Методы анализа процессов в линейных цепях (системах)

При анализе процессов необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Из основ теории цепей известно, что для анализа прохождения гармонических сигналов через линейные цепи используют законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и другие несложные методы. Эти методы применимы и для анализа при произвольном воздействии. Однако в теории связи имеют дело с импульсными сигналами, которые более разнообразны по форме и спектральному составу и описываются большим числом параметров. Эти цепи сложны и по структуре. При анализе воздействия сигналов на такие цепи применяют спектральный и операторный методы и метод интеграла наложения.

Спектральный метод. Свойства линейных цепей (четырехполюсников) можно определить с помощью такого параметра, как частотный коэффициент передачи. Для этого необходимо рассмотреть отклик линейного четырехполюсника на входное воздействие и оценить их связь между собой.

Введем понятия комплексных амплитуд входного и выходного гармонических напряжений с угловой (круговой) частотой со:

Отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических напряжений одной частоты и определяет частотный коэффициент передачи (чаще просто — коэффициент передачи) линейной цепи (линейного четырехполюсника):

Модуль коэффициента передачи К (со) = |К (со)| называют амплитудночастотной характеристикой (АЧХ), а аргумент ср (со) — фазочастотной характеристикой (ФЧХ) линейного четырехполюсника. Как правило, АЧХ имеет один максимум, а ФЧХ изменяется монотонно в зависимости от частоты (рис. 4.2).

В области некоторой полосы частот отклик цепи на входное воздействие начинает уменьшаться. Поэтому используют понятие полосы пропускания (рабочей полосы) — области частот, где модуль коэффициента передачи К (со) не менее 1/V2 = 0,707 своего максимального значения. Наиболее же удобен на практике нормированный модуль коэффициента передачи К/К_шкс, максимальное значение которого равно 1. Значение 1/V2, по которому определяют полосу пропускания линейной цепи, введено не случайно. Дело в том,.

Рис. 4.2. Характеристики линейной цени:

а — АЧХ; б — ФЧХ что на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи, но мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза. На рис. 4.2 полоса пропускания заключена в области от нижней со_н до верхней со_в частоты, и поэтому ее ширина Дсо₀ = со_в — со,. На практике часто используют циклическую частоту /= /(2). Тогда полоса пропускания цепи.

где/_и — нижняя, а/_в — верхняя граничные циклические частоты.

К вопросу о частотном коэффициенте передачи можно подойти и с другой точки зрения. Если на вход линейной цени подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида u_BX(t) = e^{J (0t}, то сигнал на ее выходе запишется как u_Bbai(t) = К ( Подставляя эти выражения в формулу (4.1), после несложных преобразований запишем частотный коэффициент передачи в форме дифференциального уравнения.

Согласно формуле (4.3) частотный коэффициент передачи линейной цепи, у которой связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной у со. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения.

С помощью частотного коэффициента передачи К (со) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К (со) действует непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения м_вх(?). Применив прямое преобразование Фурье (2.29), определим спектральную плотность входного сигнала 5_вх(со). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейной цепи.

Проведя обратное преобразование Фурье (2.30) от спектральной плотности (4.4), запишем выходной сигнал как.

Операторный метод. Наряду со спектральным применяют операторный метод, базирующийся на представлении преобразованиями Лапласа входных и выходных сигналов. Термин «операторный метод» введен О. Хевисайдом. Он предложил символический способ решения линейных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных цепях. Метод Хевисайда основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р, который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим комплексный или вещественный аналоговый сигнал u (t), определенный при t > 0 и равный нулю в момент времени t = 0.

Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р, выраженная интегралом.

Аналитическую запись сигнала u (t) называют оригиналом, а функцию U (p) — его изображением по Лапласу (проще — изображением). Интеграл.

• (4.6) внешне напоминает прямое преобразование Фурье (2.29). Однако между ними имеется принципиальное различие. В интеграл прямого преобразования Фурье (2.29) входит мнимая частотаусо, а в интеграл Лапласа
• (4.6) — комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту р = а + усо (а — вещественная составляющая), при этом рассматривают только положительные значения времени t. За счет множителя е~^ш под интегралом в формуле (4.6) для U (p) преобразование Лапласа возможно и для неинтегрируемых функций u (t).

Использование понятия комплексной частоты в интегральном преобразовании делает его более эффективным по сравнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле (2.29) невозможно непосредственно определить спектр функции включения а (?) = 1(0- Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (4.6) легко отыскать его операторное изображение:

или, поскольку е~^а‘°° = 0, получим.

Из приведенного примера очевидно, что повышение эффективности преобразования (4.6) обусловлено наличием множителя е^-а/, который обеспечивает сходимость данного интеграла даже для сигналов, не удовлетворяющих условию сходимости интеграла . Наличие этого множителя позволяет интерпретировать преобразование Лапласа (4.6) как представление сигнала в виде «спектра» из затухающих колебаний е^ше^{, ш} = = е^(а+у<0)* (при, а < 0) в отличие от преобразования Фурье, представляющего сигнал совокупностью незатухающих гармонических колебаний e^j (в символической форме).

