Различные виды уравнений прямой

Наиболее простая линия — прямая.

А. Рассмотрим различные виды уравнений прямой в зависимости от ее расположения и способа задания в системе координат хОу. Сами оси координат задаются следующими уравнениями: у = 0 (ось Ох), х = 0 (ось Оу).

1. Через каждую точку М (а; Ь) плоскости хОу проходят две прямые, параллельные осям координат. Эти прямые называются координатными линиями и их уравнения имеют вид (рис. 3.3):

Рис. 3.3.

2. На рис. 3.4 изображена прямая /, проходящая через начало координат и образующая с положительным направлением оси Ох острый угол а:

Рис. 3.4.

Поскольку тангенс угла, а в прямоугольном треугольнике ОММ_{ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то нетрудно увидеть, что для точки М (х; у) прямой / ее координаты связаны соотношением:

Таким образом, это отношение для всех точек прямой / одно и то же, его называют угловым коэффициентом прямой и обозначают k. Уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом k, принимает следующий вид:

Аналогичный вид имеет уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей тупой угол с положительным направлением оси Ох.

На рис. 3.5 построены три прямые, которые проходят через начало координат и имеют разные угловые коэффициенты: k = 1, k = 2, k = -2.

Рис. 3.5.

3. Прямая / общего положения получается из прямой /₀, проходящей через начало координат, параллельным переносом на высоту b вдоль оси Оу (рис. 3.6).

Рис. 3. (>

Из треугольника OM_aM_i следует соотношение.

X

которое приводит к следующему уравнению прямой /:

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, которая отсекает на оси Оу отрезок Ь.

При /; > 0 прямая / располагается над прямой /₀, а при b < 0 — под прямой /₀.

4. Если прямая у = kx + b проходит через точку М_х, то ее координаты (x_t; у_х) удовлетворяют уравнению этой прямой, т. е. имеет место тождество:

Почленное вычитание этого тождества из уравнения прямой приводит к соотношению:

Это уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку М_](.г,; г/,).

5. Как известно, через две точки можно провести прямую и притом только одну. Если, наряду с точкой М_х(х_х;у_х), точка М₂(х₂; у₂) тоже принадлежит прямой /, то ее координаты удовлетворяют условию:

Разделим предыдущее уравнение прямой почленно на это тождество:

Эго уравнение прямой, прохобящей через две данные точки М_х(х_х; уф) и М₂(х₂; г/₂).

6. В частности, если две данные точки лежат на координатных осях, т. е. М,(а; 0), М₂(0; Ь), то рассматриваемое уравнение после упрощений принимает вид:

Это уравнение прямой в «отрезках».

7. Любое из вышеприведенных уравнений прямой можно привести к следующему виду:

Это общее уравнение прямой. С алгебраической точки зрения это линейное уравнение, т. е. уравнение первой степени относительно двух неизвестных х, у; коэффициенты и свободный член А, В, С е R — данные числа, определяющие расположение прямой на плоскости хОу.

Б. Перечислим задачи, которые можно решать, если заданы прямая / и точка М₀(х₀; уф).

Задача 3.4.

Принадлежит ли точка М₀ прямой /, заданной уравнением Подставив координаты х₀, у₀ данной точки вместо текущих координат х, у в левую часть общего уравнения прямой, получаем число Ах₀ + Ву₀ + С. Если оно равно 0, то точка М₀ принадлежит прямой /, а если не равно 0, то не принадлежит. В этом случае точка М₀ удалена от прямой на некоторое расстояние d > О, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из точки М₀ на прямую /.

Задача 3.5.

Получить формулу для определения расстояния d от точки М₀(х₀; у_а) до прямой /, заданной уравнением: у = k x+b (рис. 3.7).

Рис. 3.7.

Решение

Искомое расстояние d есть длина катета прямоугольного треугольника М₀М, М₂ (М₀М₂ || Оу). Поэтому Поскольку р = а, то

При расположении точки М_{] под прямой / длина гипотенузы равна:

j kx₀+b-y₀

поэтому в итоге получаем: а =—, —.

?Jk² +1.

Замечание 1. С учетом всевозможных взаимных расположений точки и прямой в числителе появится модуль:

Замечание 2. Если прямая задается общим уравнением: то после тождественных преобразований получаем формулу:

В. Рассмотрим задачи, относящиеся к трем точкам у), М₂(х₂; у₂), М₃(х₃, Уз) —

1. Если точки М_{, М₂, А/₃ лежат на одной прямой /, то выполняется следующее равенство:

Э го соотношение можно записать в виде:

(Уз ~ У)(^х2 ~ ^х) ~ (^хз ~ ^Х)(У2 ~ У) ⁼ ОДля лучшего запоминания эту формулу удобно записывать в следующем виде (см. параграф 2.3):

Равносильность этих формул рекомендуем проверить самостоятельно.

2. Если данные три точки не лежат на одной прямой, то эти равенства не выполняются. Покажем, что в таком случае площадь треугольника М_{М₂М₃ выражается формулой:

Доказательство. На рис. 3.8 изображен треугольник М_{М₂М₃.

Чтобы применить известную формулу для нахождения площади треугольника: S = — М_ХМ₂1 • d, определим длину отрезка I М_{М₂1 и высоту d треугольника:

Разделив пополам произведение этих выражений, получаем приведенную выше формулу для площади треугольника ММ₂М_г.

Г. Рассмотрим взаимное расположение 2 прямых 1_Л и /₂, заданных общими уравнениями:

Три принципиально различных случая отражены на рис. 3.9, 3.10, 3.11.

Эти алгебраические выводы следуют из анализа системы двух линейных уравнений, приведенного во второй главе.

Каждый из этих случаев характеризуется определенным алгебраическим условием:

Так как геометрическим образом каждого из приведенных уравнений является прямая, то единственность решения системы уравнений означает, что две прямые имеют единственную общую точку, несовместность системы уравнений геометрически означает отсутствие общих точек, т. е. параллельность прямых; бесконечное множество решений системы уравнений означает бесконечное множество общих точек, т. е. совпадение двух прямых. Геометрия иллюстрирует алгебру, а алгебра интерпретирует геометрию.

Приведем примеры.

Пример 3.1.

Прямые /, и /₂ заданы общими уравнениями:

" 4−1

1 юскольку — * ——, то эта система уравнении имеет единственЭ -2.

ное решение. Найдем его методом Гаусса или по правилу Крамера:

следовательно, прямые пересекаются в точке М (1; 3).

Пример 3.2.

Прямые /| и /₂ заданны уравнениями:

В этом примере:

Система уравнений не имеет решений. На алгебраическом языке можно сказать, что нет ни одной пары чисел (х; у), которые удовлетворяли бы обоим уравнениям; на геометрическом языке это означает, что нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы обеим прямым; таким образом, прямые 1 и /₂ параллельны.

Пример 3.3.

Прямые /| и /₂ заданы уравнениями:

Соответствующие коэффициенты и свободные члены в обо;

4−1 1.

их уравнениях пропорциональны: — = — = —. Данная система.

—о 2 —2.

уравнений имеет бесконечное множество решений, т. е. прямые совпадают.

Д. Приведем (без вывода) следующие важные формулы.

1. Острый угол ф между пересекающимися прямыми /, и /₂, имеющими угловые коэффициенты k и k₂ (k_i * k₂), находится по формуле.

3. Условие перпендикулярности прямых /j и /₂, заданных общими уравнениями, записывается следующим образом: