Математика и теория познания

Мы не знаем, долго ли просуществуют земля и небо, но знаем, что всегда 3 и 7 будет 10.

Аврелий Августин

Теория познания — это важнейшая область философии, связанная как с онтологией, так и с человеческим сознанием. Она обозначается терминами гносеология и эпистемология, которые одни философы склонны отождествлять, другие — различать. В неклассической философии эпистемология (наряду с методологией науки) выступает как часть гносеологии, или теории познания. Если гносеология всесторонне исследует основополагающее отношение субъект — объект, то в центре интересов эпистемологии находится отношение объект — знание. В эпистемологии рассматривается само знание, его строение и эволюция. Следует отметить, что теория познания в древнегреческих научно-философских школах полностью относится к эпистемологии.

В нашей книге мы придерживаемся эпистемологии, стараясь отвлечься от исторических, социокультурных и психологических аспектов познания. Если идет речь о субъекте познания, то в таковом качестве выступает объективированный, лишенный эмоций и психологических наслоений человеческий разум, то есть незамутненное сознание и чистое мышление. Мы сознательно делаем упор на метафизическом подходе к математике и науке, считая умозрительный подход к своей науке (можете назвать его спекулятивным), опирающийся на математические знания, наблюдения и собственную деятельность, оправданным и достаточно объективным.

Не следует обожествлять человеческий разум и считать — вслед за Протагором — человека «мерой всех вещей». Как известно, поставить себя на место обобщенного субъекта, понять человека вообще проще, чем изучить конкретную личность. Тем не менее познание самого себя, к чему призывал Гераклит, совершенно необходимо, поскольку открывает новые горизонты и границы нашего познания. Как говорил австрийский философ Мориц Шлик в 1930 году, «существует познание, и ничего, кроме познания, его цель — только истина».

Объект и предмет математики

Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Фридрих Энгельс

В жизни современного общества математика играет все большую роль. Математика есть универсальный язык науки и мощный метод научного исследования. Математика — это и самая безупречная логика, и объективная доказательность, и наиболее совершенный способ мышления. История математики являет собой грандиозное свидетельство интеллектуального развития человечества за последние тысячелетия. Пьер Гассенди утверждает: «Если мы что-то знаем, то это благодаря изучению математики». По словам М. В. Ломоносова, «математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». И это относится к каждому человеку, человеку любой профессии.

Вглядываясь в математические тексты, мы видим специальные знаки, с помощью которых записаны специфические выражения. Эти выражения подразделяются на термы, обозначающие предметы, то есть элементы предметных областей, и формулы, означающие высказывания о свойствах и отношениях данных предметов. Математические выражения преобразуются друг в друга по четко заданным правилам. Скажем, термы упрощаются, свертываются с помощью тождественных преобразований, а формулы переходят в более обозримые равносильные формулы. Внешне математические выражения преобразуются чисто формально — на основе только своей формы по абстрактным правилам. Однако за каждой формулой или термом стоит своя семантика — определенные смыслы, значения, интерпретации. Предварительное знание некоторых смыслов подкрепляет логическое мышление интуитивным предвидением конечной формы преобразуемых математических выражений. Математический язык способен выразить многие и разнообразные явления окружающей действительности и человеческого сознания. Абстрактные понятия и формулы математики повествуют о целых множествах подобных, формально связанных между собой явлений, о явлениях сходных, сравнимых по тем или иным параметрам. Эти параметры имеют по необходимости структурный характер, который и схватывает математика.

Рассмотрим важнейшие аспекты, объединяющие различные математические дисциплины в единое целое — в математику. Дадим сначала общую характеристику математике.

Математика изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества. Число и геометрическая фигура — исходные абстракции, непосредственная математическая реальность, составляющие — вместе с их обобщениями — предмет математики. Эффективность математики и ее приложений обеспечивается, по-видимому, предполагаемым единством Мира — на той или иной первооснове: Бог, абсолютная идея, законы природы и т. д.

Для уяснения роли и значимости математики в научном познании мира и в профессиональном образовании необходимо понять, что такое математика. Природа математики (как и любой науки) определяется спецификой ее объекта и предмета изучения, основными методами исследования, а также выделением различных ее характерных черт. Перечислим соответствующие подходы и описания.

Математика является наукой о пространственных формах и количественных отношениях окружающего мира (Фридрих Энгельс).

Математика — учение о количестве (Галилео Галилей).

Суть математики в числах (пифагорейцы).

Математика — наука о форме.

Математика есть наука о мере и порядке (Рене Декарт).

Математика — мера всех вещей.

Математика — часть логики (логицисты).

Математики играют в символы (формалисты).

Математика есть предмет, в котором неизвестно, о чем мы говорим и верно ли то, что мы говорим (Бертран Рассел).

Математика — особый вид интеллектуальной деятельности (интуиционисты).

Математика — это доказательство (Никола Бурбаки).

Математика изучает математические структуры (Никола Бурбаки).

Математика — это наука о бесконечном (Герман Вейль, Давид Гильберт).

Математика — это искусство давать разным вещам общее имя (Анри Пуанкаре).

