Дискриминантный анализ. 
Маркетинговый анализ: технология и методы проведения

Дискриминантный анализ включает в себя статистические методы классификации наблюдений в ситуации, когда исследователь уже обладает так называемыми «обучающими» выборками. В общем случае задача определения различий (дискриминации) формулируется следующим образом. Пусть результатом наблюдения над объектом является п — мерный случайный вектор х— (х_а, х₂, …, х_п). Требуется установить правило, согласно которому по виду вектора х объект относят к одной из возможных совокупностей. Правило дискриминации выбирается в соответствии с определенным принципом оптимизации на основе априорной информации о выборке, извлеченной из генеральной совокупности. При этом априорные вероятности оптимизации pi могут быть заданы, а могут и нет.

В практике маркетинга, используя дискриминантный анализ, исследователь пытается на основании изучения переменных целевой совокупности определить принадлежность объекта изучения к той или иной группе или кластеру. Это делает дискриминантный анализ похожим на регрессионный анализ, в котором также исследуются влияющие на результат переменные. Однако в отличие от регрессионного анализа в данном случае зависимые переменные могут быть заданы даже по номинальной шкале, что значительно упрощает анализ состояния группы потребителей и может широко использоваться на первичном этапе анализа, выделяя, скажем, портреты пользователей и не пользователей.

Наиболее часто дискриминантный анализ применяется, когда нужно определить степень различия двух или более групп друг от друга. В маркетинге это получило распространение под названием апостериорного сегментирования. Характерные задачи, решаемые с применением этого метода: отличия покупателей и не покупателей определенного типа товара; различия между лояльными и нелояльными потребителями (например, какой-либо марки); различия между покупателями с интенсивной и менее интенсивной степенью потребления продукта.

Основная идея дискриминантного анализа заключается в том, чтобы определить, отличаются ли совокупности по среднему какойлибо переменной (или линейной комбинации переменных), и затем использовать эту переменную, чтобы предсказать для новых членов их принадлежность к той или иной группе. Предположим, что имеется две совокупности выпускников средней школы — тех, кто выбрал поступление в вуз, и тех, кто не собирается это делать. Можно собрать данные о намерениях учащихся продолжить образование за год до выпуска и определить средние показатели по группам. Если средние для двух совокупностей (тех, кто в настоящее время собирается продолжить образование, и тех, кто отказывается) различны, то можно сказать, что намерение поступить в вуз, как это установлено за год до выпуска, позволяет разделить учащихся по группам с различными признаками и эта информация может быть использована маркетинговыми структурами вузов.

Таким образом, формируется задача определения «водораздела» между группами. Наряду с этим можно задаться вопросом, являются ли две или более совокупности значимо отличающимися одна от другой по среднему значению какой-либо конкретной переменной. Для изучения вопроса о том, как можно проверить статистическую значимость отличия в среднем между различными совокупностями, можно обратиться, например, к дисперсионному анализу. Если среднее значение определенной переменной значимо различно для двух совокупностей, то делают заключение, что переменная разделяет данные совокупности.

В случае одной переменной окончательный критерий значимости того, разделяет переменная две совокупности или нет, дает Е-критерий. Е-статистика по существу вычисляется как отношение межгрупповой дисперсии к объединенной внутригрупповой дисперсии. Если межгрупповая дисперсия оказывается существенно больше, тогда это должно означать значимое различие между средними.

где: Sf и Sf —оценки межгрупповой и внутригрупповой дисперсии одной и той же генеральной совокупности.

 — межгрупповая дисперсия (имеет п-к степеней свободы);

 — внутригрупповая дисперсия (имеет к-1 степеней свободы);

п — количество наблюдений, разбитых на к групп, в соответствии с определенным признаком;

— число наблюдений в j-й группе;

Ху —j-e наблюдение в i-й группе; х — общее среднее для всей совокупности;

Ху — среднее в j-й группе.

Для определения критического значения Е-критерия разработаны специальные таблицы Е-распределения. В этих таблицах указываются критические значения F-критерия для различных комбинаций числа степеней свободы числителя и знаменателя.

При применении дискриминантного анализа обычно имеется несколько переменных, и задача состоит в том, чтобы установить, какие из переменных вносят ощутимый вклад в дискриминацию между совокупностями. В этом случае имеем матрицу общих дисперсий, а также матрицы внутригрупповых дисперсий. Можно сравнить эти две матрицы с помощью многомерного F-критерия для того, чтобы определить, имеются ли значимые различия между группами (с точки зрения всех переменных). Эта процедура идентична процедуре многомерного дисперсионного анализа. Вначале можно сформировать многомерный критерий, и затем, в случае статистической значимости, посмотреть, какие из переменных имеют значимо различные средние для каждой из совокупностей. Поэтому, несмотря на то, что вычисления для нескольких переменных более сложны, применимо основное правило, заключающееся в том, что если производится дискриминация между совокупностями, то должно быть заметно различие между средними.