Оценки определенных интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства

В некоторых задачах требуется, не вычисляя интеграла аналитически (это может оказаться затруднительно или даже невозможно), оценить его примерное значение. В данной главе рассматриваются различные интегральные неравенства и оценки, которые можно использовать в этой ситуации.

Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами

1. Пусть функция / интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь].

ь

и f (x) > 0 для любого х е [а, Ь]. Тогда J f (x)dx > 0.

а

Доказательство. Пусть V = {x₀;x₁;…;x_n;4iJ-.-;^_n} — произвольное.

П

размеченное разбиение отрезка [а, Ь]. Тогда a (V)= X /(^)Дх*. >0, сле;

к=1.

довательно, I = lim a (V)>0.

A_v—>0.

Замечание 2.1. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. из того, что для некоторой интегрируемой на [а, Ь] функции /.

ь

имеет место неравенство Jf (x)dx> 0, не следует, что f (x)> OVxe [а, Ъ].

а

к

Например, J cosxdx = l >0, но при этом, очевидно, неравенство cosх>0.

к

~ 2

^К

не выполняется при —<�х<�к.

2. Пусть функции/и g интегрируемы по Риману на отрезке [a, b], причем /(х) > g (x) для любой точки х е [а, Ь].

Тогда.

(почленное интегрирование неравенств').

Доказательство. Так как функция /-g >0 на [а, Ь] и (f — g) в R[a, b] (как разность двух интегрируемых функций), то из предыдущего пункта следует, что.

Замечание 2.2. Обратное утверждение о том, что если для некоторых функций/и g, интегрируемых на отрезке [а, Ь], выполняется нера;

ь ь

венство /(x)dx >Jg (x)dx, то отсюда следует, что Vxe[a, b] /(x)>g (x),.

а а

вообще говоря, неверно (см. пример из замечания 2.1).

3. Пусть функция/непрерывна на отрезке [a, b] и /(х) > 0 для любого хе[а, Ь]. Пусть, кроме того, существует точка x₀e[a, b], такая что.

ь

/(х₀) > 0. Тогда | /(x)dx > 0.

а

Доказательство. Пусть /(х₀) = а>0, х₀е (а, Ь). Тогда существует число 5 > 0, такое что /(х) > а/2 для любой точки х € [х₀ — 8, х₀ + 6] (свойство локального сохранения знака функцией, непрерывной в точке). Введем вспомогательную функцию

Очевидно, что /(х) > g (x) для любой точки х е [а, Ь]. Значит, по свойству 2

Случаи х₀ = а и х₀ = Ъ предлагаем читателям разобрать самостоятельно.

4. Если функция/непрерывна на отрезке [а, Ь], /(х)>0 для любой.

ь

точки х € [a, b] и J/(x)dx = 0, то /(х) = 0 на [а, Ь].

а.

Доказательство (от противного). Пусть функция/не равна тождественно нулю на [а, Ь]. Тогда существует точка х₀ e[a, b], такая что ь

/(х₀) > 0. Значит, J/(x)dx > 0 (свойство 3), что противоречит условию.

а

5. Если функция / интегрируема по Риману на [a, b], то и ее модуль является интегрируемой функцией на этом отрезке, причем.

Доказательство. Так как для любых действительных чисел хиу справедливо неравенство ||х| - |у|| < |х — у |, то функция <�р (х) = |х| удовлетворяет условию Липшица с константой, равной единице, на любом конечном отрезке. Это означает, что сложная функция <�р (/) = |/| интегрируема на отрезке [а, Ь]. Другое доказательство приведено в задаче 1.44.

Далее, так как -|/(х)|</(х)<|/(х)| для любого хе[о, Ь], то по свойству 2 имеем.

что и требовалось доказать.

Следствие. В общем случае для интегрируемых на [а, Ь] функций f_k, k = l, 2,…, п, верно неравенство.

о.

6. Если функция/ интегрируема на отрезке [а, Ь] и J|/(x)|dx = 0, то.

а

d

для любого отрезка [c, d] с [а,?>] имеем J/(x)dx = 0.

С.

Доказательство. В самом деле, требуемое соотношение следует из цепочки неравенств.

<1.

7. Если функция/непрерывна на отрезке [а, Ь] и J/(x)dx = 0 для вся;

С кого отрезка [с, d] с [а, Ь], то / (х) = 0 на [а, Ь].

Доказательство (от противного). Предположим, что существует такое х₀е[а, Ь], что /(х₀)^0. Ради определенности будем считать.

/(х₀)>0. Тогда из непрерывности/следует, что найдется такой отрезок.

d

[с, d] (х₀ е[с, d]c[a, b]), на котором /> 0. Отсюда J/(x)dx>0, что про;

С тиворечит условию. Следовательно, предположение неверно и утверждение доказано.

8. Если функция / интегрируема на отрезке Г a, Ь1, причем.

ь

I = J/(x)dx > 0, то существует отрезок [с, d] с [а, Ь], на котором / > 0.

а

Доказательство (от противного). Предположим, что на любом отрезке [с, d]c[a,b] существует точках, в которой /(х)<0. Выполним произвольное разбиение отрезка [а, Ь] на частичные отрезки. На каждом из них выберем точку ?_к так, чтобы f (^_k)<0. Но тогда интеграль;

П

ные суммы ?/(?_fc)Ax_fc будут неположительны и, следовательно, их к=1.

предел при А_т —> 0, равный интегралу I, не может быть положительной величиной. Полученное противоречие с условием I > 0 доказывает утверждение.

9. Пусть функция/неотрицательна на отрезке [а, Ъ] и интегрируема ь.

на нем. Тогда для выполнения условия J/(x)dx>0 (а<�Ь) необходимо.

а

и достаточно, чтобы множество нулей функции / не было всюду плотным¹ на [а, Ь].

Доказательство. 1. Достаточность. Если множество нулей функции/ не плотно на отрезке [а, Ь], то существует такой отрезок [c, d], a< b,

d Ь

на котором / > 0. Но тогда J/(x)dx > 0 и, следовательно, J/(x)dx > 0.

ь ⁰

2. Необходимость (от противного). Пусть jf (x)dx>0 и множество.

а

нулей функции/всюду плотно на отрезке [а, Ь1. Тогда все нижние суммы.

ь

Дарбу функции/на этом отрезке равны нулю и, значит, J/(x)dx = 0.

а

Получили противоречие, что доказывает утверждение.