R и L параметры ИДМ при неравномерной плотности тока

Из рисунков 1.18 и 1.19 видно, что токи в катушке и диске изменяются практически синусоидально, но с затуханием. Для учёта влияния эффектов поверхностного и близости при расчёте параметров ИДМ примем допущение — токи в катушке и диске изменяются синусоидально без затухания. В этом случае влияние эффектов на R-L параметры ИДМ определяется эквивалентной глубиной проникновения электромагнитного поля в металл катушки и диска 5_Э.

Пока частота тока неизвестна, активные сопротивления диска, катушки R_K и их индуктивности L₍), L_K рассчитывались в предположении, что плотность тока в сечениях диска и витков катушки постоянна по всему сечению. Обычно полагают, что плотность тока постоянна, если ток в проводнике постоянный, либо переменный, но низкой частоты.

Установить является частота низкой или высокой для данного сечения можно по эквивалентной глубине проникновения электромагнитного поля в материал проводника. Если эквивалентная глубина 8_Э больше размеров сечения, то частоту можно считать низкой для этого сечения.

Эквивалентная глубина проникновения ноля в проводник определяется по формуле [ЛЗ].

где со — угловая частота тока (переменного электромагнитного поля), 1/с; // - магнитная проницаемость материала проводника, Гн/м; J-! р — удельная объёмная электропроводность материала проводника (величина, обратная удельному объемному сопротивлению), 1/Омм.

Так как материалы диска и катушки могут быть различными, эквивалентные глубины проникновения поля в диск и катушку при одной и той же частоте, также могут быть различными. Для того, чтобы различать их, введены обозначения эквивалентной глубины проникновения поля для диска — 8 $, для катушки — 8_К.

На рис. 1.20,а показано поперечное сечение проводника диска, помещённого в среду с переменным электромагнитным полем. Вектор напряжённости Н переменного магнитного поля параллелен поверхности проводника. Мгновенное направление вектора Н обозначено стрелкой, а тока — символом «+» .

Рис. 1.20.

Напряжённость магнитного поля Н создаётся током катушки, и изменяется во времени по гармоническому закону. В проводнике (в диске ИДМ) наводится гармонический ток. На поверхности диска плотность тока j_m максимальна, а по мере удаления от неё на расстояние д; плотность тока j уменьшается по экспоненциальному закону [ЛЗ].

где х — расстояние от поверхности проводника, м; 5_Э — эквивалентная глубина проникновения электромагнитного поля в проводник, м (см. (1.33)).

В теории электромагнитного поля понятие «эквивалентная глубина проникновения поля (тока)» в проводник определяется следующим образом.

При протекании тока в проводнике с сечением h’xt (на рис. 1.20, а это сечение закрашено) с плотностью тока, изменяющейся по экспоненциальному закону (1.34), в проводнике выделяется мощность Р. Точно такая же мощность Р выделяется в проводнике с сечением 8_Э х/ (на рис. 1.20,6 этот слой закрашен) при условии, что в слое толщиной о_ЭУ т. е. в слое толщиной, равной эквивалентной глубине проникновения электромагнитного поля, протекает ток с постоянной плотностью, равной j_m/12, а в остальном сечении (h-8₃)*t ток — отсутствует.

Учтём дополнительно, что плотность тока в диске вдоль радиуса (вдоль размера t на рис. 1.20) можно принять постоянной, не зависящей от радиальной координаты диска. Это поясняется следующими соображениями.

Диск — это массивный виток. Он расположен рядом с катушкой (см. рис. 1.14,а, рис. 1.21,а). В катушке ток меняется по гармоническому закону. Ток катушки не зависит от радиальной координаты, так как во всех последовательно соединённых витках и с малыми, и с большими радиусами ток один и тот же. В этом случае каждый виток наводит один и тот же «свой» ток в той близлежащей области диска, которая находится рядом с этим витком. Таким образом, в диске наводится ток, который принудительно распределён вдоль радиуса так же, как и ток в катушке, т. е. приближённо можно считать плотность тока в диске не зависящей от радиальной координаты. В действительности такое «идеальное» распределение плотности тока в диске вдоль радиуса не соблюдается, но в первом приближении для расчёта параметров ИДМ его можно принять.

Таким образом, при гармонических токах в диске в сечении с размерами о_эх? (рис. 1.20,б), т. е. в слое толщиной 8_Э, равной эквивалентной глубине проникновения поля в диск, плотность тока можно считать постоянной. Но ток в этом сечении производит точно такое же тепловыделение, что и при реальной плотности тока, изменяющейся по экспоненциальному закону (рис. 1.20,я). Эго обстоятельство позволяет рассчитывать активное сопротивление диска и его индуктивность не по полному, как на рис. 1.20,а, а по расчётному сечению проводника 8₃xt как на рис. 1.20,б.

Следовательно, если эквивалентная глубина проникновения поля в диск ИДМ меньше осевого размера диска o_dd (рис. 1.21,а), то в формулах для расчёта сопротивления (1.6) и индуктивности (1.9, 1.9,а) следует заменить осевой размер диска h^ на расчётный осевой размер h_dp (рис. 1.21,6), равный эквивалентной глубине проникновения поля в диск 8 $. Если эквивалентная глубина больше осевого размера диска 8_д > h_d, то сопротивление и индуктивность диска в указанных формулах рассчитываются по реальному осевому размеру /г₍₎.

Рассуждая аналогично, приходим к выводу: если эквивалентная глубина проникновения поля в витки катушки ИДМ меньше осевого размера катушки 8_К K (рис. 1.21,а), то в формулах для расчёта сопротивления (1.7, 1.8) и индуктивности (1.9, 1.9,я, 1.12) катушки следует заменить размер h_K на расчётный осевой размер 1г_кр (рис. 1.21,6), равный эквивалентной глубине проникновения поля в катушку 8_К, а если 8_К > h_K, то в указанных формулах размер h_K сохраняется.

Взаимная индуктивность катушки и диска ИДМ с учётом неравномерной плотности токов в сечениях может быть рассчитана по методу ряда Тейлора по формуле (1.12). Если эквивалентные глубины проникновения поля в катушку 8_К и диск 8_д меньше их осевых размеров h_K и /^, то взаимную индуктивность массивных витков М_ш следует рассчитывать по (1.15) для расчётных осевых размеров этих витков h_Kp и h_()p (рис. 1.21,в).

Так как токи в катушке и диске направлены в противоположные стороны, плотности токов стягиваются к зазору между катушкой и диском.

(рис. 1.21,я). Чем меньше зазор s0, тем больше стягивание тока, тем больше влияние зазора на взаимную индуктивность массивных витков (рис. 1.21,в).

Рис. 1.21.