Феноменологическая модель электронной жидкости ферромагнитных металлов

Проблема магнитных свойств вещества относится к одной из самых сложных задач физики твердого тела. Причина этого заключается в квантовом характере явления, не допускающего корректного объяснения на языке представлений классической физики. Согласно теореме Бора —ван-Левен, любая классическая система в состоянии теплового равновесия не может обладать магнитным моментом даже при наличии внешнего магнитного поля. Действительно, запишем выражение для статистической суммы классической системы из N частиц в каноническом ансамбле:

где A (Fj) — векторный потенциал магнитного поля; е, — заряд частицы; Цц — энергия парного межчастичного взаимодействия.

Вследствие бесконечных пределов интегрирования по импульсным переменным статистическая сумма Q_N не зависит от А, а значит, рассматриваемая система частиц не обладает магнитными свойствами.

Происхождение магнитного порядка в твердых телах можно объяснить лишь на основе квантовой механики как результат электрон-электронных и электрон-ядерных взаимодействий с учетом принципа Паули. Хотя современная теория магнитных явлений как никакой другой раздел физики твердого тела характеризуется исключительным разнообразием используемых моделей, методов и приближений, практически любой аспект физики магнитных явлений может быть адекватно описан в рамках ферми-жидкостного подхода. Модель электронной ферми-жидкости является единственной из существующих ныне теорий, последовательно учитывающей межэлектронную корреляцию — основную причину возникновения магнитоупорядоченных состояний.

Мы остановимся на основных идеях построения простейшей ферм и-жидкостной модели магнитоупорядоченной системы, когда магнитные свойства вещества определяются исключительно электронами, находящимися в зоне проводимости металла. В реальных магнитоупорядоченных металлах группы железа (так называемых 3^-металлах) магнитные свойства определяются электронами нескольких энергетических зон, так что адекватным представлением является представление о многокомпонентной электронной ферми-жидкости. Однако и в таких системах возможен переход к сокращенному описанию, основанный на последовательном учете иерархии временных масштабов. Для коллективизированных электронов одночастичные состояния при учете корреляционных эффектов, приводящих к экранированию кулоновского взаимодействия, формируются очень быстро. Для квазилокализованных электронов {/-зоны время формирования электронной структуры определяется временем перескока электрона с узла на узел кристаллической решетки. В реальных 3{/-металлах оно задается шириной {/-зоны W и по порядку величины составляет h/lV ~ 10″ ¹⁵ с. Другое характерное время связано с изменением направления магнитных моментов в пространстве. Оно определяется энергией магнитных возбуждений и может быть оценено по температуре Кюри 9₀ как h/% ~ 10~¹³ с. В результате «быстрые» электронные состояния успевают подстраиваться под «медленные» флуктуации спиновой плотности, что позволяет в простейшем приближении описывать состояние системы в терминах вектора намагниченности.

Теперь рассмотрим однородную изотропную электронную ферми-жидкость, полностью пренебрегая конкретными чертами энергетической зонной структуры кристалла. Благодаря спонтанной намагниченности ферромагнетик имеет в состоянии равновесия отличный от нуля магнитный момент. Обозначив единичный вектор, направленный вдоль спонтанного магнитного момента, через т, запишем энергии квазичастиц электронной жидкости, зависящие от ориентации спина относительно /л, в следующем виде:

Входящая в выражение (2) величина Ь (р) называется обменным интегралом, так как она характеризует межэлектронное взаимодействие, приводящее к возникновению магнитного порядка. В соответствии с выражением (2) энергия квазичастицы со спином, параллельным т, равна е₀(р)-Ь (р)у а равновесная функция распределения есть я_т = л (е₀ — Ь). У квазичастицы с противоположным направлением спина энергия равна г₀(р) + Ь{р), а равновесная функция распределения есть п_х = л (в₀ + Ь). Одночастичную равновесную матрицу плотности для рассматриваемой системы можно записать в виде.

Используя обычное выражение для корреляционной функции, описывающей взаимодействие квазичастиц в пренебрежении спинорбитальным и спин-спиновым взаимодействием.

можно установить связь между функциями и Ь (р). Для этого запишем выражение для вариации энергии квазичастицы при повороте вектора т на угол 50. Поскольку при этом.

то для вариации 5ё с помощью выражения (2) находим.

С другой стороны, записав выражение для вариации матрицы плотности (3) в виде.

В (8) учтено, что получаем с помощью соотношения (4) следующее выражение для вариации 5е:

Сравнивая выражения (6) и (8) для вариации 5s, в силу произвольности угла 50 приходим к соотношению.

Это соотношение позволяет установить критерий возникновения ферромагнитного упорядочения в рассматриваемой модели. Считая Ь (р) -> 0, имеем.

При абсолютном нуле температуры функция я (е) представляет собой обычную фермиевскую ступеньку, поэтому.

Подставляя это выражение в соотношение (10) и используя для корреляционной функции |/(/?, р') разложение по полиномам Лежандра, получим.

Из соотношения (13) следует, что.

