Практикум. 
Системный анализ

Примеры В настоящее время разработано огромное количество моделей в различных областях науки и техники. Здесь приводятся некоторые из них, на наш взгляд, наиболее интересные и полезные.

Пример № 1. Модель Мальтуса.

Согласно модели, предложенной Т. Мальтусом, скорость роста популяции пропорциональна ее текущему размеру, т. е. описывается дифференциальным уравнением.

где а: — размер популяции; а — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью.

Решением этого уравнения является экспоненциальная функция

где х₀ — размер популяции при t = 0.

Если рождаемость превосходит смертность (а > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. В действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста.

Пример № 2. Демографическая модель Ферхюльста.

В основе этой модели роста/убывания популяции с насыщением, которую также называют моделью Ферхюльста, положено предположение о том, что окружающая среда способна прокормить не более некоторого предельного уровня популяции N*.

где у = а — р — коэффициент прироста популяции, являющийся разностью между коэффициентами рождаемости и смертности; N (t) — численность популяции; JV* — предельный уровень популяции, который способна прокормить окружающая среда. Как известно, решением этого дифференциального уравнения будет.

где N_a — численность популяции при I = 0.

Дискретный аналог полученного уравнения будет.

Пример 3. Модель Лотки — Вольтерра «хищник — жертва».

Запишем в дискретной форме систему уравнений Лотки — Вольтерра:

где N — популяция жертв; М — популяция хищников; М_тах — максимальное количество хищников, которое способна прокормить популяция жертв; N_min — минимальная численность жертв, необходимая для существования популяции хищников; аир — коэффициенты прироста популяций.

Пример № 4. Уравнения Чейза — Осипова — Ланчестера. Модель боевых действий.

Уравнения Чейза — Осипова — Ланчестера в англоязычной литературе известны как законы Ланчестера, — система дифференциальных уравнений, описывающих убыль сражающихся сторон с течением времени.

Линейные уравнения. Линейные уравнения представляют тривиальный случай: происходит размен сил, динамика потерь в котором описывается уравнением, а [Л₀ — Л (01 = Р|Л₀ — B (t)], после которого слабейшая сторона полностью погибает, а сильнейшая уменьшается на величину, равную силе слабейшей, деленной на превосходство победителя в удельной огневой мощи:

где Лу и Л ₀ — силы сильнейшей стороны в начале и конце боя; В₀чВ/— силы слабейшей стороны; а и (3 — удельная огневая мощь сторон.

Если включить огневую мощь в силу сторон, то от коэффициентов аир можно избавиться.

Квадратичные уравнения. Квадратичные уравнения, описывающие современный бой, основываются на предположении, что ущерб, наносимый одной стороной за единицу времени другой, пропорционален силе этой стороны:

где /1(7) и B (t) — силы сторон в момент t; а и р — огневая мощь сторон.

Если принять /1₀=/1 (0) и В₀ = В (0) за силы сторон в начале боя, то аналитическое решение уравнений таково:

Пример № 5. Гонка вооружений (модель Ричардсона).

В этой относительно простой модели учитывается действие трех факторов. Первый из них состоит в том, что государство X ощущает наличие военной угрозы со стороны противника — государства У. Чем большим количеством вооружений располагает Y, тем больше вооружений захочет приобрести X в ответ на воспринимаемую им угрозу. Однако в то же самое время государство X вынуждено решать и социальные задачи и не может перевести всю свою экономику на рельсы военного производства. Следовательно, чем большим количеством вооружений располагает X, тем меньше дополнительных вооружений оно сможет приобрести из-за существующих расходов. И наконец, по рассуждению Ричардсона, существуют и прошлые обиды, влияющие на общий уровень вооружений. Та же самая логика, которая применима к государству X, действует и в отношении государства У, для которого составляется сходное уравнение. С математической точки зрения все это рассуждение сводится к двум уравнениям.

где X, и Y_r — величины уровней вооружений в момент времени t; X_[+i и П₊1 — тоже в момент времени t + 1; k, т, а и b — коэффициенты — положительные величины; g и h — коэффициенты, которые могут быть положительными или отрицательными в зависимости от того, насколько в целом враждебно или дружественно настроены государства X и У по отношению друг к другу.

