Этапы формирования математических моделей прогнозирования

Отбор информативных и независимых исходных показателей является подготовительным этапом моделирования и может иногда отсутствовать, если исследователь достаточно хорошо представляет,.

?4.

какие именно показатели X = {х₁, х₂, …, х_п} влияют на моделируемый показатель у.

Отбор информативных и независимых параметров может быть выполнен различными методами. Рассмотрим один из них — корреляционный анализ.

Суть корреляционного анализа заключается в установлении связи между показателем у и параметрами и X, а также между параметрами x_t и Xj вектора X = [х_ъ …, х_ь …, x_j9 …, х_п}₉ где i₉j = 1, n; i =? у.

Если обозначить через N размер выборочных статистических совокупностей показателя у и параметров X, то указанные совокупности можно представить в виде вектора Y размера N и матрицы X с числом строк N и числом столбцов п (число независимых параметров),.

Следует установить, насколько связаны между собой величины х* и Xj, а также влияет ли каждый параметр х, — на показатель у или выборка исходных параметров избыточна в том смысле, что часть их не связана с показателем у.

Установление таких связей выполняется по значениям коэффициентов парной корреляции r_yXi между у и х_;, где i = 1, п, и г_{Х (Х}. между величинами х, и х_;-, где i, j = 1, п,.

Здесь M (xj), М (у) — оценки среднеарифметических значений величин Xj и у генеральной совокупности:

а_Хг о_у — несмещенные оценки среднеквадратичных отклонений; a_Xi, Оу — соответственно несмещенные оценки дисперсий Х (и у:

Определение коэффициентов парной корреляции г_х._х. переменных Xj и Xj выполняется аналогично формуле (43) подстановкой х, — вместо у.

Определение всех парных коэффициентов корреляции позволяет получить корреляционную матрицу R размерностью (п + 1) X (п + 1). Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали и поэтому показана верхним треугольником

На основе анализа коэффициентов корреляционной матрицы отбираются информативные параметры X;, наиболее сильно влияющие на показатель у. Проверку значимости коэффициентов корреляции можно выполнить по статистическим критериям, если учесть, что выражение

подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы, А = N — 2 [7]. Обычно же в практических расчетах отбор значащих коэффициентов корреляции выполняется сравнением коэффициентов корреляции r_Xiy с пороговым значением, которое может быть выбрано в зависимости от решаемой задачи на основе экспертного анализа. Обычно связь считается существенной при _Xiy > 0,5.

Далее на основе корреляционной матрицы устанавливаются связи между параметрами х, — и х_;-. Если _XiXj > 0,8, то связи можно считать сильными, а параметры — зависимыми, и поэтому один из них должен быть отброшен. Как правило, отбрасывается параметр, имеющий меньшую связь с показателем у (менее информативный).

Выдвижение гипотезы о виде модели можно выполнить на основе графического построения у — /(7?) по выборочной совокупности. Вид зависимости показателя у от вектора исходных параметров X = {х_г, х₂, …, х_п} при большом числе параметров п определить сложно, так как весьма сложно выявить влияние каждого отдельного параметра. В таких случаях построение начинают с простейшей линейной модели вида у = а₀ + а₁х₁ + ••• + а"х_п.

В дальнейшем вид модели может быть изменен, если гипотеза о виде модели отвергнута.

Рис. 14. Оценка коэффициентов модели.

Оценка коэффициентов модели выполняется методом регрессионного анализа, основанного на методе наименьших квадратов. Сущность метода можно пояснить на простейшей модели

Обозначим выборочные ретроспективные значения прогнозируемого показателя через у;_в (показаны «х» на рис. 14), а их оценки по модели (48) через у₍-. Тогда разница значений y_iB и у* составит ошибку моделирования ?; в наблюдении i, i = 1, N; ?j = y_iB — yi. Очевидно, что наилучшими можно считать такие коэффициенты модели (48), при которых среднеквадратичная ошибка моделирования будет минимальной, т. е.

Теперь, если подставить в выражение (49) значение у; из выражения (48) и приравнять к нулю частные производные по коэффициентам, можно найти коэффициенты модели (48):

Для простейшей модели у = а₀ + а_гх выражения для оценки коэффициентов а₀ и а_г следующие:

В случае построения многомерных моделей вида y_iB — а₀ + + ?"= 1 cijXij + e_h i=, N, удобно перейти к матричной форме записи,.

где Y_B — вектор выборочных значений прогнозируемого показателя; X — матрица выборочных значений исходных параметров; А — вектор коэффициентов модели; Е — вектор ошибок моделирования, А :

Тогда по аналогии с одномерным случаем минимизируется суммарная погрешность моделирования Ф,.

отсюда при VO = 0 получается система нормальных уравнений.

Для оценки вектора коэффициентов модели А, нужно найти матрицу М^-1.

Для успешного обращения информационной матрицы она не должна быть особенной. Необходимость обращения информационной матрицы определяет требования к матрице выборочной совокупности параметров X: независимость параметров х* и Ху друг от друга; хорошая определенность параметров.