Математика есть также искусство одно и то же называть по-разному (фольклор).

Математика исследует универсальные абстракции.

В математике все есть (физики-теоретики).

Математика изучает самое себя (фольклор).

Математика — колоссальная метафора.

Математика — самая простая наука, и в то же время одна из самых трудных.

Математика воспитывает личность (этический аспект).

Математика есть истина об условном, а логика — об абсолютном.

Математика — наука о явлениях, то есть феноменология.

Приведенные определения высвечивают самые существенные стороны математики и ее методологии. Эти суждения вкупе с анализом истории и тенденций развития математики позволяют нам еще тверже сформулировать следующие положения.

Объектом математики как науки являются фундаментальные категории формы и количества, взятые в наиболее общем и чистом виде, и всевозможные их проявления. Предметом математики служат разнообразные математические структуры и математические модели, которые появляются (открываются или изобретаются) в результате интеллектуальной деятельности человека как продукты рефлексии или отображение реальности. А общий метод математики есть строгая дедукция.

Итак, математика есть наука о форме и количестве и четких схемах их бытия и воплощения. Поэтому математика универсальна как метод, аппарат исследования и получения научного знания и как точный язык его описания. Математика имеет многочисленные теоретические и практические приложения, адекватные действительности. Именно в рамках математики возник общенаучный дедуктивный метод, широко применяемый не только в естествознании и технике, но и в гуманитарных науках и обществоведении. Современная математика включает логику как науку о формах правильного мышления; традиционная логика получила дальнейшее развитие в русле математической логики. Если естественные науки изучают природу, а гуманитарные и социальные науки — человека и человеческое общество, то математика исследует в ее же недрах полученные абстракции, то есть в известном смысле самое себя. В этом отношении математика близка к философии, научная составляющая которой отражена в постоянно развивающейся системе философских категорий.

Чтобы понимать математику, надо знать ее историю, место и роль в познании, в системе наук, иметь определенные представления о методологии и философии математики, что непосредственно связано с мировоззрением. Мировоззрение в целом, в широком смысле есть идеология, а научное мировоззрение — методология науки, или научная идеология, способная дать общую научную картину мира. Философское мировоззрение, помимо научных аспектов (точного знания), может содержать трасцендентальные абстракции и образы, догмы и домыслы, которые относятся, по Расселу, к сфере веры и религии. Мировоззренческими вопросами занимаются общественные науки, но, главным образом, — философия. Созданные великими философами системы, так или иначе объясняющие мироустройство, — это идеология, возможно, целых эпох.

Современная научная картина мира зиждется на двух общих принципах (российский математик и философ, академик И. Р. Шафаревич): принципе математизации знания и принципе гармонии, или эстетического отбора. Принцип математизации заключается, во-первых, в широком применении математических методов и теорий в других науках, технике и практике и, во-вторых, в построении наук, особенно естественных, по образу и подобию математики, дедуктивно. Наиболее ярко эта методология выражена в известном тезисе Галилея: «Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым то, что таковым пока еще не является».

Из всех наук математика наиболее эстетична и, значит, целесообразна. Английский философ XIII века Роджер Бэкон утверждал, что «тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Как отмечает российский математик академик В. И. Арнольд, за семь веков мало что изменилось. Еще несколько цитат. Готфрид Лейбниц: «Вечные истины значимы совершенно независимо от какого-то ни было фактического состояния действительности, какова бы она ни была». Галилей: «Философия написана в грандиозной книге — Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики…» Леонардо да Винчи: «Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства». Иммануил Кант заметил: «Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена к ней математика».

Принцип эстетического отбора (подобно принципу естественного отбора Чарльза Дарвина) заключается в научном выживании и доминировании более красивых и совершенных понятий, идей, методов и теорий, отражающих совершенство мира и утверждающих целесообразность красоты (писатель-фантаст и ученый И. Е. Ефремов). Так, теория групп остается ведущей ветвью современной алгебры. Возникнув в трудах выдающихся французских математиков Жозефа Луи Лагранжа и Эвариста Галуа (группа подстановок корней алгебраического уравнения), группы проникли во многие разделы математики и естествознания. Это объясняется как важностью групп преобразований в самой математике, так и тем, что группы отражают фундаментальное понятие симметрии. Однако понятие груды, определяемой как алгебра с некоторой тернарной операцией и обобщающей понятие группы, не прижилось в математике. Отчасти, возможно, и благодаря своему названию.

О чем говорят эти высказывания? Все они подтверждают принцип математизации знания, его объективность и первенство в научном познании, подводят к следующему фундаментальному методологическому тезису:

математическая форма (формулы, модели) предметной теории (физической, химической, биологической, экономической и т. д.) сохраняется, содержание предметной теории может меняться, а прояснение ее сущности вообще проблематично (принадлежит философии).

В качестве примера можно взять теорию распространения света. Соответствующие математические формулы (геометрическая оптика) давно установлены. А физическая природа света трактовалась по-разному: корпускулярная (существуют молекулы света), волновая, корпускулярно-волновая, квантовая, полевая. Еще загадочнее обстоит дело с гравитацией.

