Дробный факторный эксперимент

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) проводится, когда пропущены некоторые сочетания уровней факторов. ДФЭ дает возможность при неизменном числе испытаний исследовать гораздо большее число факторов, чем ПФЭ. При этом не учитывается та информация, которая в данный момент несущественна. Как и ПФЭ, дробные планы строятся для двухуровневых экспериментов. С их помощью в многомерном факторном пространстве формируется гиперплоскость — линейная модель поверхности отклика.

Особенно широко используются ДФЭ, в которых теряется лишь информация о взаимодействиях изучаемых факторов. Такие ДФЭ подробно изучались Фишером и Йейтсом. Для исследования дополнительных факторов при неизменном числе опытов используется новый вектор-столбец, описывающий изучаемое взаимодействие.

Как мы видели ранее, при исследовании трех факторов по планам полного факторного эксперимента необходимо провести восемь различных опытов: п — 2³ = 8. Без учета взаимодействий линейная модель имеет вид.

Для оценки четырех параметров Ь_; этой модели следует получить четыре уравнения с этими неизвестными.

т.е. как минимум надо провести четыре опыта.

Опыты проводятся по следующему плану (табл. 11.2).

Таблица 11.2

Матрица планирования 2²

Используется матрица планирования полного факторного эксперимента 2², т. е. матрица для двух факторов с четырьмя опытами. Новому фактору z₃ соответствует вектор-столбец z_xz₂.

В общем случае максимальное количество факторов, которое может быть исследовано с помощью матрицы ПФЭ 2р, для линейной модели равно 2р — 1. План с предельным числом факторов для данной матрицы планирования 2р называется насыщенным. Таким образом, для трех факторов план 2² с четырьмя опытами является насыщенным (2² — 1 = 3).

Для рассмотренной ранее матрицы ПФЭ 2³ (см. табл. 11.1) максимальное количество факторов, которое может быть исследовано, равно семи (2³ — 1 = 7). В этом случае четыре фактора приравниваются к эффектам взаимодействия^ = z_xz₂, z₅ =z₁z₃, z₆ = z₂z₃, z₇ =ZjZ₂z₃. Дробность плана равна 2³/2⁷ = ½⁴ = 1/16. Данная матрица ДФЭ называется 1/16-репликой полного факторного эксперимента 2⁷, ее обозначают 2⁷-⁴ — для анализа семи факторов, четыре из которых приравнены к эффектам взаимодействия, проводится восемь опытов.

План ПФЭ 2³ можно использовать для анализа линейной модели с числом факторов, меньшим чем семь, например для модели с четырьмя факторами.

Здесь минимальное число опытов, определяемое количеством оцениваемых параметров (Ь₀, Ь_х, …, Ь₄), равно пяти. Так как 2² < < 5 < 2³, то используется план 2³, предназначенный для проведения восьми опытов. Один фактор z₄ приравнивается к эффекту взаимодействия z_xz₂. В этом случае матрица ДФЭ 2⁴-¹ является полурепликой ПФЭ 2⁴.

Полуреплика содержит половину опытов полного факторного эксперимента. Например, рассмотренный ранее план ДФЭ 2³⁻¹ (три фактора, четыре опыта) является полурепликой ПФЭ 2³, а матрица спектра плана 2³ содержит два повторяющихся спектра плана 2².

На практике редко пользуются полурепликой 2 ⁵⁻¹ (16 опытов), еще реже 2⁶⁻¹ (32 опыта) и т. д. — с ростом числа факторов обычно используют более дробные реплики.

Помимо рассмотренных матриц планирования существуют другие виды планов, отличающиеся числом уровней варьирования факторов и критериями оптимальности [19, 22]. Наиболее часто ищутся планы с минимальным числом опытов при заданной точности уравнения регрессии и планы, оптимизирующие точность уравнения регрессии.