Момент полной компенсации и дюрация

Непредвиденное изменение ставки процента после осуществления инвестиций оказывает на благосостояние владельца облигации противоречивое воздействие. Снижение ставки процента, с одной стороны, увеличивает сегодняшнюю ценность вложений в облигацию, а с другой, — ухудшает условия реинвестирования доходов, получаемых до конца срока ее гашения, что уменьшает будущую ценность (Future Value, FV), т. е. сумму приведенных к моменту гашения доходов:

При повышении ставки процента, наоборот, сегодняшняя ценность осуществленных инвестиций снижается, а их будущая ценность возрастает.

Приращение сегодняшней ценности при изменении ставки процента равно.

а приращение конечной ценности.

Если ц > i₀, то APV < 0, a AFV > 0; при г₀ > ц, наоборот, APV > 0, a AFV < 0. Из противоположного изменения PV и FV следует, что в промежутке времени между изменением ставки процента и гашением облигации существует момент, когда будущая ценность облигации одинакова при исходной и новой ставках процента. Назовем его моментом полной компенсации (МПК): к этому моменту изменение PV полностью компенсируется противоположным изменением FV. МПК является точкой пересечения кривых, представляющих рост FV во времени до и после изменения ставки процента.

Пример 5.2. При г = 8% PV облигации номиналом в 100 ден. ед. с пятилетним сроком гашения по номиналу и ежегодным купонным доходом в 12 ден. ед. равна (см. формулу расчета PV аннуитета (2.1))

а ее FV =116- 1,085 = 170,4.

Если сразу после покупки облигации ставка процента снизится до 4%, то в момент ее снижения инвестор окажется богаче, чем ожидал на 19,6 ден. ед.:

Однако из-за того, что теперь сложные проценты начисляются, но более низкой ставке, через пять лет вместо ожидавшихся 170,4 инвестор будет иметь только 135,6 • 1,04⁵ = = 165 ден. ед. Очевидно, что эту потерю нельзя предотвратить путем продажи облигации по возросшей рыночной цене и отдачи вырученной суммы в ссуду на пять лет под сложные проценты.

Если сразу после покупки облигации ставка процента повысится до 12%, то ее PV снизится до 100 ден. ед., a FV возрастет до 176,2 ден. ед.

Динамика FV облигации в течение срока ее обращения до и после изменений ставки процента представлена в табл. 5.1 и на рис. 5.1, по которым видно, что МПК в обоих случаях лежит в начале четвертого года.

Таблица 5.1

Динамика FV при различных ставках процента

Рис. 5.1. Рост FV облигации при различных ставках процента

Формула расчета МПК (обозначим его t) выводится из равенства FV (i₀) = FV (i_{):

При исследовании зависимости МПК от изменения ставки процента обнаруживаются следующие его свойства:

• 1) МПК, соответствующий повышению ставки процента, наступает раньше, чем МПК, соответствующий ее снижению (на рис. 5.1 кривая FVq пересекает кривую FV₂ раньше, чем кривую FV_X)
• 2) чем больше повышается ставка процента, тем раньше наступает МПК; чем больше снижается ставка процента, тем позже наступает МПК;
• 3) при снижении ставки процента пересчитанная FV облигации больше ее исходной FV в течение всего периода до МПК, а при повышении ставки процента пересчитанная FV больше исходной FV после МПК (на рис. 5.1 кривая FV_X пересекает FVо сверху, а кривая FV₂ — снизу);
• 4) чувствительность МПК к изменению ставки процента очень мала; даже при больших значениях Ai величина t меняется незначительно. Отмеченные особенности МПК в условиях примера 5.2 представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

МПК при изменении ставки процента.

Из перечисленных свойств зависимости МПК от изменения ставки процента следует важный вывод: в промежутке времени между МПК при снижении ставки процента и МПК при повышении ставки процента фактическая ценность вложений облигации (инвестиций с гарантированным доходом) выше ее ценности, ожидавшейся на это время. Следовательно, между двумя указанными МПК FV вложений в облигацию после изменения ставки процента превышает свое исходное значение независимо от того, в каком направлении и на сколько изменилась ставка процента.

В примере 5.2 при А/ = ±0,04 — это промежуток {4,074; 4,146}. Он показан на рис 5.2 в виде увеличенного фрагмента рис. 5.1. Чем меньше А/, тем короче этот промежуток.

Предел, к которому стремится значение МПК при бесконечно малом изменении ставки процента, равен^[1]

Рис. 5.2. Интервал превышения FV (i_x) над FV (i₀).

