ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΎΠΊΡΠ°Π²
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² (Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ), ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΠ²ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ (Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ) ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ E (ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ). Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π² Ρ Π»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΎΠΊΡΠ°Π² (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ³Π»Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
§ 1.Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π², Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ
1.1 ΠΠ΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²
1.2 ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²
§ 2. ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ± ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°Ρ
2.1 ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°ΠΌΠΈ
2.2 Π‘ΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
2.3.ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²
§ 3. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΡΠ²ΠΈΡΠ°
3.1 ΠΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
3.2 Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΡΠ²ΠΈΡΠ°
§ 4. ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π€ΡΠΎΠ±Π΅Π½ΠΈΡΡΠ° Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡΡ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΡΡΡ Π. ΠΠ°ΡΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Π»ΠΎ Π²ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅- «ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½Ρ Ρ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΌ ΡΠ·ΡΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ, Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ·ΡΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ²… Π Π²ΠΎΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΊ ΡΠ·ΡΠΊΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π΄Π΅ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ·ΡΠΊΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ, ΠΊΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π» Π΅Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ» .
ΠΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ — Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΎΠΊΡΠ°Π².
Π¦Π΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡΠ²ΡΡΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π², Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠ²ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΡΡΠΌΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ΅Π», Ρ. Π΅. Π½Π°Π΄ (1, i, j, k, E, I, J, K).ΠΠ΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π² Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΡΡΡΡ ΠΌΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΊΠ·ΠΎΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π² Π½ΠΈΡ Π½Π΅Ρ. ΠΠΏΡΠΎΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ, ΡΠΎ Π² ΠΊΠΎΡΠΌΠΎΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ Π·Π° Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΆΠ΅ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ «ΠΆΠΈΠ²ΠΎΠ³ΠΎ» Π½Π΅Ρ. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ — Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΎΠΊΡΠ°Π². ΠΠ»ΠΈ, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅, ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠ°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π€ΡΠΎΠ±Π΅Π½ΠΈΡΡΠ°, ΠΎΠ½Π° ΠΆΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΡΠ»ΠΈ-ΠΠΈΠΊΡΠΎΠ½Π°.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ.
ΠΠΊΡΠ°Π²ΠΎΠΉ — Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΡΠ»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ²:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ:
O — ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°,
Q — ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ,
E — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°. .
ΠΠΊΡΠ°Π²Ρ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ, ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠ»Ρ Π½ΠΈΡ , ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π€ΡΠΎΠ±Π΅Π½ΠΈΡΡΠΎΠΌ.
ΠΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΈΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅. ΠΠ²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — Π΄ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΡ Π² ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠΊΡΠ°Π²Π°, ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°Ρ . ΠΠ»ΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΏΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ
ΡΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
.
§ 1. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π², Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ:
I. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° — Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°;
II. Π’Π΅Π»ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅Π»ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ;
III. Π΅2 = -1 ΠΈ Π΅? i, Π΅? j, Π΅? k;
IV.ΠΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ°Ρ ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΅, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠΎΠΉ .
1.1 ΠΠ΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²Π°. ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ K x K = (u, v), Π³Π΄Π΅ Π — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, (u1;v1) = (u2;v2) u1 = u2 v1 = v2.
ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π Ρ K ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:
(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 + u2; v1 + v2);
(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 — v2v1; v2 u1 + v1 u2).
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π΅ΡΡΡ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°.
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ (Π x Π, +) Π΅ΡΡΡ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°.
1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 + u2; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 + u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +(u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3; v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),
Ρ.Π΅. ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² (Π Ρ K, +) Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ.
2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 + u2; v1 + v2) = (u2 + u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1),
Ρ.Π΅. ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² (Π Ρ K, +) ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ.
3) Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
(u; v) + (x; y) = (u; v);
(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v; x = 0, y = 0, Ρ. Π΅. (x; Ρ) = (0;0).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π² (Π Ρ K, +) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ° (0; 0). ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ (0; 0) = 0U.
4) Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
(u; v) + (x; y) = (0; 0):
(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, Ρ. Π΅. (x; Ρ) = (- u; - v) ΠΈΠ»ΠΈ -(u; v) = (- u; - v).
ΠΠ· 1), 4) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° (Π Ρ K, +) Π΅ΡΡΡ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° (Π Ρ K, +, .) Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅.
5) ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π²Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°.
Π‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 + u2; v1 + v2) (u3; v3) = ((u1 + u2) u3 — 3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)u3) = (u1 u3 + u2 u3 — 3v1 — 3v2; v3u1+ v3u2+ v1 u3 + v2u3).
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
(u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3) = (u1u3 — 3v1; v3u1 + v1u3)+(u2 u3 — 3v2; v3u2+ v2u3)=(u1 u3 — 3v1 + u2 u3 — 3v2; v3u1 + v1u3 + v3u2+ v2u3).
Π‘ΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3),
Ρ.Π΅. ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
(u3; v3) ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) (u2; v2) + (u3; v3) (u1; v1).
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
(u3; v3) ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) v (u2+ u1; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); ()v3;
(v1+ v2)u3+ v3())= (u3 u1 + u3u2 —1v3 — 2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3u1+ v3u2);
Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
(u3; v3) (u1; v1) +(u3; v3) (u2; v2) = (u3 u1 — 1v3; v1 u3 + v3u1)+ (u3 u2 — 2v3; v2 u3 + v3u2)= (u3 u1 — 1v1 + u3 u2 — 2v3; v1 u3 + v3u1 + v2 u3 + v3u2).
Π‘ΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ .
6) ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 u2 — 2v1; v2 u1 + v1 u2) (u3; v3) = ((u1 u2 — 2v1)u3 —3(v2 u1 + v1u2);
v3(u1 u2 — 2v1) — (v2 u1 + v1u2) u3) = (u1 u2 u3 — 2v1u3 —3v2 u1 —3v1u2; v3u1u2 — v32v1 — v2 u1 u3 — v1u2 u3).
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
(u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) = (u1; v1) (u2u3 — 3v2; v3u2 + v2u3) = (u1 (u2u3 — 3v2) — v1;
v1+ (v3u2 + v2u3) u1) = (u1u2u3 — u13v2 -v1 — u32v1; v1— v12v3 + v3u2 u1 + v2u3 u1).
ΠΠ· ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3)? (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3))
Ρ.Π΅. ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ.
7) Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
(u1;v1) (u2;v2) = (u1u2 — 2v1; v2 u1 + v1 u2);
(u2;v2) (u1;v1) =(u2u1 — 1v2; v1 u2 + v2 u1).
Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ
(u1;v1) (u2;v2)? (u2;v2) (u1;v1)
Ρ.Π΅. ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ.
8) ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2))
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π² Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1 u2 — 2v1; v2 u1 + v1 u2) (u2; v2) = ((u1 u2 — 2v1)u2 —2(v2 u1 + v1u2);
v2(u1 u2 — 2v1) — (v2 u1 + v1u2) u2) = (u1 u2 u2 — 2v1u2 —2v2 u1 —2v1u2; v2u1u2 — v22v1 — v2 u1 u2 — v1) = (u1 u2 u2 — 2v1 (u2 + u2) — |v2|2 u1; v2u1 (u2 + u2) — v1— |v2|2v1) .
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
(u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2)) = (u1; v1) (u2 u2 — 2v2; v2 u2 + v2 u2) = (u1(u2 u2 — 2v2) -()v1;
v1 () + (v2 u2 + v2 u2) u1) = (u1u2 u2 — u12v2 -v1 — u22v1;
v1— v12v2 + v2 u2 u1+ v2 u2 u1) = (u1 u2 u2 — (u2 + u2) 2v1 — u1|v2|2; (u2 + u2) v2u1 + v1 — v1|v2|2).
