Модели оптимального управления запасами

В результате изучения главы 9 учебника обучающийся должен:

знать

• • логику классической модели управления запасами (модель EOQ), ее достоинства и методические недостатки;
• • общую характеристику динамических и стохастических моделей управления запасами;

уметь

• • обосновывать необходимость выбора политики (стратегии) пополнения запасов на предприятии;
• • осуществлять выбор конкретной системы регулирования запасов, исходя из сравнительного анализа их параметров и реальных условий хозяйственной деятельности;
• • адаптировать модель EOQ к реальным практическим условиям (скидки на размер заказа, нелинейность затрат, дискретность спроса);

владеть

• • методами расчета параметров систем управления запасами, методикой определения страхового запаса;
• • алгоритмом анализа чувствительности модели EOQ умением выявить ее достоинства и недостатки.

Классическая модель управления запасами

Необходимость выбора стратегии закупок. Классическая модель управления запасами предназначена для оптимизации размера текущей части запаса и справедлива как для производственных, так и товарных запасов торговых организаций. Рассмотрим идеальные условия формирования и расхода запаса, которые предполагают мгновенное поступление и равномерное потребление материального ресурса (см. рис. 8.5). Предположим, что В — годовая потребность производственного предприятия в конкретном виде материального ресурса или ожидаемая величина спроса на конкретный товар для торговой фирмы. Тогда при известной величине В в закупочной деятельности фирмы возможны следующие основные стратегии закупки.

1. Приобрести единовременно необходимый материальный ресурс (товар) сразу в размере годовой потребности. В этом случае объем партии поставки (закупки) Q будет равен В. Тогда для заданных условий согласно формуле (8.8) среднегодовой размер запаса будет S = В/2. Несмотря на свою простоту, такая стратегия закупки имеет серьезные недостатки, вызванные целым рядом ограничений: экономическими, организационными и технологическими.

Первая группа ограничений вызвана тем, что, как правило, фирма в своей закупочной деятельности имеет дело не только с данным видом материального ресурса, но закупает и другие. Поскольку размеры оборотного капитала фирмы имеют определенные ограничения, а объем годовой потребности может быть значительным, то такая стратегия закупок будет заведомо нерациональной. Кроме того, содержание материального запаса также требует определенных затрат, размер которых принято считать пропорциональным среднему размеру запаса.

Вторая группа ограничений связана с возможностями поставщика (производителя). При достаточно больших потребностях поставщик не в состоянии выполнить такой заказ и единовременно отгрузить требуемую партию материального ресурса.

Третья группа ограничений связана с выполнением транспортно-складских операций. Транспортные средства имеют ограничения по грузоподъемности и грузовместимости, складское хозяйство фирмы имеет ограничение по своей емкости, и, кроме того, необходимо учитывать физико-химические свойства материального ресурса, его сохраняемость, допустимые сроки хранения и т. п. Таким образом, данная стратегия, как правило, будет нерациональной и неприемлемой для фирмы в силу одного или нескольких вышеперечисленных ограничивающих условий.

• 2. Можно осуществлять закупки два раза в год, т. е. в размере полугодовой потребности. Тогда размер партии поставки будет Q = B/2, а среднегодовой размер запаса S = B/4. В этом случае по сравнению с первой стратегией часть ограничений может быть снята, но при больших масштабах закупочной деятельности большинство из них по-прежнему будут действовать.
• 3. Аналогичным образом фирма может приобретать данный материальный ресурс в размере квартальной потребности. В этом случае закупка будет осуществляться четыре раза в год в размере Q = B/ 4 nS = B/8. Ив этом случае какая-то часть ограничивающих условий может оставаться в действии, но главными ограничениями будут выступать экономические — дефицит оборотного капитала фирмы и высокие расходы на содержание (хранение) запаса.

Этот ряд возможных стратегий поставки (пополнения запаса) товарно-материального ресурса можно продолжить и осуществлять их один раз в месяц, декаду, неделю, вплоть до ежедневных закупок. Каждая из этих стратегий будет описываться набором взаимосвязанных параметров (интервал поставки, максимальный и средний размер запаса), значения которых могут существенно различаться. Таким образом, возникает проблема выбора стратегии закупки, т. е. обоснование размера заказа и количества закупаемых партий материального ресурса и тем самым нахождение величины его текущего запаса и интервалов между поставками.