Выражение (5.1) можно представить в виде взвешенной суммы количества лет, остающихся до конца срока обращения облигации, весами которой служат доли каждого года в PV:

Для облигации с постоянным годовым доходом а и ценой гашения В_г формула (5.1) принимает вид¹

Из проведенного анализа следует, что после изменения ставки процента будущая ценность облигации в момент t_D окажется не меньше той, которая ожидалась на этот момент до изменения ставки процента, независимо от того, в каком направлении и на какую величину она изменится. Величина t_D называется дюрацией {duration).

Дж. Хикс^[2][3] обратил внимание па взаимозависимость между дюрацией и эластичностью PV вложений в облигацию по ставке процента. Ее можно представить в следующем виде:

Накопленная сумма вложений в облигации, рассчитанная на момент дюрации по исходной ставке процента, является нижней границей всех значений FV при других ставках процента. У облигации номиналом в 100 ден. сд. с пятилетним сроком гашения по номиналу и ежегодным купонным доходом в 12 ден. ед. t_D = 4,11.

Какие значения принимает моменту дюрации величина FV вложений в такую облигацию при различных ставках процента, показывает изображенная на рис. 5.3 кривая.

Рис. 5.3. FV облигации в момент дюрации при различных ставках процента Таким образом, каждый инвестиционный проект с детерминированными многопериодными чистыми поступлениями, разновидностью которого является покупка облигации, имеет свой показатель дюрации, который рассчитывается по формуле (5.1). Определенная к этому моменту FV инвестиций будет получена независимо от того, как и на сколько изменится ставка процента сразу после осуществления инвестиций (покупки облигаций).

По формуле расчета дюрации видно, что ее величина зависит от:

• а) срока обращения облигации;
• б) ставки процента;
• в) размера попериодных доходов и их распределения во времени.

Исследуем, как меняется дюрация при изменении перечисленных факторов на примере облигаций с купонным доходом.

В соответствии с формулой (5.1) при Г —" 1 дюрация тоже стремится к 1; а при Т —> оо к (1 + i) / i. В интервале 1 < Т < °° изменение величины дюрации по мере увеличения срока обращения купонной облигации зависит от соотношения ее номинальной доходности (а/В_т) и рыночной ставки процента. Если а/В_т= i, то с ростом Т дюрация монотонно увеличивается с замедляющимся темпом, стремясь к величине (1 + i) / i. Более медленно увеличивается дюрация в случае, когда а/ B_r> i. Если а / В_т< г, то на некоторое время величина дюрации переходит свою верхнюю границу и затем возвращается к ней. На рис. 5.4 приведены траектории роста дюраций по мере удлинения срока обращения трех облигаций А, В, С с одинаковой ценой гашения В_т= 100, но различными купонными выплатами: а_А = 2, а_в = 8, а_с= 14 при i = 8% облигаций. Дюрация этих облигаций устремляется к 1,08/0,08 = 13,5.

Рис. 5.4. Зависимость дюрации от срока обращения облигации.

По формуле (5.2) можно заметить, что с ростом ставки процента дюрация сокращается и стремится к 1 при i —> оо. По мере i —> 0 дюрация стремится к своему максимальному значению:

Для иммунизации риска процентной ставки особенно важны последствия перемещения чистых поступлений одного периода в другой. Чтобы обнаружить, как меняют дюрацию сдвиги во времени купонных доходов, перенесем выплаты некоторого периода т на / периодов ближе к концу срока обращения облигации. На текущей ценности облигации (знаменателе формулы (5.1)) такое перемещение дохода не отразится, так как.

Числитель в формуле (5.1) уменьшится на т"_т(1 + г)^_т и увеличится на (т + /)"_т(1-иУ (1-и)^_(г+/); в итоге получаем прирост на /я_т(1-н)^-т. Следовательно, разность между новой и исходной дюрациями равна.

Пример 5.2 (продолжение). При i = 8% дюрация облигации номиналом в 100 ден. ед. с пятилетним сроком гашения по номиналу и ежегодным купонным доходом в 12 ден. ед. равна 4,11. Определим, как изменится дюрация, если 12 ден. ед. второго периода заменить на 12 • 1,08² ден. ед. дополнительного дохода в четвертом периоде:

Это соответствует расчетам по формуле (5.3): 4,287 — 4,11 = 2? 12 • 1,08 ²/116 = 0,177.

• [1] См. п. 1 Математического приложения к данной главе.
• [2] ХиксДж. Стоимость и капитал. М., 1988. С. 304—307.
• [3] Там же.