Преобразование Лапласа (4.6) обладает линейными свойствами, аналогичными свойству линейности преобразования Фурье:

Из других свойств отметим более простое преобразование изображений при дифференцировании и интегрировании сигнала по сравнению с аналогичными преобразованиями Фурье. Упрощение связано не только с комплексностью оператора р, но и с тем, что оригиналы анализируют на бесконечном интервале [0, °°].

По аналогии с обратным преобразованием Фурье вводят обратное интегральное преобразование Лапласа, которое осуществляют с помощью вычетов:

где а, — вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа позволяет решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть необходимо найти решение дифференциального уравнения (4.1). Установим ряд допущений:

• • входной сигнал u_BX(t) = 0 при t < 0;
• • входной сигнал содержит в себе только те функции, для которых существуют преобразования Лапласа;
• • начальные условия нулевые, т. е. г/_вых(0) = 0.

Введем соответствия между оригиналами входного и выходного сигналов и их изображениями по Лапласу:

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей формулы (4.1), получим.

В теории автоматических систем сомножитель перед U_Bblx(p) в формуле (4.8) обозначают через Q (p), называя собственным оператором системы, а сомножитель перед U_nx(p) — через R (p) и называют оператором воздействия.

Операторный метод базируется на важнейшей характеристике, являющейся отношением изображений выходного и входного сигналов:

и называемой передаточной функцией {операторным коэффициентом передачи) линейной цепи.

Воспользовавшись уравнением (4.8), находим.

Сравнение формул (4.3) и (4.9) показывает, что функция К (р) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи /((со) с мнимой оси jeo на всю область комплексных частотр = а + jco.

Если известна передаточная функция К (р), то выходную реакцию цепи на заданное входное воздействие u_nx(t) можно определить по следующей схеме:

• • записать изображение входного сигнала u_BX(t) —? U_BX(p)
• • найти изображение выходного сигнала 0_иых(р) = K (p)U_ux(p)
• • вычислить выходной сигнал u_ttblx(t) —⁵? 0_вых(р).

Корни знаменателя p_vp₂> —>Р_п ^в формуле (4.9), т. е. корни функции.

называют полюсами передаточной функции К{р).

Соответственно корни числителя z_v z₂, z_m функции К (р), т. е. корни функции

характеризуют как пули передаточной функции.

В реальных электрических цепях п> т.

При делении числителя на знаменатель в формуле (4.9) появляется постоянный множитель К₀, и это уравнение принимает так называемое нульполюсное представление передаточной функции.

Действительные значения коэффициентов а_п и Ъ_т дифференциального уравнения (4.16) обусловливает следующее свойство полюсов и нулей передаточной функции линейного четырехполюсника: либо все эти числа вещественные, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Рис. 4.3. Представление нулей и полюсов на комплексной плоскости

Очень часто используют наглядный прием отображения нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости а, усо. При этом полюса принято обозначать крестиками, а нули — кружками. Например, на рис. 4.3 кружком в начале координат показан нуль, а крестиками 1 и 2 — полюсы передаточной функции некоторой колебательной цени. Полюсы 1 и 2 отрицательны, вещественны и определяют разность двух затухающих экспонент. Комплексно-сопряженные полюсы 3 и 4 определяют колебательный характер передаточной функции К (р) с тем большим затуханием, чем левее они расположены, и с тем большей частотой затухающих колебаний, чем дальше они отходят вверх и вниз от вещественной оси а. Расположение полюсов в левой полуплоскости соответствует затухающему характеру передаточной функции. Нули передаточной функции могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости.

Динамическое представление линейных цепей. Метод интеграла наложения. Свойства линейных цепей часто проще оценить видом их отклика на воздействие элементарных сигналов. Применение нашло два вида динамического представления линейных цепей. Согласно первому из них для анализа отклика цепи в качестве элементарных сигналов служат прямоугольные импульсы длительностью Д, в пределе стремящиеся к дельта-функции. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее. При втором способе элементарными сигналами служат ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения через равные промежутки времени А. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени Д.

Одним из элементарных электрических сигналов, применяемых при анализе прохождения различных колебаний через линейные цепи (четырехполюсники), является дельта-функция 5(?). Другим элементарным электрическим сигналом в технике связи служит функция включения а (?).

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования функции включения является дельта-функция

Соответственно

Пример 4.1.

Найдем производную от произведения экспоненциального импульса и функции включения u (t) = e~^atv (t).

Решение

Для функции е~^ш в момент времени t = 0 е~^а'° = 1. Производная В результате вычислений получим следующее выражение:

Импульсная и переходная характеристики линейной цепи. Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию линейной системы теоретически на любой входной сигнал, зная всего одну функцию — реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию 8(t). Эту реакцию называют импульсной характеристикой или ядром свертки линейной цепи (системы) и обозначают h (t). Различные виды реальных импульсных характеристик линейных цепей h_v h₂, h₃ показаны на рис. 4.4, а.

