Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников

Кафедра «Системы передачи информации «

Расчетно-пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Теория линейных электрических цепей»

Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников

Содержание Реферат

1. Синтез реактивных двухполюсников

1.1 Синтез одноэлементного двухполюсника Z₁

1.2 Синтез трёхэлементного двухполюсника Z₂

2. Расчет входных сопротивлений четырехполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания

2.1 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме холостого хода при прямом направлении передачи энергии

2.2 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме короткого замыкания при прямом направлении передачи энергии

2.3 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме холостого хода при обратном направлении передачи энергии

2.4 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме короткого замыкания при обратном направлении передачи энергии

3. Нахождение основной матрицы, А и системной функции исследуемого четырехполюсника

4. Расчет характеристических, повторных и рабочих параметров четырехполюсника с использованием ЭВМ

4.1 Расчет характеристических параметров четырехполюсника

4.1.1 Расчет характеристического сопротивления четырехполюсника

4.1.2 Расчет характеристической постоянной передачи

4.2 Расчет повторных параметров четырехполюсника

4.2.1 Расчет повторного сопротивления четырехполюсника

4.2.2 Расчет повторной постоянной передачи

4.3 Расчет рабочих параметров четырехполюсника

4.3.1 Входное сопротивление

4.3.2 Сопротивления передачи и приведенные сопротивления

4.3.3 Рабочая и вносимая постоянные передачи

5. Экспериментальная проверка результатов расчета

6. Расчет параметров эквивалентного активного четырехполюсника

Заключение

Список используемой литературы

Реферат

Двухполюсник, четырехполюсник, реактивное сопротивление, синтез, анализ, основная матрица А, характеристические, повторные и рабочие параметры.

Объектом исследования является четырехполюсник, состоящий из нескольких двухполюсников.

Цель работы — синтез схем заданных реактивных двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника; расчет собственных параметров четырехполюсника, а также его рабочих параметров.

1. Синтез реактивных двухполюсников В соответствии с заданием сопротивления двухполюсников, входящих в исследуемый четырехполюсник, имеют следующий вид:

(1.1),

(1.2)

1.1 Синтез трёхэлементного двухполюсника

Подставив в операторное выражение вместо ноль и бесконечность, получим, что при нуле сопротивление равно нулю, а при бесконечности сопротивление равно бесконечности, и так как наибольшая степень в сопротивлении двухполюсника «3», то он имеет две резонансные частоты. Отобразим это на характеристической строке:

Рисунок 1.1 — Характеристическая строка двухполюсника

Схема класса, трёхэлементная. Реализовать ее можно двумя способами, например, схемами Фостера I и II родов, а схемы Кауэра I и II родов будут повторять эти схемы. Рассчитаем сначала элементы схемы Фостера I рода.

Рисунок 1.2 — Реализация двухполюсника схемой Фостера I рода

Теперь рассчитаем элементы данной схемы.

приравняем данное выражение к сопротивлению нашего двухполюсника и получим систему уравнений, решив которую найдем элементы нашего двухполюсника.

(1.3)

Из выражения (1.3) видно следующее:

(1.4)

Теперь составим схему Фостера II рода.

Рисунок 1.3 — Реализация двухполюсника схемой Фостера II рода Рассчитаем элементы данной схемы. Приравняем полученное ранее выражение к сопротивлению нашего двухполюсника и получим систему уравнений, решив которую найдем элементы нашего двухполюсника.

(1.5)

Из выражения (1.5) видно следующее:

(1.6)

Для реализации на лабораторных стендах будем использовать схему Фостера I-го рода. Зная значения номиналов элементов или приведя выражение для сопротивления к каноническому виду, можно вычислить резонансные частоты .

Возьмем несколько частот и вычислим на них значение сопротивления, для получения частотной зависимости .

