Кватернионы. 
Компьютерная графика

Как было показано выше, произвольная ориентация в трехмерном пространстве может быть задана с помощью матрицы поворота, а также с помощью углов Эйлера. Однако каждый из этих способов обладает своими недостатками. Так, матрицы поворота избыточны (девять чисел вместо требуемых трех) и непонятно, как их можно интерполировать для получения плавного перехода из одной ориентации в другую. Что касается углов Эйлера, то они подвержены пропаданию степени свободы.

Есть очень красивый способ для работы с ориентациями и поворотами в трехмерном пространстве — кватернионы. Они являются расширением комплексных чисел. Как известно, любое комплексное число может состоять из действительной и мнимой частей и быть записано в следующем виде:

Здесь через i обозначена так называемая мнимая единица — число, квадрат которого равен -1. Комплексные числа можно рассматривать как расширение вещественных чисел, в котором любой многочлен степени п имеет ровно п корней с учетом кратности.

Кватернионы, или гиперкомплексные числа, являются расширением комплексных чисел. Каждый кватернион также состоит из действительной и мнимой частей. Однако для кватернионов используется не одна мнимая единица, а целых три — i, j и k. Для их произведений выполняются следующие свойства:

Используя эти мнимые единицы, любой кватернион можно записать в виде.

Здесь х_у у у z и w — обычные вещественные числа. Действительной частью кватерниона q является w_y а мнимой — i-x+j-y+k-z.

В то же время кватернион можно рассматривать просто как четырехмерный вектор и для этих векторов ввести операции покомпонентного сложения, вычитания и умножения на вещественное число. Соответственно, сумма двух кватернионов в этом случае будет определяться формулой.

Однако в отличие от векторов, для кватернионов также можно ввести и операцию умножения двух кватернионов. Для этого достаточно раскрыть скобки в соответствующем произведении и воспользоваться свойствами мнимых единиц. Тогда получим:

Отметим, что произведение кватернионов не коммутативно, т. е., как правило, q_{q₂ Ф q₂q_v

Так же как и с комплексными числами, для любого кватерниона можно определить сопряженный кватернион q =w-i-xj-y — k-z. Операция сопряжения кватернионов обладает следующими свойствами:

Для произвольного кватерниона q можно определить его норму.

II#

Норма кватерниона удовлетворяет следующим свойствам:

Кватернион q называется единичным, если его длина равна единице (N (q) = l). При этом любое вещественное число можно рассматривать как кватернион, у которого мнимая часть равна нулю. Для не равного нулю кватерниона q можно ввести обратный к нему кватернион -1 следующим образом:

Легко убедиться, что q-q ' =q~' q = 1.

Путем группировки действительной и мнимой частей произвольный кватернион q = w + ix+jy+kz можно записать в виде где v — трехмерный вектор,

С помощью подобной записи кватерниона операцию умножения кватернионов можно записать как.

Рассматривая кватернион как четырехмерный вектор, введем для кватернионов операцию скалярного произведения по аналогии с двухмерным и трехмерным случаями:

Пусть q — единичный кватернион, тогда существуют такой угол 0 и трехмерный вектор ?>, что данный кватернион можно записать в виде.

Используя формулу для умножения кватернионов, несложно убедиться в том, что q² =[sin (20), pcos (20)]. Отсюда по индукции получаем, что для любого натурального п

Исходя из этого свойства кватернионов, введем операцию возведения кватерниона q в произвольную вещественную степень t:

Если имеется произвольный трехмерный вектор р, то можно сопоставить ему кватернион [0, р]. Тогда есть возможность показать, что для любого единичного кватерниона q = [sin 0, acosO] мнимая часть выражения q[(), p]q— это трехмерный вектор р', который является результатом поворота исходного вектора р вокруг вектора v на угол 20.

Таким образом, единичные кватернионы представляют собой удобный способ для задания произвольных поворотов (и, следовательно, ориентаций) в трехмерном пространстве.

Несложно показать, что если есть два единичных кватерниона <7₍ и q₂, то результатом их последовательного применения будет произведение этих кватернионов:

Можно использовать единичные кватернионы для представления поворотов вместо матриц поворота. Этот способ удобнее, поскольку кватернион является более компактной записью. Если у нас есть единичный кватернион, то можно записать соответствующую ему матрицу поворота:

Важным свойством кватернионов является то, что для них можно определить операцию сферической линейной интерполяции для получения гладкого перехода от одной ориентации к другой. Эта операция в случае единичных кватернионов определяется с помощью формулы.

Угол (р в этой формуле определяется через угол между единичными кватернионами ср и у₂: