Нестационарные временные ряды

До сих пор мы рассматривали регрессионные модели типа К=Лр+?, в которых ряд остатков рассматривался как стационарный, а нестационарность самих рядов x_t и y_t обуславливалась наличием неслучайной компоненты (тренда). После выделения тренда все ряды оказывались стационарными, причем стационарность считалась заранее известной, априорной. На практике, однако, такая ситуация редко имеет место. Между тем, включение в модель нестационарных рядов может привести к совершенно неверным результатам. В частности, стандартный анализ с помощью метода наименьших квадратов модели.

может показать наличие существенной значимости коэффициента (3 даже в том случае, если величины x_t и y_t являются независимыми. Такое явление носит название ложной регрессии и имеет место именно в том случае, когда в модели используются нестационарные временные ряды.

Таким образом, при моделировании какой-либо зависимости между величинами х, и y_t естественно возникает вопрос: можно ли считать соответствующие временные ряды стационарными?

В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с нестационарными временными рядами. При этом мы не будем ставить задачу обстоятельного изложения теории нестационарных рядов, так как это потребовало бы использования математического аппарата, существенно выходящего за рамки нашего рассмотрения. Поэтому мы ограничимся лишь тем, что затронем основные проблемы, возникающие при эконометрическом моделировании нестационарных временных рядов.

Итак, пусть имеется временный ряд у_ь при этом мы считаем, что в нем отсутствует неслучайная составляющая. Для простоты также будем считать, что среднее его значение равно нулю (очевидно, ряд остатков регрессионной модели удовлетворяет этим условиям).

Если ряд является стационарным, то в каждый следующий момент времени его значение «стремится вернуться к нулевому среднему». Иными словами, если мы будем объяснять значение y_t предыдущим значением yj-1, то объясненная часть? будет находиться ближе к нулю, чем значение у^.

Математически строго это условие можно сформулировать следующим образом: рассмотрим регрессионную модель.

Истинное значение параметра р должно удовлетворять условию |р|<1. В случае, если р=1, мы имеем ситуацию, когда последующее значение одинаково легко может как приближаться к нулевому среднему, так и отдаляться от него. Соответствующий случайный процесс называется «случайным блужданием». Очевидно, дисперсия в этом случае растет. В самом деле, из равенства (8.63) имеем:

т. е. дисперсия D (y_t) неограниченно возрастает, а значит, ряд y_t не является стационарным.

Разумеется, в случае |р|>1 ряд тем более не будет стационарным, значения его стремительно нарастают. Соответствующий процесс иногда называется взрывным. Однако в реальных экономических задачах он никогда не возникает.

Практика показывает, что чаще всего в эконометрических исследованиях нестационарность рассматриваемого временного ряда носит именно характер случайного блуждания. Таким образом, вопрос о нестационарное™ ряда y_t, как правило, сводится к следующему: верно ли, что в регрессии у, = py,_i + %, истинное значение параметра р равно единице? Соответствующая задача называется проблемой единичного корня.

Итак, пусть имеется временной ряд y_t. Рассмотрим модель авторегрессии.

Будем предполагать, что ошибки регрессии независимы и одинаково распределены, т. е. образуют белый шум. Переходя к разностным величинам, перепишем соотношение (8.64) в виде:

где Ду, = у,-у,. 1, Х = р-1.

Тогда проблема единичного корня сводится к следующей: верно ли, что в модели (8.65) истинное значение параметра X равно нулю?

На первый взгляд кажется, что вопрос может быть решен тестированием гипотезы А.=0 с помощью статистики Стьюдента (§ 3.6). Однако ситуация оказывается сложнее. В том случае, если ряд у, на самом деле нестационарный, т. е. если на самом деле А=0, стандартная /-статистика вида t = X/a_K не имеет распределения Стыодента

Распределение /-статистики в этом случае описано Дики и Фуллером. Ими же получены критические значения для отвержения гипотезы о нестационарности ряда. Они существенно отличаются от критических значений распределения Стьюдента. В результате оказывается, что использование обычного /-теста приводит к тому, что гипотеза о нестационарности временного ряда отвергается слишком часто, в том числе и тогда, когда ряд действительно является нестационарным.