Величина угрозы отражена в членах kY_t и тХ, поскольку, чем больше эти числа, тем больше количество вооружений у противной стороны. Величина расходов отражена в членах aX_t и bY_t, поскольку за счет этих членов снижается уровень вооружений в следующем году. Наконец, константы g и h отражают величину прошлой обиды, которая в рамках данной модели считается неизменной. Модель Ричардсона в целом эффективна в случаях краткосрочных прогнозов, и — что существенно — лучше нее не работает никакая другая автономная модель.

Пример № 6. Модель расчета межотраслевого баланса Леонтьева.

1. Рассмотрим две отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали, а некоторое количество стали — в виде инструментов — нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля — 0,1 т стали. Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был 200 000 т угля, а черной металлургии — 50 000 т стали. Если они будут производить только 200 000 и 50 000 т соответственно, то часть их продукции будет использована ими же и чистый выход будет меньше.

Действительно, для производства 50 000 т стали требуется 3 • 5 Ю⁴ = 150 000 т угля и чистый выход из 200 000 т произведенного угля будет равен: 2 • 10⁵ — 1,5 • 10⁵ = 50 000 т угля. Для производства 200 000 т угля нужно 0,1 • 2 • 10⁵= 20 000 г стали и чистый выход из 50 000 т произведенной стали будет равен 5 • 10⁴ — 2 • 10⁴ = 30 000 т стали.

То есть для того, чтобы произвести 200 000 т угля и 50 000 т стати, которые могли бы потребить отрасли, нс производящие уголь и стать (чистый выпуск), нужно дополнительно производить уголь и сталь, которые используются для их производства. Обозначим Х — необходимое общее количество угля (валовой выпуск), Х₂ — необходимое общее количество (валовой выпуск) стали. Валовой выпуск каждой продукции является решением системы уравнений.

Решение: 500 000 т угля и 100 000 т стали. Для систематического решения задач расчета межотраслевого батаиса находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т каждого продукта.

Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска 2 • 10⁵т угля, нужно умножить эти числа на 2 • 10⁵. Получим: (285 714; 28 571).

Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т стали:

Для чистого выпуска 5 • 10⁴ т стали нужно: (214 286; 71 429) угля и стали соответственно.

Валовой выпуск для производства 2 • 10⁵ т угля и 5 • 10⁴ т стали:

• (285 714 + 214 286); (28 571 + 71 429) = (500 000); (100 000).
• 2. Экономика представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых поставках Ху и векторе объемов конечного использования У₀.

Требуется.

• 1. Определить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат Л, матрицу «затраты — выпуск» (Е — А) и вектор конечного потребления для вектора валовых выпусков X.
• 2. Определить матрицу коэффициентов полных материальных затрат В и валовые объемы выпуска Х_п для вектора конечного использования У".
• 3. Определить приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно измениться на ДУ% по сравнению с У".
• 4. Определить матрицу полных затрат ресурсов S для матрицы М ее прямых затрат и суммарную потребность р в ресурсах для вектора конечного использования (отчетного и планового).
• 5. Определить матрицы коэффициентов косвенных затрат первого Ж¹), второго Л<²> и третьего Ж³> порядка, сравнить сумму затрат Е + Ж¹) + Ж²> + Ж³> с полными затратами В, найти абсолютные погрешности.
• 6. Найти потребность в продукции всех отраслей материального производства для получения единицы конечного продукта у-го вида.

Указание: при вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение.

1. Найдем валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки и координату вектора У₀:

Найдем матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по выражению.

Подставляя числовые значения, получаем:

Найдем матрицу «затраты — выпуск»:

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе балансового соотношения:

2. Найдем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В — она будет равна обратной матрице (Е — А).

Определитель матрицы (Е — А):

Алгебраические дополнения: Обратная матрица:

Вектор валового объема выпуска Х_п для конечного продукта Y_n определим по выражению:

3. Найдем приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться на AY% по сравнению с У₀:

4. Найдем матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат М:

6. Найдем вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства b_tJ для получения единицы конечного продукта bj вида. Для этого просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать продукции на сумму 1,864 ден. ед., для производства единицы конечного продукта во второй отрасли — на сумму 1,958 ден. ед.

Пример № 7. Модель оптимизационной задачи — задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции Р_{, Р₂ и Р₃ используют три вида сырья (ресурса) S_{, S₂ и 5₃. Запасы сырья, а также количество его единиц, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные для задачи

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р_{, Р₂ и Р₃, составляет 2, 1 и 3 тыс. руб. соответственно. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через X_vX₂uX₃ количество планируемых единиц продукции вида Р_ь Р₂ и Р₃ соответственно. Для их изготовления потребуется Х_{ + 2Х₂ единиц сырья S_v 1Х₂ + 1Х₃ единиц сырья S₂, 2Х_х + 2Х₂ — сырья 5₃. Связь между потреблением ресурсов и их запасами выразим системой неравенств.

Суммарная прибыль составит: L = 2Х_х + 1Х₂ + ЗХ₃тыс. руб. и должна быть максимальной.

Получили математическая модель, которая называется задачей линейного программирования. Будем искать решение (ответ) с помощью симплексных таблиц. Выполняем действия алгоритма.

• 1. Выбираем начальный опорный план.
• 1.1. Все свободные члены имеют положительные значения, поэтому никаких преобразований не делаем.
• 1.2. Так как все переменные несут условие неотрицательности, замену не делаем.
• 1.3. Переходим от неравенств к равенствам с помощью ослабляющих переменных Х_А, Х_5у Х₆:

Находим единичные векторы условий, которые войдут в базис. Из записанной выше системы ограничений видно, что есть четыре единичных вектора. В базисе их должно быть три (т = 3). Векторы Л₃, Л₄, Л₅, Л₆ — единичные.

Пусть начальный базис Б₀ = {Л₃, Л₄, Л_б}. Соответствующий начальный опорный план Х₀ = (0, 0, 6, 9, 0, 3). Заполняем первую симплексную табл. 2.

Таблица 2

Первая симплексная таблица

Порядок заполнения.

• 1. В первой строке записываем коэффициенты линейной формы.
• 2. Переносим коэффициенты векторов условий (элементы а, у) в среднюю часть таблицы (заполняем вектор Л_;). В последующих таблицах здесь получаются значения величин Zy (коэффициенты разложения векторов условий по векторам базиса).
• 3. Во втором столбце записываем вектор базиса, в первом столбце — соответствующие им коэффициенты линейной формы.
• 4. Заполняем третий столбец симплексной таблицы Х₀, в который запишем компоненты опорного плана. Для первой симплексной таблицы они совпадают со свободными членами Л,.
• 5. Находим значение ДХ₀)=5]С,-^,-. Получили 18.

ieB.

6. Заполним предпоследнюю строку таблицы, найдем значения:

Для вектора Л! Z₁ = 01+30 + 0- 2 = 0.

7. Заполняем последнюю строку симплексной таблицы.

Значения Д/ определяются как разность элементов значений предпоследней и первой строки, т. е. Aj = ZjСу

• 8. Делаем вывод об оптимальности полученного решения. План Х₀ не оптимален, так как есть значения А/ < 0 (задача на максимум).
• 9. Определяем вектор, который будем вводить в базис. Так как только < О, то вводим первый вектор.
• 10. Определяем вектор, который будем выводить из базиса, для этого находим значение величины 0:

Так как значение 0 получили по третьей строке, то выводить из базиса будем А_б. Тогда главной строкой будет третья, главным столбцом первый, а главный элемент — на их пересечении +2.

11. Находим новый опорный план Х_и для этого заполняем вторую симплексную таблицу. Первые две строки таблицы (шайка таблицы) запишем без изменений. Во втором столбце — новый базис. Соответственно другие значения в первом столбце.

Находим новые значения третьей строки (была главной). Делим старые значения на главный элемент. Например, 3/2 = 1,5; 2/2 = 1; и т. д.; ½ = 0,5. Заполняем первую строку: от старых значений вычитаем соответствующие значения полученной третьей строки, причем третью строку предварительно следует умножить на соответствующий элемент главного столбца. Это элемент на пересечении первой строки и главного столбца +1. Элементы второй строки переписываем без изменения, так как в главном столбце соответствующий элемент равен нулю.

Таблица 3

Вторая симплексная таблица.

• 12. Находим величины и Д/.
• 13. Делаем вывод об оптимальности полученного решения. План Х_] оптимален, так все А/ > 0. Задача решена.

