) — Ь{(х, аи у) + (а4> жу) = = (ж, у, щЬ*) — Ьг (х, 2/, ец) + (а-, Ьь ху) = = (ж, у, — (ж, у, ^а*) + (а,-, Ь-, жу). (4.30) По (4.22), (4.28), (1.11), (4.21), (1.11) и (4.28) имеют место равенства ж, у, агЬг) — (ж, у, аг-)6г = (ж, уаг-, Ьг) — (жу, Ог, Ьг) + ж (у, аг, Ь{) = (ж, 6*, уаг) = у (ж, Ъь а,-) = у (ж, а*, Ьг) = 0.
Следовательно, ж, у, ОгЬг) = (ж, у, 0″)Ь*. (4−31).
Применив последовательно (1.11), (4.22), (4.21), (4.28), (1.11), (4.21) и (4.31), получим равенства жаЬ6г, у) = (ж ?*г, 2/Л) = (ж, агу, 6,-) — (ж, уЬг-) + ж (аг-, у, Ьг) + (ж, а,-, у) Ьг- = Йг (ж, у, Ь^) — у (ж, а*, Ьг) + ж (а, у, Ьг) + (ж, Щ, у) Ьг = = а,-(ж, у, Ьг) + ж (аг, у, Ьг) + (ж, О*, = = аг-(ж, у, Ьг) + (ж, у, аг) Ьг + я (а", у, Ьг) = = (ж, у, агЬг) + (ец, Ьг, жу) + (ж, у, Йг) Ьг = (ж, у, Oibi) = (Oj, 6i, жу) + (ж, г/, Ojbi) = = 2(ж, у, Oibi) + (fli, Ьг-, жу). Отсюда и из (4.30) имеем равенство ж, у, Ог&г) — (ж, у, fyo*) + (Of, 6*, Ж у) = 2(ж, у, Offy) + (Of, fcj, Жу), или, после приведения подобных, равенство ж, у, сы о bi) = 0. Следовательно, выполняется включение (4.29). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 4.4. В силу (4.2), Г/(А) — подалгебра алгебры Епс1ф (А). Пусть </?, ф — произвольные элементы из Г}(.А). По предложению 4.1 либо, А — коммутативная ассоциативная алгебра, либо Nr (A) = 0.
В первом случае, в силу (4.2) и коммутативности А, выполняются равенства ху<�рф = х (у<�р)ф = у (рхф = уср (хф) = = ж ф (уф) = ж фуф — у (хф)(р = ухфср = хуфцэ.
Следовательно, жy[ip, ф] = 0 и в силу (4.2) ж (у[<�р, V>]) = 0, у[<�р, ф] G Ann А. Но, в силу первичности A, Ann Л = 0. Поэтому у[ср, ф] = 0, [<р, ф] = 0 и алгебра Г}(А) коммутативна.
Ввиду коммутативности, А и (4.2) имеем ж, у] у? — херу + ytpx = -у (х<�р) + ж (уф) = ух (р + ж yip = 0.
Следовательно, ip 6 А (Л^), Г] (Л) = С (А) и теорема для рассматриваемого случая доказана.
Пусть, А не является коммутативной, тогда = 0. В силу.
4.2), (4.3) и (4.4), получаем равенства х, у, z[p, ф]) = (ж, у, z)[(p, ф] = (ж, у, г)<�рф — (я, у, г) уф = (я, У, щ) Ф ~ (ж, У^, = УФ, — (ж, УФ, = 0.
Значит, ^ Nr (A) и по предложению 4.1 имеют место равенства 0, [</?, i/>] = 0, и поэтому Г}(Л) коммутативна. Далее, в силу (4.3) и (4.4) имеем' УI ~ У<�Р, z) = (ж, у, — (ж, у, г) у? = 0.
Отсюда и из леммы 4.5 получим включение yozip — ytpoz Е Nr (A), и по предложению 4.1 имеем yozip—yipoz = 0. Это означает, что выполняется равенство (4.7). Поэтому € и выполняется (4.16).
Теорема доказана.
Замечание 4.2. Если <р Е Г/, то уоz<p — yipo z Е Nz (A) для любых y, zeA.
В заключение покажем, что можно дать определение первичности алгебр Новикова в более слабой форме.
Назовем алгебру V слабо первичной, если для любых идеалов Д, /2 алгебры V из равенств /i/2 = 0, hh = 0 следует, что-либо Д = 0, либо /2 = 0.
Лемма 4.6. В алгебре, А выполняются равенства.
D (A)Nr (A) = 0,.
4.32).
Nr (A)D{A) = 0.
4.33).
Доказательство. Равенство (4.32) следует из леммы (4.3) и леммы (4.4). Для любого п G iVr (yl), в силу (4.21) и леммы (4.4), имеем равенство п (х, у, z) = (х, г/, П2г) = 0. Отсюда, и из лемм 4.3, 4.4 следует (4.33). Лемма доказана.
Предложение 4.2. Ф-алгебра Новикова, А G Ф) слабо первична тогда и только тогда, когда, А — первична.
Доказательство. Ввиду леммы 4.6 либо алгебра, А ассоциативна, либо Nr (A) = 0.
В первом случае, если 12 — идеалы алгебры, А такие, что 112 = 0, то идеал /2/1 имеет нулевое умножение, и в силу слабой первичности, 121 = 0. Но тогда либо Д = 0, либо /2 = 0. Следовательно, алгебра, А первична.
Во втором случае, из равенства Iil2 = 0 и (1.10) для любых a G Д, Ъ G /2 вытекают равенства х, а, Ь) = xab — x (ab) = xab — a (xb) = 0.
По лемме 4.5 а о Ь G iVr (A) = 0. Следовательно, Ъа = —аЬ = 0, 121 = 0, то есть алгебра, А первична. Обратное очевидно. Предложение доказано.
