Частица в одномерной прямоугольной яме

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице, находящейся в потенциальной ямс с бесконечно высокими стенками (рис. 2.5.1). Такая яма описывается потенциальной энергией U (x) следующего вида:

Рис. 2.5.1.

Здесь / - ширина ямы, a U — энергия — отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде.

По условию задачи (бесконечно высокие стенки) частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения там равна нулю. На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид.

В пределах ямы (0 < х < 1) уравнение Шредингера (2.5.5) сводится к уравнению где

Общее решение дифференциального уравнения ;

А так как по (2.5.6) Ч'(О) = 0, то В = 0. Тогда.

уравнение У (/) = Asmkl = 0 выполняется только при kl = пп, где п — целые числа, т. е. необходимо, чтобы.

Из выражений (2.5.7) и (2.5.8) следует, что энергия частицы зависит от п:

где п = 1, 2, 3, ….

Таким образом, стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях Е", зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_п частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантовые значения энергии Е" называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни, — главным квантовым числом.

Таким образом, микрочастица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками может находиться только на определенном энергетическом уровне Е", или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Собственные функции уравнения ^"(jc) = Asm—х. будут иметь вид.

Графики собственных функций (2.5.10), соответствующие уровням энергии (2.5.9) при п= 1, 2, 3, приведены на рис. 2.5.2, а. На рис. 2.5.2, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы: |^vT (x)|² = 4^>_/J(x)4^/'_;J (х) для п= 1, 2, 3, … .

Из рис. 2.5.2, б следует, что, например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (2.5.9) следует, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен.

Рис. 2.5.2.

Например, для электрона при размерах ямы / = 10^{_ 1} м (свободные электроны в металле) АЕ_п w 10″³⁵w Дж «10~^|6л эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр можно считать практически непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с размерами стенки (/"1(Г¹⁰ м), то для электрона АЕ_п % 10^-17/z Дж «10²л эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение этой задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками не может иметь энергию меньшую, чем минимальная

п²П²

энергия, которая равна-7.

2 ml

Наличие отличной от нуля минимальной энергии неслучайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Ах частицы в яме шириной / равна Ах = 1. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное (в данном случае нулевое) значение. Неопределенность импульса.

Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая.

_п Л/7² л²*² «.

энергия ?_min *-=-7. Все остальные уровни имеют энергию, пре;

2 т 2т1~

вышающую это значение.

Из функций (2.5.1) и (2.5.9) следует, что при больших квантовых АЕ 2

числах (п «1) —- «— «1, т. е. соседние уровни расположены тесно: ^Е» «

тем теснее, чем больше /?. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней, и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости, причем в определенных предельных условиях новая теория переходит в старую.