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ 2v2 = v22 = |v2|2 ΠΈ u2 + u2 — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 8) ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ.
9) ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1).
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π² Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = (u2; v2) (u2u1 — 1v2; v1 u2 + v2 u1) = (u2(u1 u2 — 2v1) — v2;
(v1 u2 — v2 u1) u2 + v2) = (u2u1 u2 — u21v2 -v2 — u12v2; v1u2u2 + v2 u1 u2 + v2 — v22v1) = (u2u1 u2 — u1 |v2|2 — (u2 + u2) 1v2; v1u2u2 + v2 u1(u2 + u2) — |v2|2 v1).
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1) = (u2 u2 — 2v2; v2 u2 + v2 u2) (u1; v1) = ((u2 u2 — 2v2) u1 — 1(v2 u2 + v2 u2);
v1(u2 u2 — 2v2) + (v2 u2 + v2 u2) u1) = (u2 u2 u1— 2v2 u1 — 1v2 u2 — 1v2 u2; v1u2 u2 — v12v2 + v2 u2 u1 + v2) = u2 u2 u1 — 1v2(u2 + u2) — |v2|2u1; v1u2 u2 — v1 |v2|2+ v2 u1 (u2+ u2).
Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 9 ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ.
ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² 8) ΠΈ 9) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ.
10) ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(u; v) (x; y) = (u; v),
Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΈ v ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ 0, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (0; 0) = 0ΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ u? 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
(u; v) (Ρ ; Ρ) = (u; v) (Ρ u — y; ΡΠΈ + v) = (ΠΈ; v)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π° u-1=, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°:
(u-1 u) x = u-1v+ u-1ux = v =1+ ΡΠΈ.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
v (1+ ΡΠΈ) + ΡΠΈ = vv+ v ΡΠΈ+ ΡΠΈ = vΡΠΈ+ΡΠΈ=0 (+1)ΡΠΈ=0,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΏΡΠΈ u? 0 ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ = 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° = 0 ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΡ = ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ = 1. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ°ΡΠ° (Ρ ; Ρ) = (1; 0) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π² .
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈ = 0, v? 0, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ v = v, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΡΠ°Π·Ρ Ρ = 1, Π° ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ = 0, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈnΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(Ρ ; Ρ) (u; v) = (u; v),
Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΈ ΠΈ v ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ 0, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (0; 0) = 0U ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΡΡ u? 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
(Ρ ; Ρ) (ΠΈ; v) = (ΠΈ: v) (Ρ ΠΈ — y; vΡ — Ρu) = (ΠΈ; v)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π° u-1=, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°:
x (uu-1) = y+ u*u-1 x = 1+ 2yu,
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
v (1+ 2yu) + Ρu= vv + 2 vyu + Ρu= vyu+ Ρu= 0 (+ 1) Ρu =0,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΏΡΠΈ u? 0 ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ = 0 ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ u = ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ = 1. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ°ΡΠ° (Ρ ; Ρ) = (1; 0) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π². ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ (1; 0) = 1U,
11) ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π»Ρ (u; v) ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(u; v) (Ρ : Ρ) = (1; 0) (ΠΈΡ — v; ΡΠΈ+ v) = (1; 0)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π° u-1=2, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°:
(u-1u) x = u-1v + u-1 x =2+2v = 2 + 2yu.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
v + + ΡΠΈ= 0 2 + 2 vyu + ΡΠΈ= 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu (|u|2 + |v|2) y = - v,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° Ρ = - .
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
vu =0v- =0 = x= .
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ°ΡΠ°
(x; y) =; ;
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (u; v) Π² .
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (u; v) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(Ρ ; Ρ) (u; v) = (1; 0),
Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΈ ΠΈ v ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ 0. ΠΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΈ? 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
(Ρ ; Ρ) (u; v) = (1; 0) (xu — y; vx + yu) = (1; 0)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π° u-1=2 ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°:
x (u u-1) = y2 + 2 x = 2 (yu + u).
