Математическое ожидание критерия оптимизации

В тех случаях, когда удается узнать не только все возможные состояния внешней среды, но и вероятность наступления каждого из них, для принятия оптимальных решений, как и в условиях определенности, можно использовать однозначные критерии (целевые функции) в виде математических ожиданий множества возможных результатов.

При наличии показателей вероятности реализации каждой альтернативы дерево состояний, посредством которого представляются последствия принятия решений в условиях неопределенности, становится более информативным. Каждой стрелке, представляющей возможность трансформации предыдущего состояния (t) в последующее (t + 1), приписывается вероятность такой трансформации (w_t ?₊₁). Она показывает, насколько вероятно наступление соответствующего состояния после того, как предыдущее состояние уже реализовалось, и называется условной (переходной) вероятностью. Каждому узлу (кружочку), представляющему состояние внешней среды приписывается конечная (безусловная) вероятность, которая показывает, с какой вероятностью возможно данное состояние на определенный момент времени. Конечная вероятность рассчитывается посредством перемножения следующих друг за другом переходных вероятностей; в первом периоде они тождественны. Сумма вероятностей всех состояний в каждом периоде по определению равна 1. Так, в представленном на рис. 3.6 случае конечная вероятность реализации состояния s₄ равна w_X2- * «йо! ^ПР^И этом обеспечивается равенство:

Рис. 3.6. Дерево состояний с известным распределением вероятностей

Зная распределение вероятностей ожидаемых в каждом периоде чистых поступлений, дерево состояний инвестиционного проекта можно заменить вектором ожидаемых разновременных выплат и поступлений:

где  — математическое ожидание чистых поступлений в периоде ?;

w_tj — конечная вероятность получения в периоде t чистых поступлений а_{у; s — число возможных состояний внешней среды в периоде t.

При заданной калькуляционной ставке процента на основе математических ожиданий чистых поступлений можно рассчитать математическое ожидание чистой сегодняшней ценности (NPV) инвестиционного проекта, основываясь на следующих положениях теории вероятности:

— математическое ожидание суммы случайных переменных равно сумме их математических ожиданий

— если Cj некоторые константы, то В соответствии с выражением (3.1)

Инвестиционный проект признается экономически целесообразным, если NPV > 0, а из множества альтернативных проектов выбирается проект с максимальной NPV. При отсутствии совершенного рынка денег (экзогенно заданной калькуляционной ставки процента) задача, как и при отсутствии неопределенности, усложняется, но тоже имеет решение.

Пример 3.2. Составим оптимальную инвестиционно-финансовую программу при экзогенной калькуляционной ставке процента из двух совместно осуществимых инвестиционных проектов А и В, каждый из которых может использоваться с двойной интенсивностью. Соответствующие им объемы инвестиций и ожидаемые чистые поступления представлены деревьями платежей на рис. 3.7 и 3.8.

Рис. 3.7. Дерево платежей инвестиционного проекта А.

Каждое состояние внешней среды текущего периода с заданной вероятностью может перейти в два других состояния (оживление или рецессия) в следующем периоде; у стрелочек на рис. 3.7 и 3.8 указаны промежуточные вероятности, а конечные вероятности состояний в последнем периоде — иод ними.

Конечные вероятности получаются в результате следующих расчетов:

Для финансирования инвестиций можно получить кредит в размере 310 ден. ед. на три года под 6% годовых. Платежи по возврату кредита с процентами зависят от состояния внешней среды. В случае оживления конъюнктуры каждый год выплачивается аннуитет, который равен 116 ден. ед., так как при i = 0,06 аннуитетный коэффициент равен 2,673 (см. формулу (2.1)). В случае спада в первом году нужно выплачивать 85 ден. ед., во втором году — 95 ден. ед. и в третьем -173 ден. ед. Дерево платежей, но этому кредиту представлено на рис. 3.9.

Рис. 3.8. Дерево платежей инвестиционного проекта В.

Рис. 3.9. Дерево платежей источника финансирования F_0.

Кроме этого возможны не ограниченные по объему кредитно-ссудные операции на рынке денег при i_s = 8% и ц = 5%. Требуется составить такую инвестиционно-финансовую программу, которая обеспечит максимальное математическое ожидание чистых поступлений в третьем году при реинвестировании чистых поступлений первого и второго годов в собственное производство и поддержании постоянной самоокупаемости программы.

По своей сути рассматриваемая задача идентична задаче из примера 2.6 из предыдущей главы. Поэтому она может быть решена методом линейного программирования, но с учетом специфики рисковой ситуации. В табл. 3.3 исходная информация представлена в удобном для составления задачи линейного программирования виде.

В нулевом году размер выплат однозначно задан; в первом году размеры поступлений зависят от двух возможных состояний: оживления или рецессии; во втором году возможны четыре состояния (в зависимости от того, что было в нулевом году): оживление после рецессии, подъем после оживления, рецессия после оживления, рецессия после рецессии. Соответственно, в третьем году сложится одна из восьми возможных конъюнктур. Возможность проводить операции на рынке денег представлена в табл. 3.3 инвестиционными проектами 1_С — 1_К и источниками финансирования F_{ — F₇.

Теперь можно рассчитать математическое ожидание чистых поступлений и выплат по каждому проекту инвестирования и варианту финансирования в третьем году:

• 1_А: 0,28 • 110 + 0,12 • 100 + 0,03 • 80 + 0,07 • 70 + 0,025 • 85 + 0,075? 80 + 0,1 • 75 + 0,3 • 65 = = 85,2.
• 1_В: 0,28 • 90 + 0,12 • 80 + 0,03 • 75 + 0,07 • 70 + 0,025 • 80 + 0,075 • 70 + 0,1 • 70 + 0,3 • 55 = = 72,7.

Следовательно, целевым показателем инвестиционно-финансовой программы является максимум суммы: 85,2r_t + 72,7х₂ + 42х₆ + 10Дг₇ + 10,5х₈ + 42х₉ — 144,5х₁₀ — 43,2х₁₄ — - 10Дт₁₅— 10,8л:₁₆-43,2х₁₇.

На переменные целевой функции наложены ограничения в виде условий самоокупаемости проекта (его платежеспособности):

5) ограничивающих интенсивность использования каждого проекта: 0 <�х_{ < 2; 0 < х₂ ^ 2; 0 < лг₁₀ < 1; остальные переменные — не отрицательны.

Таблица 33

Потоки ожидаемых платежей по годам и соответствующим им состояниям внешней среды.

Эта задача линейного программирования имеет следующее решение: х_{ = 2; х₂ = 1,48; х_е = 1,11; х₇ = 0,56; х₈ = 0,14; х_ю = 1; х_и = 2,72; лг₁₂ = 0,91; х_{3 = 1,5; Х₇ = 0,36; остальные переменные равны нулю.

Таким образом, в заданных условиях оптимальная инвестиционно-финансовая программа должна включать проект 1_Л с удвоенной интенсивностью, проект 1_В с интенсивностью 1,48 и ссудные операции на денежном рынке в состояниях s₃, s₅ на суммы 111; 56 и 14 ден. ед. соответственно. Для финансирования программы, кроме полного использования кредита, придется занимать на денежном рынке в состояниях s₀, s_v s₂ и s₆ суммы 272; 91; 150 и 36 ден. ед. соответственно. В этом случае математическое ожидание чистых поступлений в третьем году (значение целевой функции) равно 172,2 ден. ед. при полном расчете с кредиторами.