Дисперсионный анализ. 
Маркетинговый анализ: технология и методы проведения

При проведении исследования рынка часто встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проведя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы, на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять конкретные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия а² — мера вариации, определяемая как средний квадрат отклонений признака от среднего значения. Принципиальная схема вычисления дисперсии сводится к следующей последовательности:

1) определяется среднее арифметическое по всем наблюдениям, б;

2) для каждого наблюдения определяется его отклонение от среднего значения Xj-x;

• 3) затем это отклонение возводится в квадрат,
• 4) далее подсчитывается сумма квадратов всех отклонений,
• 5) затем полученная сумма делится на число произведенных наблюдений п.

В итоге получается следующая формула:

а) для не сгруппированных данньи

6) для сгруппированных данных

где: fj — частота повторения варианта признака; к — количество групп (если признаки сгруппированы) Наиболее часто встречающимся показателем вариации признака (показателя) является корень квадратный из дисперсии или среднеквадратичное (стандартное) отклонение а. Предположим, что исследуется сумма разовой покупки в торговой точке. В результате выполненных замеров выяснилось, что минимальная покупка составляет 30 рублей, а максимальная —190. Результаты приведены в таблице 7.23.

• 1. Средняя величина о =106,16.
• 2. Дисперсия а² = 633,576.
• 3. Среднее квадратичное отклонение а=25,17. Среднеквадратичное отклонение показывает, как группируются

единицы совокупности относительно средней арифметической. Независимо от формы распределения 75% значений признака попадают в интервал о±2ст, а по крайней мере 89% всех значений попадают в интервал б + За (из теоремы Чебышева). На основании данных таблицы 7.23 можно сделать вывод о том, что у 75% покупателей сумма покупки укладывается в интервал б ± 2а, т. е. от 55,82 до 156,50 руб.

Анализ размера покупки

Таблица 7.24

* Примечание: значение верхней границы интервала включается в следующий интервал в качестве нижней границы.

Дисперсионный анализ приобретает самостоятельное значение при оценке осуществимости расхождений нескольких средних величин, что позволяет подтвердить гипотезу о наличии связей между признаком, положенным в основу группировки и результативным признаком. В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяют на однофакторный и многофакторный.

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия 5². Она является мерой вариации частных средних по группам бj вокруг общей средней б_п и определяется по формуле: где к — число групп; п_; — число единиц в j-ой группе; б, — — частная средняя по j-ой группе; о₀— общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия о².

Между общей дисперсией а₀², средней из внутригрупповых дисперсий а² и межгрупповой дисперсией 5² существует соотношение:

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.

Рассмотрим ситуацию, когда необходимо выяснить влияние территориального расположения торговой точки на объем товарооборота в ней. Изучается поведение средних величин в зависимости от факторов среды фирмы. Данные представлены в таблице 7.25.

Таблица 7.25

Анализ торговых точек

Средний товарооборот всей совокупности магазинов составил:

(560 X 8 + 680 X 5 + 496 X12)/25 = 553,28 тыс. руб.

Межгрупповая дисперсия определяется как:

Вариация товарооборотов под влиянием всех прочих факторов, кроме месторасположения магазина буде характеризоваться величиной средней из внутригрупповых дисперсий а² = 5707,76, а вариация размеров товарооборота обусловленная влиянием всех факторов определяется величиной общей дисперсии.

Определим процентное соотношение межгрупповой дисперсии к общей.

Отсюда можно сделать вывод, что на 45,7% дисперсия товарооборотов объясняется различиями в месторасположении, а на 54,3% объясняется другими факторами. Делаем вывод, что на 50% размер товарооборота зависит от месторасположения магазина и 50% приходится на влияние остальных, не указанных конкретно факторов.

Проверка значимости. Проверка значимости в дисперсионном анализе основана на сравнении компоненты дисперсии, обусловленной межгрупповым разбросом 5² и компоненты дисперсии, обусловленной внутригрупповым разбросом о,². Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух выборках), то можно ожидать сравнительно небольшое различие выборочных средних из-за чисто случайной изменчивости. Поэтому при нулевой гипотезе, внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета групповой принадлежности.

Предельный размер отклонений внутригрупповой дисперсии от общей можно установить по таблицам F-распределения. Для расчета внутригрупповой дисперсии число степеней свободы равно п-к, где: п — общее число единиц наблюдений; к — число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии число степеней свободы равно 0с-1).

Если группировочный признак оказывает на вариацию результативного признака, то вариацию групповых средних нельзя считать обусловленной только случайными воздействиями. И это найдет отражение в различии величины межгрупповой и внутригрупповой дисперсии, т. е. F_pac4 =8²/aj², будет больше 1. Если при этом F_pac4 >F _хабл ^], то с заданной вероятностью (0,95; 0,99) можно утверждать, что между факторным и результативным признаками существует взаимосвязь.

В нашем примере F_pac4 =4800,9/5707,76 = 0,84.

Число степеней свободы для межгрупповой дисперсии 3−1 = 2.

Для внутригрупповой дисперсии 25−3 = 22.

^F табл. = ³>⁴⁴ — для 95%;

^F табл. = 5,72 — для 99%;

Ррасч. = 0,84 < F _табл =3,44.

Вывод о не существенности различия товарооборота в зависимости от местоположения не опровергается, а значит, влияние местоположения на товарооборот на является доминирующим. Существуют и другие существенные значимые влияющие факторы.