Неопределенный интеграл: основные определения и понятия

Техника интегрирования

Предположим, что на некотором промежутке (конечном или бесконечном, замкнутом или открытом) задана непрерывная функция у = f (x).

Дадим следующие основные определения.

Определение 8.1. Функция y = F (x) называется первообразной функции у = /(*), если в каждой точке промежутка функция f (x) является пппмгчкплной функции F (x):

Определение 8.2. Однопараметрическое семейство первообразных функций F (x) + C называется неопределенным интегралом функции f (x):

Здесь символ J — знак интеграла,/(.г) — подинтегральная функция, произведение f (x)dx — подинтегральное выражение, С — произвольная постоянная (параметр).

Замечание. В определении 2 учтено, что, поскольку С' = 0, то очевидно, что вместе с функцией F (x) функция F (x) + C при любом значении постоянной С также является первообразной функции f (x).

Отыскание всех первообразных данной функции называется ее интегрированием. Такова первая задача интегрального исчисления, она является обратной по отношению к задаче отыскания производной данной функции — основной задаче дифференциального исчисления. Дифференциальное и интегральное исчислении — эго две ветви математического анализа — важнейшей, основополагающей части высшей математики.

Запишем формулы, выражающие данные выше определения и взаимную обратимость дифференцирования и интегрирования:

Приведем примеры.

Пример 8.1

Пример 8.2.

Пример 8.3.