На уровне математического описания познаваемость мира не вызывает сомнений. Как это происходит? В результате человеческой деятельности создан и продолжает совершенствоваться мощный и точный математический язык. На этом языке определяются и выражаются математические структуры, описывающие предметные модели исследуемых объектов (вещей, процессов, явлений). Наблюдение, эксперимент и размышление над конкретным реальным объектом приводят ученых к созданию его предметной теории. Полученные в ходе исследования и измерений математические закономерности ложатся в основу математической модели данной предметной теории. Математическая модель описывается в терминах той или иной математической структуры, изучение которой приводит к соответствующей математической теории. Результаты этой теории, будучи интерпретированы в предметной теории, приводят к новым конкретным знаниям об исследуемом объекте. Такой последовательный процесс обобщения, формализации, математических преобразований и конкретизации называется в науке дедуктивным методом, созданным еще в IV веке до Р. X. древнегреческим ученым Аристотелем.

В современной математике математические структуры и их теории строятся и излагаются, как правило, на аксиоматической основе. Впервые аксиоматический подход к математике осуществил древнегреческий математик Евклид. Вся геометрия того времени (примерно 300 год до Р. X.) выводилась из пяти наглядных геометрических постулатов и нескольких логических аксиом. Правда, не была понята роль первичных понятий; у Евклида все понятия, так или иначе, определялись (например, «линия — это длина без ширины»). Аксиоматика Евклида является материальной аксиоматикой, которая описывает реальное физическое пространство. Геометрия Евклида — это «физическая» математика, изучаемые в ней объекты (точка, прямая, плоскость) имеют наглядную объективную природу, а постулаты суть очевидные истины о реальном пространстве.

Обычно специалист в предметной области, имеющий хорошую математическую подготовку, или математик-прикладник, не создает новых математических моделей и теорий, а использует уже известные разработанные математиками теории, выбирая из них наиболее подходящую. По словам российского математика М. М. Постникова, выбираемая или создаваемая математическая модель не должна быть ни очень простой (чтобы адекватнее отразить ситуацию), ни слишком сложной (чтобы ее результативно применять). Приведем примеры опережающего характера математики. Конические сечения изучались Аполлонием за 2000 лет до открытия немецким ученым Иоганном Кеплером законов движения планет вокруг Солнца. Идея ЭВМ высказывалась еще французским ученым Блезом Паскалем и немецким математиком и философом Готфридом Лейбницем, а соответствующий математический аппарат (алгебра высказываний) разработан английским математиком Джорджем Булем задолго до создания первого компьютера. Волновая механика создавалась английским физиком-теоретиком Эрвином Шредингером, когда уже был известен использованный ею матричный вариант квантовой механики Гейзенберга (Вернер Гейзенберг — немецкий физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии). Как говорится, нет ничего практичнее хорошей математической теории.

К какому разряду наук отнести математику? В. И. Арнольд считает математику естественной наукой, наукой о природе: «Математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук» [18]. Благодаря практике математика возникла и развивается, а благодаря ее приложениям — ценится. Выдающийся польский математик Анджей Мостовский также утверждал, что математика — естественная наука.

Логик и математик Н. Н. Непейвода относит математику к гуманитарным наукам, «разные области которой обслуживают разные сферы человеческой деятельности» [383].

Другой точки зрения придерживается М. М. Постников [438]: задача математики — создание и изучение разнообразных математических структур, или схем. Развитие математики происходит по внутренней необходимости, в соответствии с принципом эстетического отбора. Постников вопрошает: «Что изучает математика?» Физика изучает природу, а физики изучают модели реальной природы. Здесь термин модель понимается в самом широком смысле. Схожесть моделей в том, что они имеют общую схему. По Постникову, под математикой понимается наука, изучающая все возможные — хотя бы мысленно — схемы, их взаимосвязи и методы конструирования, иерархии схем и т. д. На место традиционных главных вопросов философии — о первичности материи или сознания и познаваемости мира — он ставит следующие. Почему мы познаем мир посредством моделей? Это первый основной вопрос философии природы, который еще не поднимался. В чем причина схожести различных моделей, почему они могут иметь общую схему? Это второй основной вопрос философии природы, не имеющий четкого ответа до сих пор. Постников не считает математику ни естественной, ни гуманитарной наукой.

Действительно, математику трудно отнести к естественным, гуманитарным, общественным или техническим наукам. Скорее, математику можно представить как особую науку («царицу наук») и специфическую форму научного познания. Ее значение — в дедуктивном методе, научной методологии, мощном надежном инструментарии, универсальности, действенной красоте, эффективности в приложениях.

Однако многие методисты считают математику, особенно как изучаемую дисциплину, гуманитарной наукой, стержнем современного, по крайней мере, школьного гуманитарного образования [376].

Литература: [5,18,19, 23, 39, 72, 76, 78, 98,100,160,166,187, 252, 292, 314, 317, 327, 336, 337, 366, 367, 376, 383, 410, 425, 426, 438, 446, 449, 466, 473, 543, 558, 602, 621, 632, 636].