Комплексная форма представления сигналов
Комплексную форму сигналов удобно отражать точками на плоскости — одна координата отражает действительную, вторая — мнимую часть. Тогда сложение сигналов станет сложением соответствующих сигналам векторов, а умножение — поворотом векторов на плоскости (с умножением их длин, равным модулям этих чисел; углы же, равные аргументам чисел, складывают). Последовательное возведение комплексного числа… Читать ещё >
Комплексная форма представления сигналов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Часто при описании и анализе некоторых видов сигналов (в первую очередь узкополосных) бывает удобной комплексная форма их представления.
где u (t)l ср (?) — соответственно модуль и фаза комплексной величины u (t).
Комплексная функция ii (t) может быть также представлена в виде.
где Re, Im — действительная и мнимая части комплексной функции.
Из формул (2.4) и (2.5) получим.
По формальному аналитическому представлению сигнал может быть действительным или комплексным, т. е. состоящим из вещественной и мнимой частей. С помощью комплексных чисел удобно записывать синфазную (совпадающую, но фазе с некоторым сигналом) и квадратурную (отличающуюся по фазе от этого сигнала на 90°) составляющие сигнала.
Векторное представление сигналов.
Комплексную форму сигналов удобно отражать точками на плоскости — одна координата отражает действительную, вторая — мнимую часть. Тогда сложение сигналов станет сложением соответствующих сигналам векторов, а умножение — поворотом векторов на плоскости (с умножением их длин, равным модулям этих чисел; углы же, равные аргументам чисел, складывают). Последовательное возведение комплексного числа в степень становится вращением выражающего это число вектора вокруг начала координат. Проекция данного вектора на одну из осей координат будет представлять нарастающие, затухающие или же с постоянной амплитудой колебания — в зависимости от того, больше ли единицы модуль данного комплексного числа, меньше или равен ей.
Итак, при векторном представлении комплексный сигнал — это вектор на комплексной плоскости с действительной осью — осью абсцисс и мнимой осью — осью ординат (рис. 2.4). Вектор на плоскости вращается в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью со0. Длина этого вектора равна модулю комплексного сигнала, угол между вектором и осью абсцисс — аргументу ф (?). Проекции вектора на оси коор
Рис. 2.4. Графическое представление комплексной формы сигнала
дипат равны соответственно действительной и мнимой частям комплексного значения сигнала.
На амплитудно-фазовой плоскости-диаграмме (на одной оси — амплитуда, а на другой — фаза) сигнал может быть представлен в виде точки, соответствующей концу вектора. Такое представление используют для описания видов модуляции в модемах.
Векторное представление сигналов базируется на функциональном анализе — разделе математики, объединяющем методы и подходы топологии, классического анализа и линейной алгебры и позволяющем создать аналитическую теорию сигналов. В геометрической форме элемент U в /2-мерном пространстве представляют в виде точки или вектора с координатами uv и2, ип. При такой интерпретации множеству сигналов ставят в соответствие линейное векторное пространство L.
Сигналы в этом пространстве изображают векторами и операции с сигналами заменяют операциями с векторами. Если число членов множества п стремится к бесконечности, то говорят о бесконечномерном пространстве L. Пространство L называется нормированным, если введена норма, т. е. определенное расстояние между началом координат и какой-либо точкой пространства. Для вещественного и комплексного сигналов, определяемых на интервале t{ — t2 (часто удобнее интервал обозначать как 0 — Т)> норма соответственно запишется следующим образом:
где u*(t) — сигнал, комплексно-сопряженный сигналу u (t).
Норма представляет собой геометрическую трактовку линейного пространства сигналов и по своему смыслу соответствует длине вектора сигнала.
Еще одним фундаментальным понятием линейного пространства сигналов является метрика. Пространство сигналов называется метрическим, если введен способ определения метрики — расстояния d (uy v) между двумя его элементами (здесь — сигналами), например u (t) и v (t).
Метрика — неотрицательное число, которое независимо от способа задания должно удовлетворять ряду известных в математике аксиом (для упрощения не приводятся). Метрика определяется нормой разности двух сигналов u (t) и v (t). В связи с этим используют такую аналитическую запись метрики пространства:
Пространство функций с равномерной метрикой (2.6) называют п-мерным евклидовым пространством. Если математические модели сигналов — комплексные функции, то приходим уже к комплексному линейному пространству.
Кроме нормы и метрики вводят скалярное произведение сигналов
Скалярное произведение сигналов (функций) обладает рядом свойств:
- • (Щ, и") > 0;
- • (и, v) = (v, и);
- • (а и, v) = а (и, v), где, а — вещественное число;
- • (и + v, s) = (и, s) + (v, s).
Полное линейное пространство с квадратичной (степенной) метрикой называют вещественным гильбертовым пространством Н (по фамилии немецкого математика Давида Гильберта — David Hilbert).
При анализе комплексных сигналов можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение такое что {и, v) = (и, «)*.
Для скалярного произведения сигналов справедливо фундаментальное неравенство Коши — Буняковского — Шварца
Сигнал, описываемый выражением.
есть «-мерный вектор линейного пространства (рис. 2.5).
Ортонормированная (т.е. ортогональная и нормированная к единице) система базисных функций (v,(?)} образует координатную систему в «-мерном евклидовом пространстве (частном случае гильбертова). Функции v((/) представляют собой единичные векторы {орты), коэффициенты сп — про;
Рис. 2.5. Векторное представление сигнала екции вектора сигнала u (t) на оси координат. Координаты вектора — скалярное произведение функций и (() и v,(!)'?
Представление сигналов динамическими моделями. Применяют два способа динамического представления сигналов (рис. 2.6). Согласно первому способу в качестве элементарных сигналов используют ступенчатые функции, возникающие через равные интервалы времени Д (рис. 2.6, а). Высота каждой ступеньки (импульса) равна приращению сигнала па интервале А. При втором способе представления элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы длительностью Д. Импульсы примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 2.6, б).
Рис. 2.6. Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны направления изменения во времени элементарных слагаемых):
а — ступенчатыми функциями; б — прямоугольными импульсами.