В общем случае примем, что фирма осуществляет закупки данного вида материального ресурса п раз в год через равные промежутки времени Т = Т_ш/п, где — горизонт планирования, или продолжительность планового периода. Горизонт планирования должен быть достаточно продолжительным и, как правило, принимается равным одному году (.Т_ш = 1 год = = 360 дней) и в равных количествах, т. е. размер заказа будет Q = В/п. Тогда среднегодовой размер текущего запаса будет равен S = В/2п, а его максимальный размер S_max = Q = В/п.

В идеальных условиях значение максимума текущей части материального запаса должно приближаться к оптимальному размеру партии поставки. При этом в управлении производственными запасами и товарными запасами торговых организаций речь идет об оптимизации размера заказа (партии закупки или поставки), а в управлении товарными.

(сбытовыми) запасами готовой продукции предприятийпроизводителей — об оптимизации партий отгрузки товара. Поскольку в обоих случаях методический подход к реализации данной задачи принципиально не отличается, то в дальнейшем для упрощения будем говорить лишь о производственных запасах.

Вывод классической формулы оптимального размера заказа (модель EOQ). Оптимизировать размер заказа (партии поставки) означает, что необходимо найти такое его количественное значение, которое потребует минимальных затрат на формирование и содержание текущего запаса при заданных условиях. Методика решения данной задачи базируется на том, что различные составляющие общих затрат изменяются разнонаправленно при изменении размера партии поставки и, следовательно, существует такой размер заказа (партии закупки), который обеспечивает минимум суммарных (общих) затрат, связанных с формированием и содержанием запаса.

Общие годовые затраты по формированию (закупке и доставке) и содержанию (хранению) запаса материального ресурса 1_Г0Д для принятых условий пропорциональны общим затратам за один цикл закупки 1_общ, т. е. суммарным затратам на закупку и доставку одной партии материального ресурса и хранению его текущего запаса Ь_тд = 1_общ • л. Общие затраты по формированию и содержанию запаса, приходящие на одну партию поставки (закупки), будут складываться из двух основных частей:

где L_3aK — затраты по закупке одной партии материального ресурса, включая транспортно-заготовительные расходы; L_xp — затраты на содержание (хранение) текущего запаса, включая возможные потери в размере естественной убыли.

Среди составляющих затрат по формированию запаса можно выделить два вида: одна часть составляющих затрат зависит от размера единовременного заказа (партии поставки), а другая не зависит. В связи с этим выделяют условно-постоянные и условно-переменные затраты, из которых и складывается стоимость одного заказа. Тогда затраты по формированию запаса можно определить как.

где К — условно-постоянные затраты, связанные с закупкой и доставкой одной партии; с — условно-переменные затраты, приходящиеся на единицу материального ресурса (включая цену закупки).

Затраты по содержанию запаса принято считать пропорциональными среднему размеру запаса и времени его хранения на складе фирмы между двумя очередными поставками:

где h — стоимость содержания единицы запаса в единицу времени (как правило, в сутки); Т—интервал между поставками.

Для принятых условий будет справедлива формула (8.8) для определения среднего размера запаса, а поскольку Т= Q/b, то, следовательно, выражение (9.3) можно представить в виде.

Тогда выражение (9.1) для определения общих затрат по формированию и содержанию запаса, приходящихся на одну партию закупаемого материального ресурса, с учетом (9.2) и (9.4) примет вид.

Удельные затраты, т. е. расходы по формированию (организации поставки) и содержанию запаса единицы товарноматериального ресурса за один цикл поставки, можно получить делением выражения (9.5) на размер заказа (партии поставки) Q:

Выражение (9.6) представляет собой функцию Z (Q), т. е. зависимость удельных затрат по формированию и содержанию запаса данного материального ресурса от размера заказа, определяющего уровни (максимальный и средний) его текущего запаса, или, другими словами, является оценочным показателем возможных стратегий закупочной деятельности. Наименьшие затраты Z_o6l4(Q)-Hnin будут определять оптимальную стратегию закупки товарно-материального ресурса в заданных условиях, т. е. минимум общих удельных затрат является критерием оптимальности выбора размера заказа (объема партии поставки) и, соответственно, максимального уровня текущего запаса.