Независимость параметров х* и Ху друг от друга (столбцов матрицы X) проверяется на основе анализа коэффициентов парной корреляции г_х._х. и сопоставления их с пороговыми значениями.

Для хорошей определенности параметров необходимо, чтобы размерность выборки N была достаточно большой по сравнению с числом параметров п, N «п.

Вектор коэффициентов модели, А по сути представляет собой вектор средних значений или точечных оценок коэффициентов модели.

Для прогнозирования показателя у точечных оценок коэффициентов недостаточно, но по ним можно выполнить проверку статистической состоятельности гипотезы о виде модели.

Проверка состоятельности гипотезы о виде модели включает проверку адекватности модели и проверку отсутствия авторегрессии.

Проверка адекватности основана на проверке нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза отвергает гипотезу, положенную в основу моделирования, т. е. предполагает, что модель не улавливает закономерностей процесса. При этом оценка дисперсии с числом степеней свободы = N — 1 показателя у,

соизмерима с дисперсией ошибки 5″_ш с числом степеней свободы Л₂ = N — п,

Отношение дисперсий подчиняется распределению Фишера [7] (F-распределение, рис. 15). Задавая близкий к единице доверительный уровень р = 0,95; 0,99, можно определить по стандартному F-распределснию максимальное значение F_max, при котором еще подтверждается нулевая гипотеза, т. е. Sy и близки по значению друг другу и статистически неотличимы.

Рис. 15. Распределение Фишера.

При значениях F > F_max((3, А_х, А₂) дисперсия ошибки мала по сравнению с дисперсией показателя у и нулевая гипотеза отвергается, а следовательно, подтверждается гипотеза о виде модели.

В том случае, когда проверка по F-распрсделению удовлетворительна, модель принимается для дальнейшего исследования; если нет, то необходимо изменить или вид модели, или состав показателей для повышения адекватности модели. Плохая модель может быть также обусловлена наличием авторегрессионных связей. Под авторегрессионными связями понимается взаимозависимость ошибок соседних наблюдений. Проверка отсутствия авторегрессии выполняется по критерию Дарбина-Ватсона:

Если 1,5 < D < 2,5, то авторегрессия отсутствует; в противном случае ошибки соседних наблюдений ?; и ?*_! нельзя считать независимыми и следует учесть наличие авторегрессии (см. разд. 8.3).

Интервальные оценки коэффициентов модели выполняются после оценки их статистической значимости.

Статистическая значимость коэффициентов проверяется на основе выдвижения нулевой гипотезы, отвергающей статистическую значимость коэффициентов модели.

Для проверки значимости можно воспользоваться величиной т, определяемой как отношение случайной величины к ее ошибке с v степенями свободы, v = N — п.

Пусть т = a_t/S_a., где S_a. — ошибка коэффициента модели а*, которая может быть оценена по ошибке моделирования 5_0Ш и коэффициенту обратной информационной матрицы,.

Значение коэффициента т выбирается по стандартному распределению Стьюдента [7] (см. рис. 16).

Если нулевая гипотеза верна и коэффициенты модели незначимы, то их ошибка велика и статистически неотличима от самого коэффициента, т. е. т с высокой вероятностью мало (уровень значимости, а = 0,05 и менее, а уровень незначимое™ р = 0,95 и более, а + р = 1).

Рис. 16. Распределение Стьюдента.

Если теперь определить по стандартному распределению значение т_тах и сравнить его с расчетным значением, то можно утверждать, что при т_рас < т_тах нулевая гипотеза о незначимое™ коэффициентов подтверждается, а если т_рас > т_тах, го коэффициенты модели значимы и можно приступить к определению интервальных оценок или доверительных интервалов коэффициентов модели,.

^ai/S -^{> т}шах-

Введем понятие доверительного интервала Да; - вероятного отклонения коэффициента модели а;. Если коэффициент а; значим, то можно записать

При этом максимальное значение доверительного интервала Да* при р = 0,95 … 0,99 и v = N — т равно Да, = 5_а;т_тах.

Теперь регрессионная модель может быть записана с учетом интервальных оценок коэффициентов.

Прогнозирование, но регрессионной модели заключается в продлении тренда на требуемый прогнозный период и включает получение точечных и интервальных оценок прогнозируемого показателя.

Точечные оценки прогнозируемого показателя, или определение его математических ожиданий на перспективу, основаны на использовании модели с точечными оценками коэффициентов:

где j = N + 1,…, Т — прогнозируемый период, а — прогнозные значения параметра t, i — 1,2,…, п на год прогноза j.

Интервальные оценки прогнозируемого показателя, или определение доверительного интервала прогноза, выполняется на основе вычисления ошибок прогнозирования Sj на год прогноза j, где

здесь Ху — вектор-столбец прогнозных значений величин Х;у на год прогноза j.

Аналогично определению доверительных интервалов коэффициентов модели можно записать.

и максимальное значение доверительного интервала прогнозируемого показателя Y

Следует отметить, что при прогнозировании показателя на интервале прогнозирования от j = N + 1 до Т прогнозные точечные оценки и интервальные оценки по регрессионной модели могут быть найдены на любой год j независимо от предыдущих и последующих лет.