Абсолютная величина в курсе средней школы

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезканет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является… Читать ещё >

Абсолютная величина в курсе средней школы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Определения и основные теоремы

Рассмотрим понятие абсолютной велечины числа, или, что-то же самое, модуля числа для действительных чисел.

Определение 1.1.1 Абсолютной величиной (модулем) действительного числа, а называется неотрицательное число, взятое из двух чиисел, а или -а.

Абсолютную величину числа, а обозначают |а| и читают «абсолютная величина числа а», или «модуль числа а».

Из определения следует:

Абсолютная величина в курсе средней школы.

Из определения следует, что для любого действительного числа а, ?0.

Примеры 1.1.1:

;

= = .

Теорема 1.1.1 Противоположные числа имеют равные абсолютные величины, т. е. = .

В самом деле, по определению абсолютной величины, имеем:

Следовательно,.

Геометрическая интерпритация понятия

Известно, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображеннием данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета, иии длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец — в данной точке. это расстояние, или длина отрезка, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно поставить в соответсствие направленный отрезок (вектор), который характерезуется длинной и направлением.

Множеству действительных чисел соответствует множество точек ориентированной прямой, т. е. такой прямой на которой, кроме начала отсчета и маштаба, установлено положительное направление.

Тогда можно считать, что геометрической интерпритацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающий данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпритацией абсолютной величины данного действительного числа.

Рис. 1.

Геометрическое толкование смысла наглядно потверждает, что = .

Примеры 1.2.1:

Если = 5, то а₁ =5 и а₂ =-5, или а =±5.

Рис. 2.

Следовательно, данному равенству удовлетворяют два числа, которым на числовой прямой сответсвует две точки.

Если ?10, то.

Откуда а?10 и а? -10, или.

Рис. 3.

Следовательно, данному нераввенству удовлетворяет множество чисел двух интервалов: (-?;-10) и (10;?), а на числовой прямой — два промежутка соответствующие этим интервалам.

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык — удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады:

Пример 1.2.2:

Дана функция: .

a) Решите уравнение ;

b) Решите неравенство ;

c) Найдите количество решений уравнений в зависимости от .

Решение: Построим график функции. Для этого заметим, что, а тогда мы можем сначала построить график функции, и затем отразить его относительно оси координат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке, график исходной функции представляет собой объединение полуокружностей указанных на рисунке.

Рис. 4.

Теперь решение задач не представляет труда:

с) При решений нет, при уравнение имеет три решения, при — четыре решения, при — два решения.

b) Неравенство выполнено при всех из отрезка .

a) корень уравнения есть абцисса точки пересечения прямой с графиком ффункции. Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренный (угловой коэффицент прямой равен -1), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс есть, а искомая абсцисса равна .

Геометрический смысл модуля разности величин — это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами, а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 1.2.3: Решим уравнение |х-1|+|х-2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезканет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].

Ответ: х [1; 2].

Пример 1.2.4: Решим уравнение |х — 1| - |х — 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: х [2; +).

Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

|х-а|+|х-b|=b-а, где b а а х b

|х-а|-|х-b|=b-а, где b а х b [1].

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много): «Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочнолинейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

Примеры 1.2.5:

1) f (х)=|х-1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков (рис.1)
2) f (х)=|х-1|+ |х-2| Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)
3) f (х)=|х-1|+|х-2|+|х-3| Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)
4) f (х)=|х-1|-|х-2| График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3.

Рис. 5.

Простейшие операции над абсолютными величнами Теорема 1.3.1 Абсолютная величина суммы конечного числа действительныx чисел не превосxодит суммы абсолютныx величин слагаемыx, т. е.

? + .

Доказательство: Пусть, , …, — неотрицательные числа и, , …, — неположительные числа, где .

Тогда.

Складывая эти равенства и неравенства, получим:

?. (1).

Знак «меньше» будет иметь место, ессли не все положительные числа — нули. Знак равенства будет иметь место, если к=n или все неположительные числа — нули. Ясно, что при к= n все слагаемые будут неотрицательные числа.

?. (2).

Тогда, принимая во внимание неравенства (1) и (2), получим:

? + .

Примеры 1.3.1:

;; ;

Здесь? + + + так как? + + +, т. е. 6 ?18.

Теорема 1.3.2: |аb|=|а|*|b|.

При а0, b0 аb0 по определению модуля =аb. =а, =b =аb.

При а<0, b<0 аb>0 по определению модуля =аb. =-а, =-b =-а*(-b)=аb.

При а>0, b<0 аb<0 по определению модуля =-аb.=а, =-b =а*(-b)=-аb.

Аналогично при а<0, b>0 =-аb, =-аb.

Теорема 1.3.3: = .

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому знак числа роли играть не будет.

При а<0 =-а =.

При а0 =а =.

Теорема 1.3.4: =, b0.

Если а и b положительны, то и дробь в левой части будет положительна, а в правой части и числитель и знаменатель будут положительны. Модуль из положительного числа — само число, значит =, но чтобы дробь имела смысл, b должна быть не равна нулю.

Если а и b отрицательны, то дробь в левой части все равно будет положительна, так как минус на минус дает плюс, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

Если, а и b разных знаков, например, а>0, b<0, то в левой части дробь будет отрицательна, но при вынесении из-под модуля станет положительна, а в правой части при вынесении переменных из-под модуля и числитель и знаменатель будут положительны, значит и сама дробь будет положительна.

Теорема 1.3.5: .