Расчет оболочек. 
Прикладная механика: расчеты оборудования для переработки пластмасс

Под оболочкой понимают тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, называют срединной поверхностью. Толщину оболочки принимают постоянной.

Если срединная поверхность представляет собой поверхность вращения, такие оболочки называют осесимметричными. Полагают, что нагрузка также обладает свойствами осевой симметрии. Для таких оболочек задача расчета существенно упрощается, так как все внутренние силы (и напряжения) зависят оттекущего радиуса.

В осесимметричных оболочках при осесимметричной нагрузке касательные напряжения отсутствуют. Оболочку считают тонкостенной, если толщина стенки оболочки 5 диаметром D (кроме конической) удовлетворяет условию (s-C)/D <, 0,1 при D > 200 мм, где С — поправка на коррозию. Для труб: {s-C)/D < 0,3 при D < 200 мм.

В противном случае оболочку считают толстостенной.

Для тонкостенных оболочек можно принять, что нормальные напряжения равномерно распределены по толщине, то есть отсутствует изгиб оболочки. Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

При отсутствии резких изменений формы оболочки, жестких защемлений, внешних сосредоточенных сил и моментов, можно с успехом применять к расчету оболочек на прочность безмоментную теорию. Если же имеются перечисленные особенности, то в местах крепления оболочки и резких изменений формы возникают дополнительные напряжения, связанные с изгибом оболочки. Решение подобных задач точными методами показывает, что зона изгибных напряжений весьма ограничена и поэтому на некотором удалении от перечисленных особых областей определение напряжений можно производить по безмоментной теории.

Рассмотрим осесимметричную тонкостенную оболочку толщиной s (рис. 1.14). Обозначим радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности через р_га (меридиональный радиус), а радиус окружной — через р_г. Этот радиус равен отрезку нормали между срединной поверхностью и осью симметрии.

Рис. 1.14. Окружной (р₍) и меридиональный (р_т) радиусы оболочки Выделим из оболочки элемент dl_{dl₂, представленный на рис. 1.15. Действие отброшенной части оболочки заменим меридиональным напряжением <5_щ и окружным (или тангенциальным) напряжением с₍. Нагрузка на элемент — внутреннее избыточное давление р. Напряжения а_т и а, умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы O_msdl₂ и Osdl_v а давление р — силу нормального давления pdl_xdl_r Спроектировав все силы на направление нормали п, получим.

Рис. 1.15. Элемент тонкостенной оболочки.

Ввиду малости размеров элемента sin (</0/2) а </0/2 и sin (</<p/2) а </ср/2. Заменяя </0/2 на <//,/р_га и </<р/2 на <//₂/p_f и сокращая на dl_idl_r получим уравнение.

известное как уравнение Лапласа.

Второе уравнение для определения напряжений о_т и а, можно получить, спроецировав все силы на направление оси оболочки. Однако это удобнее делать не для выделенного элемента, а для отсеченной части конкретной оболочки.

Напряжения о_т и a_f являются главными напряжениями. Третье главное напряжение — радиальное напряжение о, На внутренней поверхности оболочки радиальное напряжение равно -р, а на наружной — нулю. В тонкостенных оболочках а_т и a_f всегда значительно большер (примерно в 50−100 раз). Поэтому величиной радиального напряжения пренебрегают (с," 0) и напряженное состояние тонкостенной оболочки считается двухосным.

Если оболочка подвержена воздействию наружного избыточного давления, то формально уравнение Лапласа (1.74) остается справедливым, если изменить знак давления. Однако в стенках оболочки при этом возникнут сжимающие напряжения, что может привести к потере устойчивости (формы) оболочки.

Теория расчета толстостенных сосудов была разработана Ламе.

На рис. 1.16 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом R_n и внутренним R_n. Цилиндр подвергнут наружному давлениюр_п и внутреннему р_о. Выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 1.17), удаленный от оси цилиндра на произвольный радиус г, отвечающий условию R_tt> г > R_H. На гранях этого элемента будут действовать три напряжения: радиальное окружное и осевое а_г.

Рис. 1.16. Сечение толстостенного цилиндра.

Рис. 1.17. Элемент толстостенного цилиндра

Величина этих напряжений определяется по формуле.

а для цилиндра с днищами.

Представляют большой практический интерес следующие два частных случая. Цилиндр нагружен внутренним давлением. В этом случае p_v= р, а р_н = 0. Формула (1.75) принимает вид:

Формула (1.76) также упрощается.

Опасной является внутренняя поверхность цилиндра. По третьей гипотезе прочности.

С увеличением толщины стенок цилиндра при неизменном R_a wp эквивалентные напряжения снижаются, но асимптотически стремятся (при R_n-*со) к 2р. Это означает, что даже цилиндр с бесконечно большой толщиной стенок не выдержит давления, большего, чем [а]/2 без появления остаточных (пластических) деформаций на внутренней поверхности.

Цилиндр нагружен внешним давлением. В этом случае р_и = 0, а р_п = р, напряжения будут равны.

Опасной также является внутренняя поверхность цилиндра. По третьей гипотезе прочности.

что совпадает с выражением для внутреннего давления.

Увеличение толщины стенок не всегда может обеспечить необходимую прочность толстостенного цилиндра.

Одним из способов повышения несущей способности толстостенных цилиндров является создание составных, соединенных с натягом цилиндров. Рассмотрим два цилиндра, наружный радиус меньшего цилиндра (R_Ci) превышает внутренний радиус большего цилиндра (R_a) на некоторую величину Д = /?_С1 — R_a. Если нагреть больший цилиндр, то меньший цилиндр можно свободно вставить в него. При остывании в меньшем цилиндре возникнут напряжения сжатия, а в большем — напряжения растяжения, вызванные контактным давлением р_к

Формула (1.83) получена в предположении, что модули упругости первого рода материалов внутреннего и внешнего цилиндров равны.

Составной цилиндр нагружается внутренним давлением р.

Эквивалентное напряжение, рассчитанное по третьей гипотезе прочности.

Эквивалентное напряжение минимально при R_c — >/7Г/Г (условие Гадолина) и равно.

При этом оптимальный натяг, А равен.

Из сравнения (1.79) и (1.85) видно, что посадка труб приводит к значительному снижению эквивалентного напряжения.

При R<< R_H