Ответ: L_max = 30, Х_от = (1,5; 0; 9).

То есть следует выпускать 1,5 ед. продукции первого вида и 9 ед. третьего, продукцию второго вида нс выпускать. При этом будет получена максимальная прибыль 30 тыс. руб. Получили = 4,5 (значение ослабляющей переменной). Это говорит о том, что первый вид сырья при оптимальном плане будет использован не полностью, остаток равен 4,5 ед.

Пример № 8. Модель нелинейной оптимизации — метод множителей Лагранжа.

Задача о консервной банке. Требуется определить размеры консервной банки заданного объема V, на изготовление которой пойдет наименьшее количество материала. Банка имеет форму усеченного цилиндра.

Решение. Поскольку банка изготавливается из материала одинаковой толщины, то минимум количества материала будет соответствовать минимуму площади ее поверхности. Таким образом, целевая функция, значение которой надо минимизировать, будет где S — общая площадь поверхности банки; R — радиус банки; h — высота банки. Ограничение в данном случае — величина объема V:

либо в другом виде: (nR²h — V) = 0.

Составим уравнение Лагранжа:

где X — множитель Лагранжа.

Определим частные производные полученной функции по R, h, X и после элементарных преобразований получим:

Решеиие этой системы уравнений дает.

Таким образом, у банки заданного объема, на изготовление которой пойдет минимальное количество материала, диаметр равен высоте и эти величины вычисляются, но вышеприведенному выражению.

Пример № 9. Модель одноканальной системы массового обслуживания с потерями (отказами) — метод статистических испытаний.

На вход данной системы в случайные моменты времени t_i поступает простейший поток заявок с параметром X. Если в момент времени ^ канал обслуживания свободен, то заявка принимается к обслуживанию и занимает канал на случайное время т₃. Это время имеет показательный закон распределения с параметром р. Если заявка застанет канал занятым, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему. Требуется определить вероятность отказа в обслуживании.

На рис. 1 представлена упрощенная блок-схема алгоритма функционирования данной системы.

Последовательность реализации алгоритма будет следующей. Оператор 3 формирует моменты времени ?, поступления заявок в систему массового обслуживания. Порядок получения значений таков:

где 4,-— случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром X.

Предположим, что оператор 3 сформировал значение t_v Далее управление передается оператору 4, который сравнивает текущее значение t с постоянной Т — длительностью интервала времени, на котором производится исследование процесса обслуживания. Если t < Т, управление передается оператору 5, который сравнивает момент поступления заявки t и момент освобождения канала обслуживания ?_осв. Если t > t_OCB, то это означает, что канал обслуживания свободен, и происходит обслуживание заявки. Если же t < t_oai, то заявка получает отказ в обслуживании. Управление перелается оператору 8, а затем оператору 3 для формирования следующей заявки. Значение t_OCB формируется операторами 6 и 7. Вначале генерируется очередное значение величины T_;ii — случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром р (оператор 6). Время освобождения формируется оператором 7: С_жп = t + x._ti. От оператора 7 управление передается оператору 3 для перехода к очередной заявке.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма одноканальной системы массового.

обслуживания Если t > Т, это означает, что время данной реализации процесса обслуживания закончено, поэтому необходимо переходить к очередной реализации. Управление передается оператору 9. Если п < N, это значит, что для достоверной оценки вероятности отказа в обслуживании статистики недостаточно. Поэтому управление передается оператору 10, а затем оператору 3 для продолжения процесса моделирования. Если п > N, то это означает, что заданное количество отказов в обслуживании набрано, поэтому осуществляются расчет вероятности отказа в обслуживании и выдача результатов моделирования. Процесс моделирования завершается.

Практические задания Задание № 1. Балансовая модель Леонтьева.

1. Для трехотраслевой системы экономики заданы матрица прямых затрат А и валовой выпуск X

Необходимо вычислить вектор конечной продукции Y.

2. Технологическая матрица прямых затрат в межотраслевом балансе имеет вид.

Вычислить вектор валового выпуска X, если необходимо получить конечный продукт в первой отрасли — 70 тыс. руб., во второй — 230 тыс. руб., в третьей — 160 тыс. руб., т. е.

3. Для трехотраслевой системы экономики задана матрица прямых затрат А и валовой выпуск X. Необходимо вычислить вектор конечной продукции Y.

