Методы анализа опасностей на основе нечетких множеств

Обобщенный подход построения моделей стратегии безопасности

Представим некоторые определения необходимых компонентов для разработки и составления модели стратегии.

Факторы — это условия, обстоятельства, характеризующие обстановку для проведения мероприятий, влияющих на исход безопасности системы (объекта).

Факторы могут быть: точно известные (определенные), неопределенные; известно только множество их значений; случайные — известна их вероятностная мера на множестве их значений; контролируемые и неконтролируемые оперирующей стороной.

Оперирующая сторона — это группа участников проводимых мероприятий по обеспечению безопасности интересующего объекта, т. е. достижения поставленной цели.

Ограничения определяют границы и свойства множеств изменения факторов как параметров. Обеспечение безопасности не мыслимо без информации. Поэтому используют так называемую информационную гипотезу, которая представляет собой гипотетическую совокупность сведений о неконтролируемых факторах, которые отсутствуют до проведения мероприятий по обеспечению безопасности, но могут стать доступными оперирующей стороне в ходе проведения мероприятий.

Информационная гипотеза может быть задана в виде функции R NxZ —> Е^т, где /V — множество значений неопределенных неконтролируемых факторов, Z — множество значений случайных факторов. Если оперирующая сторона не располагает дополнительной информацией о состоянии безопасности объекта, то она выбирает стратегиями — константами хе Л/₀, где ДУ₀ — совокупность значений контролируемых факторов. Причем чистая стратегия представляется элементом множества Л/," а смешанная стратегия — распределением вероятностей на множестве чистых стратегий.

Стратегии функции имеют вид х: NxZ -э Л/₀ и используются при допущении, что оперирующая сторона к моменту проведения мероприятий по обеспечению безопасности будет располагать информацией о значениях неконтролируемых факторов.

Стратегии — это способы реализации действий (мероприятий) по использованию активных средств оперирующей стороны, согласующиеся с информационной гипотезой.

В обеспечении безопасности возникают различные ситуации, которыми называют наборы стратегий (х, у); (х, у, г); (x (y, z), y, z). где хе Л/₀; ye ze Z. Мероприятия, проводимые по обеспечению безопасности объекта, характеризуются эффективностью. Поэтому критерий эффективности (скалярный или векторный) определяет мероприятие с точки зрения достижения поставленных целей.

Цель мероприятий, проводимых по обеспечению безопасности объекта (системы), формализованно означает достижение экстремума критерия эффективности F (x>y>z), где (х, у, г)е M₀xNxZ.

Если оперирующая сторона не располагает информацией о значениях неконтролируемых факторов, а имеет только сведения об области /V значений неопределенных факторов у и области Z значений случайных факторов z> то для оценки эффективности стратегии хе Л/₀ используются критерии inf F (x, y) или inf/^г(х, у, г),.

N Z

основанные на принципе гарантированного результата, а оптимальной гарантирующей стратегии для первого из этих критериев соответствует оптимальный гарантируемый результат.

Если оперирующая сторона информирована о стратегии ye N и при этом стремится максимизировать функцию эффективности на своем множестве действий, то оценка эффективности стратегии;

функции х (у) выступает inf F (x (y), y).

ye N

В случае, когда оперирующая сторона решит ввести на Л/₀ смешанные стратегии — вероятностные меры на множестве чистых стратегий <�р (х), то оценка эффективности стратегии ф (х) будет определяться выражением inf | F (x, y) dq (x) при z* 0.

уеЛ/ J

" .

Когда в мероприятиях обеспечения безопасности системы (объекта) имеются случайные факторы с распределением со (г) > причем оперирующая сторона принимает решение осреднения критерия по ним, то оценка эффективности стратегии <�р (г) определяется в виде inf | jF (x_iy_iz)d (?{x)d (a (z) — Соответствующие стратегии.

* M₀Z

оперирующей стороны, имеющие максимальные оценки эффективности, являются оптимальными. При геостратегия х_а называется абсолютно оптимальной, если выполнено условие.

где М" — множество стратегий-функций. Под е— оптимальной стратегией в Л/₀ понимается xJgA/₀, для которой inf F (xQ, y)> sup inf F (x, y)-e, а под e — абсолютно оптимальной.

хеМ₀УеН

стратегией в Л/₀ пони мается хо, для которой.

Аналогично определяются оптимальные, абсолютно оптимальные, е-оптимальные и е-абсолютно оптимальные стратегии для других случаев информированности оперирующей стороны и неконтролируемых факторов.

Для нахождения оптимальных стратегий действия по обеспечению безопасности объекта (системы) необходимо решить условные экстремальные задачи, т. е. задачи вычисления максимина и минимакса некоторого функционала на произведении компактных множеств. Обобщенные динамические модели мероприятий по обеспечению безопасности объекта можно строить на основании необходимых условий принципа максимума Понтрягина и на достаточных условиях оптимальности по Веллману и Кротову.

Принцип максимина Понтрягина позволяет решать задачи управления безопасностью при общих ограничениях на управляющие параметры и на переменные состояния — фазовые координаты. При этом управляемый процесс или динамический объект описываются системой дифференциальных уравнений (уравнениями состояния), а цель управления безопасностью заключается в максимизации выбранного (заданного) критерия качества на множестве допустимых управлений.

Критерий качества записывается в виде функционала и может выражать, например, время достижения цели (локализация террориста), стоимость, энергозатраты, расстояние, оптимальное количество оперативной группы.

Сформулируем один из вариантов задачи управления безопасностью объекта (процесса).

Требуется максимизировать следующий критерий:

где x (t) характеризует ход процесса или движение объекта в зависимости от времени te[t^T], /₀, Т — фиксированные моменты времени; U (t) — параметр управления ходом мероприятий, операцией кусочно-непрерывной на отрезке [/₀, Г]; (У —допустимое множество управлений; <�р (х (/), u (t), t) — непрерывная и дифференцируемая по совокупности своих переменных, характеризующая содержательную сущность управления (в нашем случае — управление безопасностью). Для решения этой задачи необходимые условия принципа максимума Понтрягина записывается в виде:

где j/(/) — непрерывная функция, которая является решением сопряженного дифференциального уравнения;

функция Гамильтона. Здесь заметим, что если задача управления имеет решение (*(/), и (/)), /₀</<7 а из условий.

Сформулируем теперь необходимые условия оптимальности управления двух сторон (террорист — оперативная группа), участвующих в конфликтной динамической операции.

Предположим, что оперирующая сторона не располагает полной информацией о реализуемых противодействующей стороной (террорист) возмущающих воздействиях на отрезке времени (/^Г]. Оперирующая сторона располагает априори только информацией о множестве возможных возмущений (действий) — о множестве возможных значений параметра управления противодействующей стороной. Тогда задача управления становится игровой и имеет следующую формулировку:

Требуется минимизировать критерий

где обозначения такие же, как и в предыдущей задаче. Для поиска оптимальных управлений безопасностью процесса (объекта) применим принцип наилучшего гарантированного результата. При этом необходимые условия для оптимальных управлений записываются в виде min max H (x (t), u (t), v (/),|/(/), i/₀®),.

u (t)eUv (t)еУ

Так как необходимое условие оптимального решения подобных задач не всегда может быть найдено, то для их исследования с целью поиска оптимальных управлений следует использовать достаточные условия в форме функции Кротова. Так, для первой рассмотренной задачи достаточные условия записываются в виде:

V (x (to)Jo) ~~ вспомогательная функция, непрерывная, дифференцируемая по х и z и подлежащая восстановлению (заданию) при всех t, за исключением счетного разбиения фазового пространства Х^х. Условие minO в рассматриваемой задаче является тривиальным, так как x (t₀) и х (Т) фиксированы, a F (x (t₀) и х (Т)) =0 • Аналогичным образом записываются достаточные условия и для минимаксной динамической задачи.

Пример 1. Пусть множество R (NxZ)состоит из^{-различных} элементов и Л/₀ ={1,2,…,/я}, где R — информационная функция, N — множество значений неопределенных факторов, Z — множество значений случайных факторов. Л/₀ — совокупность значений контролируемого фактора.

Задача: определить число стратегий во множестве М_R.

Решение. Пусть /?, — элементы множества R (NxZ).

Элементы М_R имеют вид:

где У|, у*2"—, Л — могут принимать целые значения от 1 до т включительно. Тогда общее число элементов в равно т^к и элементы могут быть пронумерованы, например, в таком порядке:

Пример 2. Участок газопровода АВ имеет длину L км. Повреждение газопровода и прорыв газа может произойти либо в начале газопровода (точка А) с вероятностью Я, либо в середине газопровода с вероятностью Я₂, либо в конце (точка В). Как разместить пост (аварийный или охранный) таким образом, чтобы аварийная бригада добралась бы до места аварии (или диверсии) как можно быстрее?

Определить оценку эффективности такой произвольной стратегии оперирующей стороны, а также ее оптимальную стратегию действия, если:

В качестве оперирующей стороны в примере выступает руководство, отвечающее за газопровод. Отметим, что точку расположения аварийного поста или охранной группы целесообразно выбирать вдоль газопровода, поскольку иначе точка D — проекции точки расположения поста на прямую АВ будет расположена ближе к месту аварии, а следовательно, и аварийная (охранная) группа прибудет из точки D к моменту аварии раньше. Поэтому будем рассматривать задачу Е' в и выбирать ось ОХ и ее масштаб так, чтобы точка, А совпадала с началом координат 0, а в точке В соответствовало положительное X = 1. Тогда в качестве стратегий действия оперирующей стороны выступает значение хе Е' координаты расположения аварийного поста. В качестве критерия оперирующей стороны возьмем расстояние от точки х до места аварии z:

W (x, z) = x-z. Учитывая, что z — случайный фактор с распределением P (z = 0) = Р_и P (z = ½) = Р₂, P (z = 1) = 1- Л — Р₂, проведем осреднение критерия по г, в результате чего получим оценку эффективности в произвольной стратегии х:

определяем, что минимальное значение W(*) достигается при х°=½ и равно W°(x) = /4.

При этом заметим, что реальное расстояние получим умножением полученного расстояния при проведенном анализе на р(А, В). В случае «б»).

Аналогично предыдущему, анализируя те же промежутки из;

— 3.

менениях, получаем min W(х) =^, причем.

X о.

Таким образом, расположение поста может быть выбрано в любом месте вдоль газопровода от начала его (точка А) до середины (точка В). При этом будет обеспечено минимальное среднее время доставки аварийной группы к месту аварии.