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
v2(yu + + u) + yu = 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΏΡΠΈ u? 0 ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ = -. ΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
xu — = 1,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
xu= 1 — = .
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π° u-1=, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
x = * =
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ°ΡΠ°
(x; y) =; ;
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (u; v) Π². ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ (u, v)-1.
ΠΠ΅Π²ΡΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ (u; v) ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π² .
ΠΠ· 1)-11) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π΅ΡΡΡ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Ρ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΠΉ, Ρ. Π΅. Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ.
ΠΡΡΡΡ U1 = (u; 0). Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ U1 K x K.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ U1 Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0) U1;
(u1, 0) (u2, 0) = (u1 u2 — 0; 0 u1 + 0 u2) = (u1 u2: 0) U1.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅:
— (u; 0) = (- u; - 0) = (- u; 0) U1;
(u; 0)-1 = = U1,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ΅Π»ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ,.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f: U1 > K ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ((u; 0) Ρ U1) f ((u; 0)) = u, Ρ. Π΅. ΠΏΠ°ΡΠ΅ (ΠΈ;0) ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ ΠΈ. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0));
f (- (u; 0)) = f ((- u; 0)) = - u = - f ((u; 0));
f ((u1; 0) (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1 u2 = f ((u1; 0)) f ((u2; 0));
f ((u; 0)-1) = f ((; 0)) =; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΠΎΠΌΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². ΠΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΈΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) u1 = u2 (ΠΈ1; 0) = (ΠΈ2; 0) ΠΈ f (U1) = Π.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ ΡΠ΅Π»Π° Π½Π° ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² (Π, +, .), Ρ. Π΅. ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π° ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ², Π° ΠΏΠ°ΡΡ (u;0) ΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡ Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ. Π ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅Π»ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΡΠΎ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΅ΠΌΡ ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ .
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΡ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΡ (0; 1). ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
(0; 1)2 = (0; 1) (0; 1) = (00 — 1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
(0; i)? (i; 0) = i; (0: 1)? (j; 0) = j; (0; k)? (k; 0) = k.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ: (0; 1) = Π΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°.
ΠΠ· ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ (ΠΈ; v), ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ u + ve, Π³Π΄Π΅ ΠΈ, v Ρ Π ΠΈ Π΅2 = -1. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = ΠΈ + ve.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΡ. ΠΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ Π² ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΅. Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ U/ Π Ρ Π. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π Ρ K U/, ΡΠΎ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ u+ve, Π³Π΄Π΅ ΠΈ, v Π. Π΅2 = - 1, ΡΠΎ u + vjU/, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ, v Π U/, e U/ ΠΈ — Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° (Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ). ΠΡΠ°ΠΊ, Π Ρ K U/, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° U/ = Π Ρ K ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΡ.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π², ΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²Π°.
ΠΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ u+ve. Π³Π΄Π΅ ΠΈ, v Π. ΠΡΡΡΡ
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a, b, c, d, a, b, c, d R.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΈ + vΠ΅ = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B (ie)+C (je)+D (ke).
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ
ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 — 0; 1i + 0) = (0; i);
je = (j; 0) (0; 1) = (j0 — 0; 1j + 0) = (0; j);
ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 — 0; 1k + 0) = (0; k),
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ie, je, ke ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° ΠΈ ΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ΄ i, j, k, e.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (ii — 0; 0i + 0i) = (-1; 0) = -1;
(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (jj — 0; 0j + 0i) = (-1; 0) = -1;
(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (kk — 0; 0k + 0i) = (-1; 0) = -1.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ie, je, ke ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ iΠ΅ = I, je = J. ke = Π ΠΈ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ w Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
Π³Π΄Π΅ a, b, c, d, a, b, c, d R.
ΠΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΠΡ K=U ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ U Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π².
1.2 ΠΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ½Π°.
ΠΡΡΡΡ (U, +, ., e) ΠΈ (U1,, e1) — Π΄Π²Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΈ e2 = -1, e21 = ?1.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π€: U > U ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ Π€ (u+ve) = uve1, u, v Π.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π€ — Π³ΠΎΠΌΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ.
ΠΡΡΡΡ w1 = u1+v1e ΠΈ w2 = u2+v2e. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
Π€ (w1+ w2) = Π€ ((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Π€ ((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)(v1+v2)e1 = (u1v1e1) (u2v2e1) = Π€ (u1+v1e) Π€ (u2+v2e) = Π€ (w1)Π€ (w2);
Π€ (w1 w2) = Π€ ((u1+v1e) (u2+v2e)) = Π€ ((u1u2 — 2v1)+(v2u1 + v1u2)e) = (u1u2 — 2v1) (v2u1 + v1 u2) e) =(u1u2? 2v1)(v2u1 v1u2)e) =(u1v1e1)(u2v2e1) = Π€ (u1+v1e) Π€ (u2+v2e) = Π€ (w1) Π€ (w2);
Π€ (-w) = Π€ (-(u+ve)) = Π€ (-uve) = ?u?ve1 = ?(uve1) = ?Π€ (u+ve)= ?Π€ (w);
Π€ (w-1)=Π€ ((u+ve)-1)=Π€ (?e)= (? e) =? e = (uve1)-1 = (Π€ (u+ve)?1) = (Π€ (w)) ?1.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π€ Π΅ΡΡΡ Π³ΠΎΠΌΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π² (U1,, e1).
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π€ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ:
Π€ (w1)=Π€ (w2) Π€ (u1+v1e) = Π€ (u2+v2e) u1v1e1 = u2v2e1 u1=u2v1=v2 u1+v1e= u2+v2e w1= w2.
Π‘ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π€ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
(qU1) (u, vK) p= uve1 (u+ve = wU) Π€ (w) = p.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π€ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ (U1, e1) ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ½Π° Π²Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.
§ 2. ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ± ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°Ρ Π Ρ ΠΎΠ΄Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΌΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
Π³Π΄Π΅ a, b, c, d, a, b, c, d R ΠΈ i2 = j2 = k2 = e2=I2= j2 = k2 = -1,
ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ iΠ΅ = I, je = J, ke = Π ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠ°ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0; k).
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ:
iI = (i; 0)(0; i) = (i0 — i0; ii + 0) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;
iJ = (i; 0)(0; j) = (i0 — 0; ji + 0) = (0; -k) = -(0; k) = - K;
iK = (i; 0)(0; k) = (i0 — 0; ki + 0) = (0; j) = J;
I i = (0; i)(i; 0) = (0i — i; 00; + ii) = (0; 1) = e;
J i = (0; j)(i; 0) = (0i — j; 00; + ji) = (0; k) = K;
K i = (0; k)(i; 0) = (0i — k; 00; + ki) = (0; -j) = - (0; j) = -J;
jI = (j; 0)(0; i) = (j0 — i0; ij + 0) = (0; k) = K;
jJ = (j; 0)(0; j) = (j0 — 0; jj + 0) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;
jK = (j; 0)(0; k) = (j0 — 0; kj + 0) = (0; - i) = - (0; i) = -I;
I j = (0; i)(j; 0) = (0j — i; 00 + i) = (0; -k) = -(0; k) = - K;
J j = (0; j)(j; 0) = (0j — j; 00; + j) = (0; 1) = e;
K j = (0; k)(j; 0) = (0j — k; 00; + k) = (0; i) = I;