Задание № 2. Линейное программирование.

Построить математическую модель задачи и решить ее средствами Excel. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.

1. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и общее количество сырья, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице. В пей показаны прибыль от реализации единицы изделия.

Прибыль от реализации единицы изделий А и В составляет 30 и 40 у.е. соответственно. Требуется составить такой план выпуска изделий, при котором прибыль предприятия от их реализации будет максимальной.

2. Построить математическую модель и решить се графическим способом.

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы, для питания которых используется два вида кормов. В таблице приведено общее количество корма, а также количество корма, которое ежедневно должны получать лисицы и песцы.

Прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца составляет 16 и 12 у.е. соответственно. Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать, чтобы получить максимальную прибыль от реализации их шкурок.

3. Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сортов А и В, смешивая три ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай. В таблице приведены общие запасы и нормы расхода ингредиентов.

Прибыль от реализации одной тонны продукции типа А и В составляет 3200 и 2900 руб. соответственно. Требуется составить план производства чая с целью максимизации суммарной прибыли.

Задание № 3. Нелинейная оптимизация.

1. Задача о цилиндрической консервной банке.

Требуется определить размеры консервной банки заданного объема V', имеющей минимальную длину сварного шва. Банка имеет форму усеченного цилиндра.

2. Задача о прямоугольной консервной банке.

Требуется определить размеры прямоугольной консервной банки заданного объема V, на изготовление которой пойдет наименьшее количество материала.

Задание № 4. Модель метода статистических испытаний.

• 1. Составить блок-схему алгоритма модели и-канальной системы массового обслуживания с потерями (отказами). На вход данной системы в случайные моменты времени ?, поступает простейший поток заявок с параметром X. Если в момент времени tj хотя бы один канал обслуживания свободен, то заявка принимается к обслуживанию и занимает канал на случайное время т₃. Это время имеет показательный закон распределения с параметром р. Если заявка застанет все каналы занятыми, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему. Требуется определить вероятности Р, Р₂, Р_п занятости одного, двух и т. д. до п каналов соответственно. При этом указанные вероятности требуется определить для различных значений р = Х/ц, изменяющихся в пределах от p_min = 0,1 до р_тах = 2 через интервал Др = 0,1.
• 2. Составить блок-схему алгоритма модели w-канальной системы массового обслуживания с ожиданием, с ограниченной длиной очереди.

На вход данной системы в случайные моменты времени tj поступает простейший поток заявок с параметром X. Если в момент времени ?, хотя бы один канал обслуживания свободен, то заявка принимается к обслуживанию и занимает канал на случайное время т₃. Это время имеет показательный закон распределения с параметром р.

Если заявка застанет все каналы занятыми, то она становится в очередь. Если число заявок, уже стоящих в очереди, равно заданному числу К_} то данная заявка получает отказ в обслуживании и покидает систему. Требуется определить вероятности Р_1? Р₂,…, Р_п занятости одного, двух и т. д. до п каналов соответственно, а также Р_Л+1, Р_я+2, Р" ,? состояний системы, когда все каналы заняты, а в очереди стоят одна, две … k заявок соответственно. При этом указанные вероятности требуется определить для различных значений р = Х/ц, изменяющихся в пределах от p_min = 0,1 до р_тах = 2 через интервал Др = 0,1.

Контрольные вопросы и задания.

• 1. Что такое моделирование систем и каковы основные этапы его проведения?
• 2. Сформулируйте основные принципы построения моделей.
• 3. Назовите основные классификационные признаки моделей и дайте краткую их характеристику.
• 4. Раскройте содержание инвариантной, аналитической и алгоритмической форм математических моделей.
• 5. Назовите основные методы имитационного моделирования.
• 6. Сформулируйте основные этапы построения математических моделей.
• 7. 11азовите основные языки моделирования и дайте им краткую характеристику.
• 8. Какова суть основных этапов моделирования на ЭВМ?
• 9. В чем суть методов моделирования по принципу 81 и, но принципу особых состояний?
• 10. Назовите основные причины неадекватности моделей, а также методы и виды проверок их адекватности.
• 11. Что такое область пригодности модели?
• 12. В чем суть стратегического и тактического планирования процесса моделирования?
• 13. В каких целях используются результаты моделирования?