Глобальная разрешимость и двухмасштабное усреднение системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского

Исследованию моделей движения вязкой сжимаемой среды посвящено большое число работ. Значительный интерес к ним обусловлен многообразием постановок, сложностью их решения и многочисленными приложениями.

Достаточно полная теория глобальной по времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты х и времени t. В 1968 г. Я. И. Канель [27] впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [41], [42] и А. Тани [51].

Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова [16], [23], [24], и его учеников В. В. Шелухина [26], В. Б. Николаева [25]. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T. Nagasawa [46], [47], S. Kawashima и T. Nishida [43]. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А. В. Кажиховым, В. Б. Николаевым, S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида (уравнения реального газа) рассматривали А. А. Амосов, M. Okada, S. Kawashima, B. Kawohl, D. Hoff, S.Jiang.

Интересный и сложный случай разрывных данных (начальных данных, граничных данных, свободных членов и др.) исследован в работах А. А. Амосова, А. А. Злотника, В. В. Шелухина, D. Serre, D. Hoff, R. Zarnowski, H. Fuijita Yashima, M. Padula, A.Novotny. Наиболее законченные результаты получены в работах А. А. Амосова и А. А. Злотника [6], [9], [7], [8], [12].

Исследования уравнений динамики вязких сжимаемых сред продолжались в направлении усложнения моделей (введения новых уравнений и исследования сред с более сложными свойствами) и снижения требований к гладкости данных задач.

В последнее время значительный интерес уделяется изучению задач динамики материалов, демонстрирующих нелинейную упругопластичность, так называемых материалов с памятью. К ним относится, например, ряд сплавов. Особенностью их поведения является то, что зависимость упру-гопластического напряжения от деформации не может быть записана как однозначная функциональная зависимость, поскольку значение напряжения в фиксированный момент времени зависит от всей предыстории деформации. Для подобных материалов имеют место характерные эффекты остаточного напряжения и остаточной деформации.

Операторы, служащие для описания подобной зависимости, называются гистерезисными операторами. Первым фундаментальным трудом по теории гистерезисных операторов стала книга М. А. Красносельского и A.B. Покровского [29], вышедшая в 1983 году. Позднее появились монографии [37],.

44], [52], [38]. В них содержатся и результаты о разрешимости начально-краевых задач механики невязких сред, в которых связь между напряжением и деформацией описывается гистерезисными операторами.

Простейшей моделью теории гистерезисных операторов является стоп-оператором (также называемый упором). На его основе определяется оператор Прандтля-Ишлинского, более корректно отражающий поведение реальных упругопластических материалов. Исследование свойств этих операторов продолжается и в настоящее время, см. например [35], [39], [45], [49].

В 1983 г. Н. С. Бахваловым и М. Э. Эглит [17] (см. также [33], [18]) была рассмотрена задача усреднения системы уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстро осциллирующими свойствами, и с помощью метода формальных асимптотических разложений были выведены новые уравнения движения. Предельная система оказалось нестандартной, интегро-дифференциальной. В ее уравнениях «быстрая» переменная? не исчезла полностьюв математической теории усреднения такие уравнения принято называть двухмасштабными усредненными (G. Allaire [34]). В 1991 к таким же уравнениям для баротропного газа пришел D. Serre [50].

Строгое обоснование двухмасштабного усреднения для некоторых моделей движения вязких сжимаемых сред дано в работах А. А. Амосова и А. А. Злотника [8], [10], [И], [14], [15].

Проблема обоснования усреднения задач динамики материалов с памятью еще недостаточно исследована. Отметим работу J. Francu и P. Krejci [40], в которой была рассмотрена задача усреднения в случае отсутствия вязкости и при гладких данных.

Целью данной работы является исследование глобальной однозначной разрешимости неоднородных начально-краевых задач для систем уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлин-ского и строгое обоснование двухмасштабных усредненных уравнений Бахвалова-Эглит.

1. Амосов A.A. О слабой сходимости одного класса быстроосциллирую-щих функций // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вып. 1. С. 145 -150.

2. Амосов A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение // Дисс. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1997.

3. Амосов A.A., Гошев И. А. Глобальная однозначная разрешимость уравнений одномерного движения вязкоупругопластического материала Ишлинского // Докл. РАН. 2006. Т. 110. № 5. С. 1−5.

4. Амосов A.A., Гошев И. А. Глобальная однозначная разрешимость системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Дифференц. уравнения. 2007. № 6. Т.43. С.760−779.

5. Амосов A.A., Гошев И. А. Обоснование двухмасштабного усреднения системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2007. № 6. Т.47. С.988−1006.

6. Амосов A.A., Злотник A.A. Обобщенные решения «в целом «уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301. N 1. С. 11−15.

7. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Матем. заметки. 1994. Т. 55. N 6. С. 13−31.

8. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость «в целом» квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1994. Вып.4. С. 7−24.

9. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость «в целом» одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными // Днфференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 4. С. 596−609.

10. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1123−1131.

11. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1995. Т. 342. N 3. С. 295−299.

12. Амосов A.A., Злотник A.A. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1997. N 4. С. 3 19.

13. Амосов A.A., Злотник A.A. О свойствах обобщенных решений одномерных линейных параболических задач с негладкими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 83−95.

14. Амосов A.A., Злотник A.A. О квазиосреднении системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстроосцил-лирующими данными // Журн. Выч. Мат. и Мат. Физ. 1998. Т. 38. № 7. С. 1204−1219.

15. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование двухмасштабного усреднения уравнений одномерной нелинейной термовязкоупругости с негладкимиданными // Журн. Выч. Мат. и Мат. Физ. 2001. Т. 41. № 10. С. 1713−1733.

16. Антонцев С. Н., Кажихов A.B., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск. Наука. 1983.

17. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. № 4. С. 836−840.

18. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

19. Гошев И. А. Глобальная однозначная разрешимость двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2006. № 6. С. 32−48.

20. Гошев И. А. Дополнительная гладкость решений двухмасштабной усредненной задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2008. № 6. С. 46−58.

21. Гошев И. А. Оценка погрешности двухмасштабного усреднения задачи о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского // Вестник МЭИ. 2009. № 6 (принято к печати).

22. Ишлинский А. Ю. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв. АН СССР. ОТН. 1944. № 9. С. 580−590.

23. Кажихов A.B. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 45−61.

24. Кажихов A.B. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственностьи стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 3. С. 70 80.

25. Кажихов A.B., Николаев В. Б. К теории уравнений Навье Сгокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т.246. N 5. С. 1045−1047.

26. Кажихов A.B., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // ПММ. 1977. Т. 41. N 2. С. 282−291.

27. Канель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. ./V 4. С. 721−734.

28. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функцрш и функционального анализа. М.:Наука, 1976.

29. Красносельский М. А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.:Наука. 1983.

30. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974.

31. Сакс С. Теория интеграла. М.: Изд-во иностр. лит. 1949.

32. Эванс Л. К., Гариепи Р. Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск. Научная книга. 2002.

33. Эглит М. Э. Об усредненном описании процессов в периодических упругопластических средах // Механика композитных материалов. 1984. № 5. С. 825−831.

34. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23. P. 1482−1518.

35. Ambrosio L., Fusco N. and Pallara D., Functions of Bounded Variationand Free Discontinuity Problems, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford, 2000.

36. Amosov A., Goshev I. On two-scaled homogenized equations of Ishlinskii body logitudinal vibrations with rapidly oscillating nonsmooth data // Comptes rendus Mecanique. 2006. Vol 334/12. P.713−718.

37. Brokate M., Sprekels J. flysteresis and Phase Transitions. Appl. Math. Sci. Vol. 121. Springer-Verlag. New-York. 1996.

38. Drabek P., Krejci P., Takac P. Nonlinear differential equations. CRC Press. 1999.

39. Folland G.B., Real Analysis, Modern Techniques and Their Application, 2nd Edition, Pure and Applied Mathematics, John Wiley k Sons, New York, 1999.

40. Francu J., Krejci P. Homogenization of scalar wave equations with hysteresis. WIAS, Berlin. 1999. Preprint.

41. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // J. Math. Kyoto Univ. 1974. N I. P. 129−177.

42. Itaya N. A survey on the generalized Burger’s equation with a pressure model term // J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16. N1. P. 223−240.

43. Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases // J. Math. Kyoto Univ. 1981. V. 21. P. 825−837.

44. Krejci P. Hysteresis, Convexity and Dissipation in Hyperbolic Equations. Gakuto Int. Series Math. Sci,&Appl., Vol. 8, Gakkotosho, Tokyo. 1996.

45. Krejci P. and Laurcngot P., Generalized variational inequalities, J. ConvexAnal. 9 (2002), pp. 159−183.

46. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary// J. Diff. Equat. 1986. V. 65. P. 49−67.

47. Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas // Japan J. Appl. Math. 1988. V.5. P. 53−85.

48. Prandtl L. Ein Gedankenmodel zur knetishen Theorie der festen Korper // ZAMM. 1928. V. 8. P. 85−106.

49. Recupero V., On locally isotone rate independent operators, Appl. Math. Letters 20 (2007), pp. 1156- 1160.

50. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite d’un fluide visqueux compressible // Physica. Ser. D. 1991. V. 48. P. 113−128.

51. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1974. V. 10. N 1. P. 209−233.

52. Visintin A. Differential Models of Hysteresis. Springer, Berlin-Heidelberg. 1994.