kI = (k; 0)(0; i) = (k0 — i0; ik + 0) = (0; -j) = - (0; j) = -J;
kJ = (k; 0)(0; j) = (k0 — 0; jk + 0) = (0; i) = I;
kK = (k; 0)(0; k) = (k0 — 0; kk + 0) = (0; -1) = - (0; 1) = - e;
I k = (0; i)(k; 0) = (0k — i; 00; + i) = (0; j) = J;
J k = (0; j)(k; 0) = (0k — j; 00; + j) = (0; - i) = - (0; i) = -I;
K k = (0; k)(k; 0) = (0k — k; 00; + k) = (0; 1) = e;
e i = (0; 1)(i; 0) = (0i — 1; 00; + 1i) = (0; - i) = - (0; i) = -I;
e j = (0; 1)(j; 0) = (0j — 1; 00; + 1) = (0; -j) = - (0; j) = -J;
e k = (0; 1)(k; 0) = (0k — 1; 00; + 1) = (0; -k) = - (0; k) = - K;
I e = (0; i)(0; 1) = (00 — i; 10; + i) = (-i; 0) = - (i; 0) = - i;
J e = (0; j) (0; 1) = (00 — j; 10; + j) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j;
K e = (0; k) (0; 1) = (00 — k; 10; + k) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k;
e I = (0; 1)(0; i) = (00 -i1; i0; + 1) = (i; 0) = i;
e J = (0; 1)(0; j) = (00 -1; j0; + 1) = (j; 0) = j;
e K = (0; 1)(0; k) = (00 -1; k0; + 1) = (k; 0) = k;
I J = (0; i)(0; j) = (00 -i; j0 + i) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k;
I K = (0; i)(0; k) = (00 -i; k0 + i) = (j; 0) = j;
J K = (0; j)(0; k) = (00 -j; k0 + j) = (- i; 0) = - (i; 0) = - i;
J I = (0; j)(0; i) = (00 -ij; i0 + j) = (k; 0) = k;
K I = (0; k)(0; i) = (00 -ik; i0+ k) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j;
K J = (0; k)(0; j) = (00 -k; j0 + k) = (i; 0) = i.
ΠΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈ Π½Π΅ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ (1,i, j, k, E, I, J, K) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ 1.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΡ, Π° Π²ΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ.
i | j | k | E | I | J | K | |||
i | j | k | E | I | J | K | |||
i | i | — 1 | — k | — j | — I | E | K | — J | |
j | j | k | — 1 | i | — J | — K | E | I | |
k | k | — j | — i | — 1 | — K | J | — I | E | |
E | E | I | J | K | — 1 | — i | — j | — k | |
I | I | — E | K | — J | i | — 1 | k | — j | |
J | J | — K | — E | I | j | — k | — 1 | i | |
K | K | J | — I | — E | k | j | — i | — 1 | |
ΠΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ:
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² (Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ), ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΠ²ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ (Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ) ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ E (ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ). Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π² Ρ Π»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
§ 3.ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°ΠΌΠΈ Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ° Π²ΠΈΠ΄Π° (ΠΈ; v), Π³Π΄Π΅ u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk K, Π΅ΡΡΡ ΠΈ u+ ve, ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
ΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ:
p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K) =
= a+a1+(b+b1)i +(c+c1)j +(d+d1)k +(A+ A1)e +(B+B1)I +(C+C1) J +(D +D1) K.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π² Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ; ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π²ΡΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅.
Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ: 1. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
ΠΈ w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K
Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
(a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)(a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K)=a a1+ab1 i+ ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1+bib1i+bic1j+bid1k+diA1E+biB1I+biC1J+
biD1K+cja1+cjb1i+cjc1j+cjd1k+cjA1E+cjB1I+cjC1J+cjD1K+dka1+dkb1i+dkc1j+dkd1k+dkA1E+dkB1I+dkC1J+dkD1K+AEa1+AEb1i+AEc1j+AEd1k+AEA1E+AEB1I+AEC1J+AED1K+ BIa1+BIc1j+BId1k+BIA1E+BIB1I+BIC1J+BID1K+CJa1+Cjb1i+CJc1j
+CJd1k+CJA1E+CJB1I+CJC1J+CJD1K+Dka1+DKb1i+DKc1j+DKd1k+DKA1E+DKB1I+DKC1J+DKD1K=aa1+ab1i+ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1-bb1+bc1k-bd1j-bA1I+bB1E+bC1K+bD1J+cja1-cb1k-cc1+cd1i-cA1J+cB1K-Cc1E +cD1I+dka1+db1j-c1di-dd1+dA1K-dB1J+dC1I-dD1E+AEa1-Ab1I-Ac1J-Ad1K-AA1+Ab1i+AC1j+AD1k+Bia1+Bb1E-Bc1K+Bd1J-Ba1i-BB1-BC1k+BD1j+CJa1+Cb1K-Cc1E-Cd1I-CA1j+CB1k-CC1-CD1i+DK1a-Db1J-Dc1I+Dd1E-DA1k-DB1j+DC1i-DD1=aa1-bb1-cc1-dd1-AA1-BB1-CC1-DD1+i (ab1+ba1+cd1-dc1+AB1-BA1— -cD1+Dc1)+j (ac1-bd1+ca1+db1+AC1+BD1-CA1-DB1)+k (ad1+bc1-cb1+da1+AD1-BC1+CB1-Da1)+E (aA1-bB1-cC1-dD1+Aa1+Bb1+Cc+Dd1)+I (aB1+bA1-Cd1+dC1-Ab1+Ba1-Cd1-Dc1)+J (ac1+bD1+cA1-dB1-Ac1+Bd1+Ca1-Db1)+K (aD1-bC1+cB1+Da1-Ad1-Bc1+ Cb1 +Da1).
ΠΡΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ:
(1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.
ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
(1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
(1−2i+4K)x=(2−3j+J)(3−5k+E)-5J+8k.
Π ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅.
(2−3j+J)(3−5k+E)-5J+8k=6−10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6−10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J.
x=(1−2i+4K)-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J);
x=((1+2i-4K)(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30−20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K)
§ 4. Π‘ΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΈ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π°Π½Π° ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
ΡΠΎ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°
= a-bi-cj-dkAe-BI-CJ-DK
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π΅ΠΌΡ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° w Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ ΠΈ ΠΈ v ΠΊΠ°ΠΊ u+ ve, ΡΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° ΡΠ°Π²Π½Π° = uve.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²:
1) Ρ + = 2Π° R (Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ Ρ=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
Ρ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΅ΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²ΠΎΠΉ).
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.
2) w=w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅:
w=(u+ ve)(uve) = (uu -(-)v)+(-vu+vu)e = (uu+)+(-vu+vu)e =(|u|2 + |v|2) + 0e = |u|2 + |v|2.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈ ΠΈ v ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.
Π ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
|u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2,
ΡΠΎ w=|u|2 + |v|2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
3) w= w= Π° R.
4) =+
(Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π°Π΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ).
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅:
w1+ w = (a+bi+cj+dk+(Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K);
Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ:
=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1kA1e-B1I-C1J-D1K);
ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ:
= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);
=(a1-b1i-c1j-d1kA1e-B1I-C1J-D1K);
+=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K).
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
:= +.
5) =.
ΠΡΡΡΡ
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
Π³Π΄Π΅ u, u1 v, v1 — ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
w w1= (u+ ve) (u1+ v1e) = (uu1 — v) + (v1u+vu1)e,
ΡΠΎ
= + (v1u+vu1)e= (u1uv) — (v1u+vu1)e.
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ:
= (u1 — v1e) (u — ve) = (u1 u -(- (-v1))+(- vu1 -v1) = (u1uv1) — (vu1 + v1u)e.
Π ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ 5.