На рис. 9.1 представлена графическая интерпретация выражения (9.6), которая наглядно представляет зависимость общих (суммарных) удельных затрат и их составляющих от изменения размера партии поставки.

Рис. 9.1. Зависимость удельных затрат по формированию и содержанию запаса от размера партии поставки (закупки).

Удельные транспортно-заготовительные расходы обратно пропорциональны размеру партии поставки (K/Q) и в графической форме представляют собой гиперболу. Удельные затраты по содержанию запаса прямо пропорциональны среднему его размеру, который определяется объемом партии поставки (hQ/2b), и характеризуются линейной зависимостью. Кривая общих удельных затрат (/_общ) представляет собой результат сложения всех составляющих. Поскольку отдельные составляющие общих затрат изменяются разнонаправленно при изменении размера заказа (объема партии поставки), то кривая общих удельных затрат как сумма всех составляющих будет достигать своего минимального значения (Z_min) в некоторой точке Q*, значение которой и будет определять наилучшую (при заданных условиях — оптимальную) стратегию пополнения запасов (закупок).

Для того чтобы аналитически найти экстремум (минимум или максимум) функции, необходимо взять ее первую производную, приравнять ее нулю и решить полученное уравнение относительно неизвестного параметра. Для оценки вида функции (выпуклая она или вогнутая), на основе которого можно сделать вывод о том, минимум или максимум достигается при полученном значении неизвестного параметра, требуется взять вторую производную. Знак значения второй производной позволяет сделать вывод о виде функции: при ее положительном значении функция в данной точке будет достигать своего минимума (выпуклая функция), а при ее отрицательности — достигать максимума (вогнутая функция).

Первая производная функции удельных затрат (9.6) будет:

Вторая производная этой функции будет иметь вид:

Поскольку К — условно-постоянные затраты, связанные с закупкой и доставкой одной партии материального ресурса на склад фирмы, величина неотрицательная и Q — размер партии поставки является величиной положительной, то значение выражения (9.8) также будет являться неотрицательной величиной. Следовательно, в некоторой точке Q*, являющейся решением уравнения (9.7), функция общих удельных затрат по формированию и содержанию запаса (₀б_щ(0) будет достигать своего минимума, т. е. значение Q* будет определять оптимальный размер поставки и текущей части запаса для заданных условий.

Приравняем выражение первой производной функции общих удельных затрат (9.7) нулю и решим полученное уравнение относительно неизвестного параметра Q:

Выражение для определения оптимального размера заказа (партии поставки) будет иметь вид

Выражение (9.9) представляет собой формулу для определения наиболее экономичного размера заказа EOQ (Economic Order Quantity), которая является классической (основной) экономико-математической моделью теории запасов. Формула (9.9) известна в экономической литературе под многими названиями. Например, формула размера партии, формула квадратного корня и др.

Исторический экскурс Эту математическую модель достаточно часто называют «формулой Уилсона» (в некоторых переводных изданиях Вильсона или Вилсона), по имени одного из ее авторов — американского экономиста-математика Р. Уилсона (R. Н. Wilson).

В ряде изданий авторство разработки модели типа (9.9) приписывается американскому инженеру Ф. Харрису (F. Harris). Поэтому в отечественной литературе по теории запасов модель (9.9) называют также и «формулой Харриса — Уилсона».

Форд Харрис¹ (в некоторых отечественных изданиях его фамилию переводят как Гаррис) еще в 1913 г. аналитически вывел и применил модель экономичного размера партии при планировании запасов незавершенного производства в корпорации «Westinghouse Elektric and Manufacturing Company». Его формула производственного заказа достаточно близка по своему виду к выражению (9.9), но все же имеет некоторые отличия. Формула Харриса имеет следующий вид (в обозначениях автора):

где Р — затраты на подготовку обработки партии деталей (изделий); S — дневной темп (интенсивность) выпуска; С — себестоимость единицы продукции; К — постоянная, в которую входят такие слагаемые, как процент на капитал, складские расходы, страховые взносы, налоги и проч.

Р. Уилсон действительно вывел формулу квадратного корня несколько позже^[1][2], и она была получена в качестве одного из результатов разработанной им схемы управления запасами. Первая в мире монография, полностью посвященная управлению запасами, а точнее, возможностям практического применения модели EOQ и ее обобщений (будут рассмотрены ниже), была подготовлена сотрудником Массачусетского технологического института Ф. Реймондом и издана в США еще в 1931 г.