Таким образом, проблему единичного корня следует решать с помощью теста Дики—Фуллера, который реализован в большинстве современных регрессионных пакетов. В «Econometric Views» присутствует так называемый пополненный тест ДикиФуллера (Augmented Dickey—Fuller test — ADF). Он является обобщением обычного теста Дики—Фуллера: в правую часть выражения (8.65) добавляются слагаемые вида Ау,__и …, Ду,__я, т. е. тестируется гипотеза X = 0 для модели.

Это соответствует тому, что вместо уравнения (8.64) мы рассматриваем уравнение.

т. е. пытаемся идентифицировать ряд как авторегрессионный порядка р+. Добавление приращений Ду,_, производится для того, чтобы с возможно большей достоверностью избавиться от автокорреляции ошибок. (Напомним, что распределение ДикиФуллера /-статистики имеет место лишь в том случае, если ошибки являются белым шумом!) Однако добавление приращений в правую часть снижает мощность теста Дики—Фуллера.

Что делать в том случае, если ряд y_t оказался нестационарным? Часто при этом оказывается, что стационарным является ряд приращений Лу,.

Если ряд Ау₍ является стационарным, то исходный нестационарный ряд у, называется интегрируемым (или однородным). В более общем случае нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (однородным) к-го порядка, если после /с-кратного перехода к приращениям.

где d^xy, = Ay, получается стационарный ряд d^ky_t.

Если при этом стационарный ряд d^ky_t корректно идентифицируется как ARMA (p, q), то нестационарный ряд у, обозначается ARIMA (p, q, к). Модель ARIMA (p, q, к) означает модель авторегрессии — проинтегрированной скользящей средней (AutoRegressive Integrated Moving Average model) порядков /?, q, k и известна как модель Бокса—Дженкинса. Эта модель может достаточно успешно описывать поведение нестационарных временных рядов (в том числе содержащих сезонную и (или) циклическую компоненты), что позволяет эффективно использовать ее в задачах краткои среднесрочного автопрогноза. Процедура подбора модели ARIMA реализована во многих эконометрических пакетах.

Другим приемом устранения нестационарности является коинтеграция нескольких нестационарных рядов в некоторую стационарную линейную комбинацию. Опишем эту процедуру на простом примере двух нестационарных рядов.

Нестационарные ряды х, и у, называются коинтегрируемыми, если существуют числа Х_] и Х₂ такие, что ряд Х_]х,+Х₂у, является стационарным. Так как умножение на ненулевой множитель, очевидно, не влияет на стационарность, для коинтегрируемых рядов существует стационарный ряд вида у, — fix,.

Оказывается, если ряды x_t и y_t на самом деле являются коинтегрируемыми, то состоятельная оценка параметра р получается как оценка обычного метода наименьших квадратов, примененного к модели

Казалось бы, что раз так, то вопрос о наличии коинтеграции может быть решен следующим образом. Методом наименьших квадратов оценивается уравнение (8.66) и к ряду у, —рх, применяется тест Дики—Фуллера.

Однако оказывается, что тест Дики—Фуллера в этом случае неприменим! При его использовании гипотеза о нсстационарности комбинации будет отвергаться слишком часто. На самом деле критические значения для /-статистики в этом случае другие. Они были оценены методом симуляции (методом Монте-Карло, см. гл. 13). Сравнение наблюдаемого значения /-статистики с этими уточненными оценками критических значений составляет суть коинтеграционного теста (Cointegration Test), который также, как правило, реализуется в эконометрических пакетах.

Подробнее вопросы, связанные с нестационарными временными рядами, изложены в [1], [21).