Эллипсы рассеивания. 
Приведение нормального закона к каноническому виду

Рассмотрим поверхность распределения, изображающую функцию (1.1). Она имеет вил холма, вершина которого находятся над точкой () (рис. 2.2.1).

В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными f (х. у), получаются кривые, подобные нормальным кривым распределения. В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы. Напишем уравнение проекции такого эллипса на плоскость хОу:

(const=) (2.1).

Уравнение эллипса (2.1) можно проанализировать обычными методами аналитической геометрии. Применяя их, убеждаемся, что центр эллипса (рис. 2.2.1) находится о точке с координатами (); что касается направления осей симметрии эллипса, то они составляю с осью Ох углы, определяемые уравнением.

* (2.2).

Это уравнение дает два значения углов: и различающиеся на Таким образом, ориентация эллипса (рис. 2.2.1) относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции r системы (Х, Y); если величины не коррелированны (т. е. в данном случае и независимы), то оси симметрии эллипса параллельны координатным осям; в противном случае они составляют с координатными осями некоторый угол.

Пересекая поверхность распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, и проектируя сечения на плоскость хОу, мы получим целое семейство подобных и одинаково расположенных эллипсов с общим центром (). Во всех точках каждого из таких эллипсов плотность распределения f (x, у) постоянна. Поэтому такие эллипсы называются эллипсами равной плотности или, короче эллипсами рассеивания. Общие оси всех эллипсов рассеивания называется главными осями рассеивания.

Известно, что уравнение эллипса принимает наиболее простой, так называемый канонический вид, если координатные оси совпадают с осями симметрии эллипса. Для того чтобы привести уравнение эллипса рассеивания к каноническому виду, достаточно перенести начало координат в точку () и повернуть координатные оси на угол, определяемый уравнением (2.2). При этом координатные оси совпадут с главными осями рассеивания, и нормальный закон на плоскости преобразуется к так называемому каноническому виду.

Каноническая форма нормального закона на плоскости имеет вид:

(2.3).

где — так называемые главные средние квадратические отклонения, т. е. средние квадратические отклонения случайных величин (Е, Н) представляющих собой координаты случайной точки в системе координат, определяемой главными осями рассеивания . Главные средние квадратические отклонения выражаются через средние квадратические отклонения в прежней системе координат формулами:

(2.4).

Обычно, рассматривая нормальный закон на плоскости, стараются заранее выбрать координатные оси Ox, Оу так, чтобы они совпадали с главными осями рассеивание. При этом средние квадратические отклонения по осям и будут главными средними квадратическими отклонениями, и нормальный закон будет иметь вид:

(2.5).

В некоторых случаях координатные оси выбирают параллельно главным осям рассеивания, но начало координат с центром рассеивания не совпадают.

При этом случайные величины (Х, У) также оказываются независимыми, но выражение нормального закона имеет вид:

где — координаты центра рассеивания.

Перейдем в канонической форме нормального закона (2.5) от средних квадратических отклонений к вероятным отклонениям:

Величины, называются главными вероятными отклонениями. Подставляя выражения, через, в уравнение (2.5) получим другую каноническую форму нормального закона:

(2.7).

В такой форме нормальный закон часто применяется в теории стрельбы. Напишем уравнение эллипса рассеивания в каноническом виде:

Или.

(2.8).

где R— постоянное число.

Из уравнения видно, что полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным среднеквадратическим отклонениям (а значит, и главным вероятным отклонениям). Назовем единичным эллипсом рассеивания тот из эллипсов равной плотности вероятности, полуоси которого равны главным средним квадратическим отклонениям. (Если пользоваться в качестве характеристик рассеивания не главными средними квадратическими, а главными вероятными отклонениями, то естественно будет называть единичным тот эллипс, полуоси которого равны ,). Кроме единичного эллипса рассеивания иногда рассматривают еще полный эллипс рассеивания, под которым понимают тот из эллипсов равной плотности вероятности, в который с практической достоверностью укладывается все рассеивание. Размеры этого эллипса, разумеется от того, что понимать под практической достоверностью. В частности, если принять за практическую достоверность вероятность порядка 0.99. то ‚полным эллипсом рассеивания можно считать эллипс с полуосями 3,3.Рассмотрим специально один частный случай, когда главные средние квадратические отклонения равны друг другу:

Тогда все эллипсы рассеивания обращаются в круги, и рассеивание называется круговым. При круговом рассеивании каждая из осей, проходящих через центр рассеивания, может быть принята на главную ось рассеивания, или, другими словами, направление главных осей рассеивания неопределенно. При некруговом рассеивании случайные, величины Х, У, подчиненные нормальному закону на плоскости, независимы тогда и только тогда, когда координатные оси параллельны главным осям рассеивания; при круговом рассеивании случайные величины (Х, У) независимы при любом выборе прямоугольной системы координат. Эта особенность кругового рассеивания приводит к тому, что оперировать с круговым рассеиванием гораздо удобнее, чем с эллиптическим. Поэтому на практике, где только возможно, стремятся приближенно заменять некруговое рассеивание круговым.