Рис. 4.4. Характеристики линейной цени:

а — различные виды импульсных; б — переходная Откликом линейной цепи на единичную функцию является переходная характеристика g (t) (рис. 4.4, б). Положим, что требуется определить выходной сигнал и_вых(?) линейной цепи (линейного четырехполюсника), если известны ее импульсная характеристика h (t) и входной сигнал u_BX(t). Заменим приближенно кривую входного сигнала u_nx(t) ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность Ат (рис. 4.5, а).

Рис. 4.5. К интегралу Дюамеля:

а — входной сигнал; б — отклики на импульсы и выходной сигнал Формирование выходного сигнала можно пояснить следующим образом. Достаточно малый «кусочек» входного сигнала длительностью Ат подается на вход анализируемой цепи. Если выбрать длительность импульсов Ат бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта-функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (и_пх(0)Ат) первого импульса, т. е. u_nx(0)Axh (t) (рис. 4.5, б). Откликом линейной цепи на второй импульс с достаточной точностью является произведение г/_вх(Ax)Axh (t — Ат), где и_вх(Ат)Ат — площадь этого импульса, а величина h (t — Ат) — импульсная характеристика линейной цепи, соответствующая моменту времени t = Ат. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = пАх (п — число условно сформированных импульсов, приходящихся на интервал времени [0, ?]) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой (штриховая линия на рис. 4.5, б)

Если длительность импульсов Ат последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени Ат превращается в dx, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной т = kAx:

Для реальных линейных цепей всегда h (t) = 0 при t < 0. Поэтому выражение (4.12) можно записать в более общей форме:

Это фундаментальное соотношение в теории линейных цепей представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля Напомним, что^[1]

интеграл (4.13) называют сверткой двух функций (см. гл. 2). Итак, линейная система осуществляет свертку входного сигнала со своей импульсной характеристикой, в результате чего получается выходной сигнал. Формула (4.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная цепь, выполняя обработку входного сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом».

Техника свертки. Для вычисления свертки по выражению (4.13) функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т. е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений L В каждый текущий момент времени значения обеих функций перемножаются, а произведение интегрируется в пределах окна импульсного отклика. Полученный результат относится к той координатной точке, против которой находится значение импульсного отклика /?(()). В теории электрических цепей применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля:

Итак, линейная система преобразует относительно переменной t функции, входящие в формулу (4.14). При этом входной сигнал преобразуется в выходной сигнал м_вых(?)>^а дельта-функция 8(t — т) — в импульсную характеристику h (t — т). Функция м_вх(т) не зависит от переменной t и поэтому остается без изменений. В результате получается формула, показывающая, что выходной сигнал линейной системы равен свертке входного сигнала с ее импульсной характеристикой:

Определим связь импульсной характеристики с частотным коэффициентом передачи линейной цепи. Воспользуемся комплексной формой гармонического сигнала единичной амплитуды и_вх(?) = ехр (/со?). Подставив это выражение в формулу (4.14) и вынеся его за знак интеграла, находим отклик цепи:

Интеграл в скобках является комплексной функцией частоты.

и представляет собой коэффициент передачи (здесь сделана формальная замена т на t).

Выражение (4.15) устанавливает чрезвычайно важный факт — частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной цепи связаны прямым преобразованием Фурье. Очевидно и наличие обратного преобразования Фурье для коэффициента передачи и импульсной характеристики.

с помощью которого можно легко определить импульсную характеристику цепи по ее частотному коэффициенту передачи.

Поскольку существует простая связь между 6(7т) и a (t) по формулам (4.10) и (4.11), все выводы для линейной цепи, сделанные при помощи дельта-функции, легко переносятся па функцию включения. Проведя аналогичные рассуждения и расчеты, можно показать возможность простого представления входных и выходных сигналов с помощью функции включения a (t) и переходной характеристики линейной цепи g (t). Разбив входной сигнал (рис. 4.6) на элементарные функции включения Д мст (7) (здесь, А и — амплитуда элементарного скачка входного напряжения) и поступая так же, как и при выводе соотношения (4.12), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля, позволяющую определить сигнал на выходе линейной цепи:

Рис. 4.6. Представление сигнала суммой скачков.

В теории линейных цепей установлена определенная связь между импульсной и переходной характеристиками. Поскольку переходная характеристика neiiHg (?) есть отклик на единичную функцию ст (/,), которая, в свою очередь, представляет собой интеграл от дельта-функции 8(7) (см. формулу (4.11)), то и между функциями h (t.) и g (t) существует интегральное соотношение.

Экспериментально импульсную характеристику линейной цепи можно построить, подавая на ее вход короткий импульс единичной площади и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

• [1] Жан-Мари Дюамель (J. Duhamel, 1797—1872) — французский математик.