Аксиоматический метод в геометрии

Геометрия является классическим примером аксиоматической теории. Принципы построения именно этой теории легли в основу понятия «формальная система». Система аксиом геометрии, содержащаяся в «Началах» Евклида, была уточнена Д. Гильбертом в 1899 г. Предложенная им система аксиом евклидовой геометрии содержит 20 аксиом, которые разбиты на пять групп.

Первичными (неопределяемыми) понятиями в гильбертовой системе аксиом евклидовой геометрии являются объекты: точка, прямая и плоскость и отношения между ними, выражаемые словами: «принадлежит», «между», «конгруэнтен». По Гильберту, природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли указанным аксиомам. Так же и в формальной системе: первичные обозначения не определяются, а задаются как конечное множество символов, называемое алфавитом языка формальной системы.

В геометрии наряду с первичными (неопределяемыми) понятиями имеются определяемые понятия (отрезок, луч, угол и др.). Их определения даются с помощью первичных понятий или с помощью ранее определенных понятий. Точно также и в формальной системе: из символов алфавита по определенным правилам образуются допустимые последовательности символов, называемые формулами, а иногда словами языка формальной системы. Правила образования формул (слов) называют синтаксическими правилами. Они образуют грамматику языка формальной системы.

Перечислим пять групп аксиом евклидовой геометрии.

I группа (8 аксиом) — аксиомы принадлежности (соединения), описывающие отношение «принадлежит», например:

I,. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек.

1₇. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще, по крайней мере, одну общую точку.

II группа (4 аксиомы) — аксиомы порядка, описывающие отношение «между», например:

Н₂. Для любых двух точек А и В на прямой ЛВ существует, по крайней мере, одна точка С, такая, что точка В лежит между точками Ли С.

III группа (5 аксиом) — аксиомы конгруэнтности, описывающие отношение «конгруэнтен"(эквивалентен), например:

Ш₂. Если А’В' =АВ и А" В" = АВ, то А’В' = А"В" .

IV группа (2 аксиомы) — аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора, например:

IV₂ (аксиома Кантора). Для любой последовательности вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, существует точка, принадлежащая всем отрезкам.

V группа (1 аксиома) — аксиома Евклида о параллельных прямых: через точку, не принадлежащую заданной прямой на плоскости, можно провести только одну прямую в этой плоскости, параллельную заданной прямой.

В геометрии аксиомы принимаются в качестве исходных утверждений, истинность которых не доказывается и не опровергается. Они играют роль посылок в рассуждениях, проводимых с использованием логических законов: закон силлогизма, метод от противного, метод математической индукции и т. д. Исходя из аксиом, доказываются другие утверждения (теоремы) евклидовой геометрии. Доказанные теоремы вместе с аксиомами используются далее для обоснования новых теорем. Таким образом, строится теория, которую называют евклидовой геометрией.

В формальных системах точно также. Как уже отмечалось, допустимые последовательности символов называют формулами. Некоторую группу формул называют аксиомами, которые используются для образования других формул, называемых, как в геометрии, теоремами. Правила образования теорем из аксиом и из ранее полученных теорем играют в формальной системе ту же роль, какую логические законы играют в геометрии. В формальной системе правила образования формул называются правилами вывода.

Очень важными свойствами всякой теории, в том числе и геометрии, являются полнота и непротиворечивость теории. Геометрия Евклида является полной и непротиворечивой теорией. Полнота евклидовой геометрии означает, что любое утверждение о геометрических объектах, либо противоположное ему утверждение, являются доказуемыми в ней. Непротиворечивость евклидовой геометрии означает, что в ней никогда нельзя доказать два противоречащих друг другу утверждения.

Завершая описание аксиоматического метода в геометрии, заметим, что в ходе построения евклидовой геометрии были реализованы следующие четыре принципа:

• 1.

  Введение

  первичных (неопределяемых) понятий и отношений.

• 2. Определение новых понятий и отношений через первичные или ранее определенные понятия и отношения.
• 3.

  Введение

  аксиом (исходных утверждений).

• 4. Использование логических законов для доказательства теорем исходя из аксиом или ранее доказанных теорем.

Эти четыре принципа полностью характеризуют сущность аксиоматического метода, положенного в основу понятия «формальная система».