Таблица 1.1 — Частотная зависимость

График частотной зависимости Z₁ () представлен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 — Частотная зависимость Z₁ ()

1.2 Синтез двухэлементного двухполюсника

Подставив в операторное выражение вместо ноль и бесконечность, получим, что и при нуле и при бесконечности сопротивление равно бесконечности, а так как наибольшая степень в сопротивлении двухполюсника «2», то он имеет одну резонансную частоту. Отобразим это на характеристической строке:

Рисунок 1.5 — Характеристическая строка двухполюсника

Схема класса, двухэлементная. Реализовать ее можно единственным способом:

Рисунок 1.6 — Реализация двухполюсника

Теперь рассчитаем элементы данной схемы.

,

приравняем данное выражение к сопротивлению нашего двухполюсника и уравнение, решив которое найдем элементы нашего двухполюсника.

(1.3)

Из выражения (1.3) видно следующее:

(1.4)

По полученным значениям можно вычислить резонансную частоту, рад/с:

(1.5)

Возьмем несколько частот и вычислим на них значение сопротивления, для получения частотной зависимости .

Таблица 1.1 — Частотная зависимость

График частотной зависимости Z₂ () представлен на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 — Частотная зависимость Z₂ ()

2. Расчет входных сопротивлений четырехполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания Рассматриваемый четырехполюсник, состоит из оптимально выбранных двухполюсников, в соответствии со схемой замещения, указанной в задании.

Рисунок 2.1 — Схема исследуемого четырехполюсника

2.1 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме холостого хода при прямом направлении передачи энергии

(2.1)

Приведем выражение (2.1) к каноническому виду, решив для этого уравнение в числителе:

(2.2)

2.2 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме короткого замыкания при прямом направлении передачи энергии

(2.3)

2.3 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме холостого хода при обратном направлении передачи энергии

(2.4)

2.4 Входное сопротивление четырехполюсника в режиме короткого замыкания при обратном направлении передачи энергии

Так как выражение в знаменателе решено нами выше, то мы можем перемножить сопротивления и, затем, разделить их на (2.1).

(2.5)

Сведем значения для получения частотной зависимости в таблицу 2.1.

Таблица 2.1 — Частотные зависимости

Рисунок 2.2 — Графики частотных зависимостей сопротивлений

Рисунок 2.3 — Графики частотных зависимостей сопротивлений

3. Нахождение основной матрицы (А) и системной функции исследуемого четырехполюсника

Для построения матрицы (А) нам необходимо решить систему (3.1).

(3.1)

Основная матрица исследуемого четырехполюсника имеет вид:

(3.2)

Найдем коэффициенты матрицы (А):

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Окончательный вид матрицы А:

Проверим правильность нахождения коэффициентов матрицы А. Рассчитаем определитель на контрольной частоте 10 000 рад/с:

Равенство выполняется, значит, коэффициенты найдены правильно.

Найдем системную функцию исследуемого четырехполюсника Н (р):

(3.7)

где Z_H — сопротивление нагрузки, Z_Г — сопротивление генератора задано соответственно 280 Ом и 75 Ом.

4. Расчет характеристических, повторных и рабочих параметров четырехполюсника с использованием ЭВМ

четырехполюсник замыкание холостой сопротивление

4.1 Расчет характеристических параметров ЧП

4.1.1 Расчет характеристического сопротивления ЧП

Характеристическое сопротивление — это среднее геометрическое входных сопротивлений ХХ и КЗ. Для прямого направления передачи вычисляем характеристическое сопротивление, а для обратного направления передачи — :

(4.1)

(4.2)

Проведем контрольный расчет Z_C1 и Z_C2 на частоте 10 000 рад/с:

Остальные значения найдем с помощью программного пакета MathCad и сведем полученные значения в таблицу 4.1.

4.1.2 Расчет характеристической постоянной передачи

Характеристическая постоянная передачи g_c оценивает потери мощности в четырехполюснике и не зависит от направления передачи энергии через него:

g_c = a_c + jb_c - комплексная величина.

