Частная корреляция. 
Эконометрика

Выше, в § 3.3, для оценки тесноты связи между переменными был введен выборочный коэффициент линейной корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на значении коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких переменных.

Выборочным частным коэффициентом корреляции (или просто частным коэффициентом корреляции) между переменными X/ и Xj при фиксированных значениях остальных (р — 2) переменных называется выражение

где q" и qjj — алгебраические дополнения элементов г# и rjj матрицы выборочных коэффициентов корреляции.

¹ Исходные данные и соответствующие расчеты (полностью идентичные приведенным в гл. 2) здесь не приводятся.

a r-j определяются по формулам (3.18)—(3.20). В частности, в случае трех переменных (п=3) из (5.21) следует, что.

Поясним полученную формулу (5.22). Предположим, что имеется обычная регрессионная модель Х/= ро+ Pi*y+ р2^^+е/ ^и необходимо оценить корреляцию между зависимой переменной Xj и объясняющей переменной Xj при исключении (элиминировании) влияния другой объясняющей переменной Я*. С этой целью найдем уравнения парной регрессии X по Я* (х, ⁼ bQ+bX$ и Xj по Я* (х,? = % +Ь{х_к), а затем удалим влияние переменной Х/су взяв остатки е_х, =x, -Jc/ и e_Xj =Xj-Xj. Очевидно, что коэффициент корреляции между остатками е_Х/ и е_х будет отражать тесноту частной корреляции между переменными Х-, и Xj при исключении влияния переменной Я*. Можно показать, что найденный по формуле (3.18) обычный коэффициент корреляции между остатками е_х. и е_х. равен частному коэффициенту корреляции Гцк, определенному по формуле (5.22).

Частный коэффициент корреляции Гу2…_р, как и парный коэффициент Гу, может принимать значения от —1 до +1. Кроме того, Гуп…ру вычисленный на основе выборки объема п, имеет такое же распределение, как и Гу, вычисленный по п'=п-р+2 наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффициента корреляции Гух2…_р оценивают так же, как и обычного коэффициента корреляции г (см. § 3.6), но при этом полагают п'=п~р+2.

? Пример 5.5. Для исследования зависимости между производительностью труда (Х), возрастом (Я^) и производственным стажем (Яз) была произведена выборка из 100 рабочих одной и той же специальности. Вычисленные парные коэффициенты корреляции оказались значимыми и составили: /*12=0,20; /*13=0,41; /*23=0,82. Вычислить частные коэффициенты корреляции и оценить их значимость на уровне а=0,05.

Решение. По формуле (5.22) частные коэффициенты корреляции.

и аналогично /*13.2⁼0>44; /*23.1=0,83.

Оценим значимость /*12.3- Значение статистики /-критерия по (3.46) при п'=п~р+2=100—3+2=99 (по абсолютной величине).

больше табличного /о, 95;97⁼ 1,99 (см. табл. II приложений), следовательно, частный коэффициент корреляции /*12.3 значим. Аналогично устанавливается значимость других частных коэффициентов корреляции.

Сравнивая частные коэффициенты корреляции //д с соответствующими парными коэффициентами, видим, что за счет «очищения связи» наибольшему изменению подвергся коэффициент корреляции между производительностью труда (Х) и возрастом (ЛУ рабочих (изменилось не только его значение, но и знак: /*12=0,20; ^/*12.з="0,26, причем оба эти коэффициента значимы).

Итак, между производительностью труда (Х) и возрастом (ЛУ рабочих существует прямая корреляционная связь (/*12=0,20). Если же устранить (элиминировать) влияние переменной «производственный стаж» (Аз), то в чистом виде производительность труда (Х) находится в обратной по направлению (и опять же слабой по тесноте) связи с возрастом рабочих (ЛУ (/12.3="0,26). Это вполне объяснимо, если рассматривать возраст только как показатель работоспособности организма на определенном этапе его жизнедеятельности. Подобным образом могут быть интерпретированы и другие частные коэффициенты корреляции. ?