6) w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1) R,
ΠΡΠ»ΠΈ
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
ΠΡΡΡΡ
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
Π³Π΄Π΅ u, u1 v, v1 — ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
w=(u+ ve) (u1 — v1e) = (u u1+v)+(- v1u+ v1)e = (u u1+v)(vu1 -v1u)e
Π° w1=(u1+ v1e) (u — ve) = (u1u+ v1) + (-vu1+v1u)e,
ΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
w+ w1= (u u1+v+u1u+ v1) + (- v1u+ vu1 — vu1+v1u)e= (u u1+u1u +v + v1) + 0e = u u1+u1u +v + v1 .
Π ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° 6) ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ:
u u1+u1u =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),
v + v1 = 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),
u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,
v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ
w+ w1= 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
4.1 ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ
w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ w ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ |w|. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
|w| = .
ΠΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° 2) ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ |w|2 = w=w. ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ:
1) |w|? 0 ΠΈ |w| = 0 w=0;
2) |w w1| = |w|*|w1|.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
|w w1|2 = (w w1)() = (w w1) () = w (w1*)= w|w1|2= |w1|2 w= |w1|2|w|2,
ΠΡΠΊΡΠ΄Π°
|w w1| = |w||w1|
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ |pq| = |p| |q| ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π² ΡΠ°Π·Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
|w w1| = |w| * |w1|.
(a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) () = (aa1 — bb1 — cc1 — dd1 — AA1 -BB1 — CC1 — DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1 — c1d — A1B + B1A + C1D — CD1)2 +(ac1 + a1c — bd1 + b1d — a1c + ac1 — b1d + bd1)2 +(ad1 + a1d+ bc1 — b1c — a1d + ad1 + b1c — bc1)2 +(a1a — b1b — c1cd1d + Aa1 + Bb1 + Cc1 + Dd1)2 +
(a1b + b1a + c1d — d1c — Ab1 + Ba1 — Cd1 + Dc1)2 +(a1c + c1a — b1d+ d1b — ac1 + ca1 + bd1 — db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c — c1b — ad1 + da1 — bc1 + cb1)2.
ΠΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΡΠ»ΠΈ
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
— ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°, ΡΠΎ
w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 — c2 — d2 — A2 — B2 — C2 — D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2)? 0,
Ρ.Π΅. ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ w/ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° — ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ w = Π° + w/, Π³Π΄Π΅ w/ — ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°
bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, aR, ΡΠΎ
w2 = (Π° + w/)(Π° + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2— b2 — c2 — d2 — A2 — B2 — C2 — D2 +2a w/.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ, Π°? 0, ΡΠΎ w/= 0. ΠΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π° w=Π°, ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, w2 = Π°2 Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ? 0. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ Π²ΠΈΠ΄Π°
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ w = Π° + w/ Π³Π΄Π΅ a, aR, w/2? 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° = Π°p /.
Π Ρ ΠΎΠ΄Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π½Π΅ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ
(u; v)-1 =; -.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (ΠΈ; v) = ΠΈ + ve, ΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°
(ΠΈ + ve)-1 = -.
ΠΡΠ»ΠΈ
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,
ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1== ,
Π΅ΡΠ»ΠΈ
w = ΠΈ + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π°, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π΅ w, Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Π° .
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ°Π² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
(ww1) 1 = w (w11).
ΠΡΡΡΡ w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, Π³Π΄Π΅ u, u1 v, v1 K, Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
(ww1)1 = ((u+ ve)(u1+ v1e))(u1 — v1e) = ((uu1 -v)+ (v1u+ v u1)e)(u1 — v1e) = ((uu1 -v)u1+ (v1u+ v u1))+(-v1(uu1 -v)+ (v1u+ v u1)1)e = (uu1 u1 -vu1+ v1u+ vu1) +(-v1uu1 +v1v + v1u u1+ vu1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u (|u1|2+ |v1|2)+ v (|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)(u+ ve) = |w1|2w.