Одним росчерком. 
Занимательная геометрия

ЗАДАЧА Перерисуйте на лист бумаги пять фигур, изображенных на рис. 154, и попробуйте зачертить каждую из них одним росчерком т. е. не отрывая карандаша и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

Многие из тех, кому предлагалась эта задача, начинали с фигуры г, по виду наиболее простой, однако все их попытки нарисовать эту фигуру одним росчерком не удавались. Огорченные, они уже с меньшей уверенностью приступали к остальным фигурам и, к своему удивлению и удовольствию, без особенно больших затруднений справлялись с первыми двумя фигурами и даже с замысловатой третьей, представляющей перечеркнутое слово «дом». Вот пятую фигуру д, как и четвертую г, никому не удавалось зачертить одним обходом карандаша.

Рис. 154. Попробуйте зачертить каждую фигуру одним росчерком, не проводя более одного раза по одной и той же линии.

Почему же для одних фигур удается решение поставленной задачи, а для других— нет? Может быть, только потому, что в отдельных случаях нашей изобретательности не хватает, или, может быть, сама задача вообще неразрешима для некоторых фигур? Нельзя ли в таком случае указать какой-нибудь признак, по которому можно было бы заранее судить о том, сможем ли мы зачертить данную фигуру одним росчерком или нет?

РЕШЕНИЕ Каждый перекресток, в котором сходятся линии данной фигуры, назовем узлом. При этом назовем узел четным, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное. На фигуре а все узлы четные; на фигуре б имеются два нечетных узла (точки А и В) на фигуре в нечетными узлами являются концы отрезка, перечеркнувшего слово «дом»; на фигурах г и д по четыре нечетных узла.

Рассмотрим сначала такую фигуру, в которой все узлы четные, например фигуру а. Начнем свой маршрут из любой точки S. Проходя, например, через узел А, мы зачерчиваем две линии: подводящую к А и выводящую из А. Так как из каждого четного узла есть столько же выходов, сколько и входов в него, то по мере продвижения от узла к узлу каждый раз незачерченных линий становится на две меньше, следовательно, принципиально вполне возможно, обойдя их все, вернуться в исходную точку S.

Но, допустим, мы вернулись в исходную точку, и выхода из нее больше нет, а на фигуре осталась еще незачерченная линия, исходящая из какого-нибудь узла В, в котором мы уже были. Значит, надо внести поправку в свой маршрут: дойдя до узла В, прежде зачертить пропущенные линии и, вернувшись в В, идти дальше прежним путем.

Пусть, например, мы решили обойти фигуру а так: сначала вдоль сторон треугольника АСЕ, затем, вернувшись в точку А, по окружности ABCDEFA (рис. 154). Так как при этом остается незачерченным треугольник BDF, то прежде, чем мы покинем, например, узел В и пойдем по дуге ВС, нам следует обойти треугольник BDF.

Итак, если все узлы данной фигуры четные, то, отправляясь из любой точки фигуры, всегда можно ее всю зачертить одним росчерком, причем в этом случае обход фигуры должен закончиться в той же точке, из которой мы его начали.

Теперь рассмотрим такую фигуру, в которой есть два нечетных узла.

Фигура б, например, имеет два нечетных узла — А и В.

Ее тоже можно зачертить одним росчерком.

В самом деле, начнем обход с нечетного узла № 1 и пройдем по какой-нибудь линии до нечетного узла № 2, например, от А до В по АСВ на фигуре б (рис. 154).

Зачертив эту линию, мы тем самым исключаем по одной линии из каждого нечетного узла, как будто бы этой линии в фигуре и не было. Оба нечетных узла после этого становятся четными. Так как других нечетных узлов в фигуре не было, то теперь мы имеем фигуру только с четными узлами; на фигуре б, например, после зачерчивания линии АСВ остается треугольник с окружностью.

Такую фигуру, как было показано, можно зачертить одним росчерком, а следовательно, можно зачертить и всю данную фигуру.

Одно дополнительное замечание: начиная обход с нечетного узла № 1, надо путь, ведущий в нечетный узел № 2, выбрать так, чтобы не образовалось фигур, изолированных от данной фигуры¹. Например, при зачерчивании фигуры б на рис. 154 было бы неудачно поспешить перебраться из нечетного узла А в нечетный узел В по прямой АВ, так как при этом окружность осталась бы изолированной от остальной фигуры и незачерченной.

Итак, если фигура содержит два нечетных узла, то успешный росчерк должен начинаться в одном из них и заканчиваться в другом.

¹ Детали и подробности, относящиеся к излагаемому вопросу, любознательный и подготовленный читатель найдет в учебниках топологии.

Значит, концы росчерка разъединены.

Отсюда, в свою очередь, следует, что если фигура имеет четыре нечетных узла, то ее можно зачертить не одним росчерком, а двумя, но это уже не соответствует условию нашей задачи. Таковы, например, фигуры гид на рис. 154.

Как видите, если научиться правильно рассуждать, то можно многое предвидеть и этим избавить себя от ненужной затраты сил и времени, а правильно рассуждать учит, в частности, и геометрия.

Может быть, вас, читатель, и утомили несколько изложенные здесь рассуждения, но ваши усилия окупаются тем преимуществом, которое дает знание над незнанием.

Вы всегда заранее можете определить, разрешима ли задача обхода данной фигуры, и знаете, с какого узла надо начать ее обход.

Рис. 155. Зачертите каждую фигуру одним росчерком.

Более того, вам теперь легко придумать для своих друзей сколько угодно замысловатых фигур подобного рода.

Начертите-ка в заключение еще пару фигур, изображенных на рис. 155.

Семь мостов Калининграда Двести лет тому назад в городе Калининграде (в те времена он назывался Кенигсберг) было семь мостов, соединяющих берега реки Прегель (рис. 156).

Рис. 156. Невозможно пройти все эти семь мостов, побывав на каждом из них только по одному разу.

В 1736 г. крупнейший математик того времени Л. П. Эйлер (тогда ему было около 30 лет) заинтересовался такой задачей: можно ли, гуляя по городу, пройти все эти семь мостов, но каждый из них только по одному разу?

Легко понять, что эта задача равносильна только что разобранной задаче о зачерчивании фигуры.

Изобразим схему возможных путей (на рис. 156 пунктир). Получается одна из фигур предыдущей задачи с четырьмя нечетными узлами (рис. 154, фиг. <�Э). Одним росчерком, как вы теперь знаете, ее зачертить нельзя и, следовательно, невозможно обойти все семь мостов, проходя каждый из них по одному разу. Эйлер тогда же это доказал.