Вещественной частью g_c является постоянная затухания а_c, которая показывает степень потери мощности в четырехполюснике или степень уменьшения амплитуды тока (напряжения) на выходе четырехполюсника по сравнению с этими величинами на его входе:

(4.2)

Рассчитаем g_с на контрольной частоте 10 000 рад/с:

На остальных частотах расчет проведем с помощью программного пакета MathCad и сведем полученные значения в таблицу 4.1.

Таблица 4.1 — Зависимость Z_C1, Z_C2, a_C и b_C от частоты

Построим графики частотных зависимостей характеристического сопротивления, характеристического затухания и фазовой постоянной, приведенные на рисунках 4.1−4.3 соответственно.

Рисунок 4.1 — Частотная зависимость характеристического сопротивления

Рисунок 4.1 — Частотная зависимость характеристического сопротивления Z_C1

Рисунок 4.2 — Частотная зависимость характеристического затухания Z_C2

Рисунок 4.3 — Частотная зависимость фазовой постоянной

4.2 Расчет повторных параметров ЧП

4.2.1 Расчет характеристического сопротивления ЧП

Повторным сопротивлением называется такое, при подключении которого в качестве нагрузки значение входного сопротивления ЧП становится равным значению нагрузочного.

При прямом направлении передачи повторное сопротивление

При обратном ;

Проведем контрольный расчет Z_п1 и Z_п2 на частоте 10 000 рад/с:

4.2.2 Расчет повторной постоянной передачи

Повторная постоянная передачи характеризует соотношение между входными и выходными значениями тока, напряжения и мощности в режиме, при котором ЧП нагружен на соответствующее выбранному направлению передачи повторное сопротивление:

Рассчитаем g_П на контрольной частоте 10 000 рад/с:

4.3 Расчет рабочих параметров четырехполюсника

4.3.1 Входное сопротивление

Входное сопротивление при прямой передаче Z_вх1 рассчитывается по формуле:

; (4.3)

При обратной передаче входное сопротивление Z_вх2 рассчитывается по формуле:

(4.4)

где сопротивление нагрузки Z_н согласно заданию равно 280 Ом.

Рассчитаем входные сопротивления ЧП на контрольной частоте =10 000 рад/с, используя (4.3) и (4.4):

4.3.2 Сопротивление передачи и приведенное сопротивление

Сопротивление передачи — это отношение входного напряжения к выходному току. Сопротивление передачи при прямой передаче вычисляется по формуле:

(4.4)

а при обратной передаче:

(4.5)

Рассчитаем сопротивления передачи на контрольной частоте =10 000 с^-1, используя (4.4),(4.5):

В некоторых случаях при определении условий передачи энергии от входа к выходу ЧП требуется учитывать сопротивление генератора Z_г. Тогда используют приведенное сопротивление ЧП — отношение ЭДС генератора к току в нагрузке.

Для прямого направления передачи энергии приведенное сопротивление Z_прив1 определяется по формуле:

(4.6)

Для обратного направления:

(4.7)

где сопротивление генератора согласно заданию равно Z_г=75 Ом, Z_н=280 Ом.

Рассчитаем приведенные сопротивления ЧП на контрольной частоте =10 000 рад/с, используя (4.6),(4.7)

4.3.3 Рабочая и вносимая постоянные передачи

Для характеристики условий передачи мощности сигналов через четырехполюсник используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности — рабочую постоянную передачи.

(4.6)

Практическое применение имеет вещественная часть g_р — рабочее затухание a_р.

Рабочее затухание оценивает существующие условия передачи энергии по сравнению с оптимальными условиями выделения оптимальной мощности на нагрузке.

При прямой передаче .

При обратной передаче

Вносимая постоянная передачи характеризует соотношение между мощностью, отдаваемой генератором нагрузке, подключенной непосредственно к его зажимам и мощностью, отдаваемой генератором нагрузке, подключенной через ЧП.

