Классическая задача оптимизации на условный экстремум

Пусть дана задача следующего вида: или: найти , такие что.

Основной подход к решению такого рода задач заключается в их предварительном сведении к задачам на безусловный экстремум. Наиболее очевиден следующий метод: решают систему уравнений (13.6) и получают значения т неизвестных; найденные значения подставляют в выражение (13.5), переходя тем самым к задаче на безусловный экстремум с (п — т) неизвестными (методы решения этой задачи описаны выше). При таком подходе сложность возникает уже при решении системы (13.6), которая в общем случае нелинейная, и можно получить лишь ее приближенное решение.

Более распространенным методом решения задачи (13.5),.

(13.6) является метод множителей Лагранжа. Суть его заключается в прямом сведении исходной задачи к эквивалентной ей задаче на безусловный экстремум за счет введения новых неизвестных — множителей Лагранжа. Вводится функция Лагранжа.

и формулируется задача.

где, А = (А_а, Х₂, Х_т) — неизвестный вектор множителей Лагранжа.

Ясно, что при выполнении условий (13.6) требование (13.8) эквивалентно требованию (13.5). Поэтому, решив задачу (13.8), т. е. найдя неизвестные векторы X* = (xl, x'2,…, x'n) иД* = = (A-i, А.2,…Дт), получим решение исходной задачи (13.5) —.

(13.6). Таким образом, введение множителей Лагранжа позволяет сводить заданную задачу к задаче на безусловный экстремум без проведения каких-либо вычислений. Платой за такую «простоту» является повышение размерности функции L (X, А) по отношению к W (X).

Рассмотрим следующий пример Пример 13.4 [5].

Требуется найти максимум функции при условии.

Решение. В соответствии с методом множителей Лагранжа сведем эту задачу к задаче на безусловный экстремум:

Теперь вместо задачи (13.9), (13.10) будем решать задачу (13.11). Сначала вычислим частные производные функции L (x_u х₂, Х_г) и приравняем их к нулю:

Решение этой системы уравнений дает следующий результат: лу = = 0,313, х₂ = 1,098, Aj = 2,196. Непосредственной проверкой убеждаемся, что точках* = (0,313, 1,098) обеспечивает максимум целевой функции W (x 1, х₂) = 1,678.