Именно при выполнении этого условия возможны нетривиальные решения Ь (р) * 0 получившегося уравнения, которые соответствуют установлению в системе спонтанного однородного магнитного порядка. Условие 1 + В₀ > 0 является одним из условий устойчивости основного состояния системы. Как мы видим, предложенная простейшая однородная модель магнитоупорядоченной ферми-жидкости приводит к тому же условию устойчивости системы (в данном случае — устойчивости магнитоупорядоченного однородного состояния), что и модель электронной жидкости в отсутствие магнитного упорядочения.

Изложенная однозонная модель ферромагнитной электронной ферми-жидкости до сих пор успешно используется при теоретическом изучении ряда свойств магнитных металлов.

Реальные магнитоупорядоченные металлы даже при рассмотрении их свойств в одноэлектронном приближении имеют весьма сложные состоящие из нескольких энергетических зон и сильно анизотропные электронные спектры. Весьма причудливый вид имеет и найденная в результате выполненных в том или ином приближении численных расчетов одноэлектронная плотность состояний. Поэтому при построении модели электронной фермижидкости переходных ^/-металлов приходится учитывать целый ряд особенностей зонной структуры, связанных с наличием недостроенных 3^-оболочек. Поскольку^{-состояния} в переходных металлах группы железа лежат вблизи уровня Ферми, то 3^-электроны вместе с валентными 45- электронам и коллективизируются и образуют, как уже отмечалось ранее, сложную ферми-жидкость квазичастиц.

В качестве простейшего приближения ее можно рассматривать как смесь двух ферми-жидкостей с разными законами дисперсии, соответствующих 5- и d-электронам. Рассмотрение проводится аналогично тому, как это было сделано ранее для однокомпонентной ферми-жидкости. При этом в системе оказываются возможными разные типы магнитного упорядочения: ферромагнитное, антиферромагнитное, ферримагнитное и даже неколлинеарные магнитные структуры, для реализации которых, правда, необходимо наличие более двух энергетических зон. Ферми-жидкостный подход позволяет сравнительно просто исследовать вопрос о магнитных свойствах железа, взятого в а- (объемноцснтрированная кубическая решетка) иву- (гранецентрированная кубическая решетка) модификациях; при этом а-фаза представляет собой типичный ферромагнетик, а в у-модификации реализуется антиферромагнитное упорядочение. Весьма эффективной является ферми-жидкостная модель и при рассмотрении свойств магнитоупорядоченных сплавов. При этом используются различные варианты моделей, так что совокупность ферми-жидкостных моделей магнитоупорядоченных систем образует широкую иерархическую сеть.

Особую группу моделей образуют модели, учитывающие существование кристаллической решетки металла. Величины, характеризующие состояние электрона в анизотропном кристалле, могут зависеть от комбинации (р п) (кристаллическая анизотропия) и (S? ii) (магнитная анизотропия), где п — единичный вектор какой-либо кристаллографической оси. Поэтому при учете анизотропии в модель жидкости коллективизированных электронов приходится вводить большее число феноменологических параметров. В частности, корреляционная функция F начинает зависеть от указанных комбинаций (р • п) и (S • /1). После интегрирования по анизотропной ферми-поверхности член, содержащий (S-л), также приводит к неэквивалентности различных ориентаций намагниченности. В простейшем варианте при рассмотрении одноосного магнетика корреляционную функцию F можно аппроксимировать выражением:

где v — единичный вектор в направлении оси магнитной анизотропии.

Наряду с эффектами магнитной анизотропии в реальных кристаллических системах большую роль может играть и нелокальный характер обменного взаимодействия. Для учета магнитной неоднородности можно представить зависящую от координат корреляционную функцию в виде разложения по параметру а/Х, где а — радиус действия обменных сил, равный по порядку величины радиусу экранирования кулоновского взаимодействия, а, А — характерный размер неоднородности. Учет всех этих эффектов, естественно, приводит к увеличению числа вводимых феноменологических параметров.

Успех фсрми-жидкостной модели магнитоупорядоченного состояния зависит от удачного выбора того, что именно должно объявляться параметром теории, а что подвергаться вычислению. Например, феноменологическим параметром может быть обменный интеграл взаимодействия электронов, локализованных на разных узлах кристаллической решетки, но имеет смысл проводить явные расчеты вклада этих интегралов в конфигурациях, отличающихся количеством и порядком расположения соседей, с которыми возможно такое взаимодействие.

Задачи и упражнения

• 1. Покажите, что статистическая сумма Q_N, определяемая формулой (1), нс зависит от векторного потенциала А (г) магнитного поля.
• 2. Покажите справедливость выражения (6) для 6ё, используя соотношения (2) и (5).
• 3. Покажите справедливость формулы (9).
• 4. Покажите справедливость соотношения (8).
• 5. Получите соотношение (10), исходя из выражений (6) и (8).
• 6. Обоснуйте возможность разложения корреляционной функции у (А р) в ряд по полиномам Лежандра.
• 7. Получите условие (14), исходя из соотношения (13).
• 8. Опишите возможную иерархию временных масштабов, определяющую переход к сокращенному описанию магнитоупорядоченной системы.

Литература

: [1], [7].