Вносимая постоянная передачи g_вн рассчитывается по формуле:

(4.7)

Рабочее затухание мы находим, как действительную часть g_р:

5. Экспериментальная проверка результатов теоретических расчетов По заданию необходимо проверить экспериментальным путем (методом уровней) характеристическую постоянную передачи (а_С). Для этого нам необходимо собрать установку для проведения эксперимента (рисунок 5.1)

Рисунок 5.1 — Схема проведения эксперимента Для измерения выберем четыре частоты из таблицы 4.1. Возьмем частоты 2500,7; 7797,43; 8608;9500 рад/с.

По этим циклическим частотам рассчитаем линейные частоты:

Расчетное характеристическое затухание находим по формуле:

(5.1)

Составим таблицу результатов расчетов и экспериментальных данных. Расчетные данные а_с взяты из таблицы 4.1

Таблица 5.1 — результатов расчетов и экспериментальных данных

Отметим полученные в ходе эксперимента точки на графике характеристического затухания (рисунок 5.2):

Рисунок 5.2 — График частотной зависимости а_с(щ)

6. Расчет элементов активного эквивалентного четырехполюсников Для того, что бы получить активный эквивалентный ЧП, необходимо записать передаточную функцию, полученную по формуле (3.7) при условии Z_н = Z_г.

(6.1)

Выполним нормировку выражения (6.1) по частоте с коэффициентом щ₁=10⁴ и разложим числитель и знаменатель на произведение более простых многочленов, тогда передаточная функция примет вид Далее, нужно Н (р) расписать через произведение дробей, удобных для подбора к каждой дроби активной схемы или RC-цепи четырехполюсника. Таким образом, мы получим ряд схем, которые необходимо соединить каскадным способом, чтобы получить схему требуемого эквивалентного активного четырехполюсника.

(6.2)

Реализуем :

Выбираем произвольно С₁:

Примем .

Зададим значение

Произведем денормировку по частоте:

Схема первого каскада активного ЧП представлена на рисунке 6.1.

Рисунок 6.1 — Первый каскад активного четырехполюсника Реализуем :

Выбираем произвольно С₁:

Примем .

Зададим значение

Произведем денормировку по частоте:

Схема второго каскада активного ЧП представлена на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2 — Второй каскад активного четырехполюсника

Реализуем :

Выбираем произвольно

Денормируем по частоте:

Схема третьего каскада активного четырехполюсника показана на рисунке 6.3.

Рисунок 6.3 — Третий каскад активного четырехполюсника

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта был произведен синтез схем реактивных двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника, получены выражения для коэффициентов основной матрицы типа А, рассчитаны характеристические, повторные и рабочие параметры четырехполюсника. Для расчета повторных и рабочих параметров была выбрана частота =10 000 с^-1.

В пояснительной записке также представлены схема исследуемого четырехполюсника с указанием его элементов, графики частотных зависимостей, необходимые в соответствии с заданием.

Выполнение курсового проекта способствовало закреплению теоретических знаний по основным разделам курса- «Двухполюсники» и «Четырехполюсники» — и появлению практических навыков, необходимых при эксплуатации, проектировании, разработке и усовершенствовании устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.

При выполнении курсового проекта были использованы текстовый редактор Microsoft Word ХР, графический редактор Visio 2003, математический пакет Mathcad 13.

Список используемой литературы

1. Л. А. Карпова, О. Н. Коваленко. Расчет характеристик двухполюсников и четырехполюсников: Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теория линейных электрических цепей» / Омский Государственный Университет Путей Сообщения — Омск, 2006 — 42 с.

2. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация.: Учебник для вузов.- М.: Мир, 1982.-592 с.

3. Стандарт предприятия. Курсовой и дипломный проекты. Требования к оформлению. СТП ОмГУПС-1.2−05. Омск: ОмГУПС, 2005.