Из формулы Уилсона и рассмотренных ранее соотношений (8.8) следует, что в заданных условиях среднегодовой размер текущего запаса, соответствующий оптимальным размерам закупаемой партии, равняется.

оптимальное число закупок (поставок) составляет.

а оптимальный интервал между поставками будет.

Достаточно часто модель EOQ представляют в виде, приведенном к заданному плановому периоду (как правило, одному году):

где Н — стоимость содержания единицы запаса за плановый период времени; В — потребность в материальном ресурсе (объем спроса) за тот же самый период времени.

Соответственно, и все остальные параметры модели выбора стратегии управления запасами должны быть приведены к годовой размерности, т. е. формулы (9.11—9.13) примут следующий вид.

При использовании моделей (9.9), (9.11—9.15) важно, чтобы все объемные и стоимостные параметры, характери;

зующие логистический процесс (величина спроса, издержки содержания или хранения), были приведены к одному и тому же периоду времени.

Формальный анализ модели EOQ и графическая интерпретация изменения общих удельных затрат (рис. 9.1) свидетельствуют о том, что оптимальные параметры поставок и запасов не зависят от цены запасаемого материального ресурса, которая учитывается в составе условно-переменных затрат с в формулах (9.2) и (9.6). Однако это не совсем так. Как правило, затраты на хранение запаса h (или Я) определяются пропорционально стоимости, или цене, запасаемого материального ресурса. С учетом этого замечания формула (9.9) несколько трансформируется и примет вид.

где h — затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, задаваемые как доля от стоимости (цены) запасаемого ресурса (ее часто устанавливают в виде процента); с — цена товарно-материального ресурса.

Кроме того, увеличение размера запаса ведет к росту иммобилизации оборотного капитала, что также должно учитываться при определении оптимальных параметров текущего запаса, что особенно актуально в условиях высокой инфляции. С учетом этого фактора, достаточно широко известен вариант формулы (9.14), т. е. модели EOQ в годовой размерности:

где i — процент на капитал, в качестве которого можно использовать действующую ставку рефинансирования, устанавливаемую Центральным банком России (ЦБ РФ).

Задача

Требуется определить параметры оптимальной стратегии поставок металлопроката на планируемый год (т.е. размер партии поставки, число поставок, интервал между поставками и средний размер текущего запаса).

Решение

Условия задачи в принятой системе обозначений: В = 900 т, К = 48 тыс. руб., с = 24 тыс. руб/т, Н_% = 25%.

1. Затраты на содержание одной тонны металлопроката на складе составляют.

2. Оптимальный размер заказа (партии поставки) в соответствии с моделью EOQ:

3. Оптимальное число поставок на планируемый год.

4. Оптимальный интервал между поставками будет составлять.

5. Средний размер текущей части запаса при использовании оптимальной стратегии его пополнения и равномерном расходе составит.

Таким образом, для рассматриваемых идеализированных условий формирования и потребления запаса металлопроката оптимальной стратегией будет осуществление 8 поставок данного материала за год, единовременная поставка в объеме 120 т (2 крытых вагона) с интервалом в 45 календарных дней. Следовательно, годовой объем закупки металлопроката составит 120×8=960 т, из которых 60 т составят переходящий запас на следующий год. Если создание переходящего запаса данного типосорторазмера металлопроката нежелательно для предприятия, то последняя поставка может быть осуществлена в размере 60 т (1 крытый вагон), что может быть оговорено в договоре на поставку с поставщиком.

Анализ чувствительности модели EOQ. В результате анализа формулы Харриса — Уилсона и производных от нее моделей можно сделать ряд выводов. Из них следует, что Q и п пропорциональны 4в и, соответственно, если годовая потребность возрастет, например, в 4 раза, то оптимальные размеры партии поставки и оптимальное число закупок увеличатся только вдвое. При постоянной величине спроса В (а это одно из условий задачи) оптимальный размер партии поставки Q* будет пропорционален у[к, т. е. квадратному корню из издержек по осуществлению закупки партии материального ресурса, и обратно пропорционален sjh, т. е. квадратному корню из удельных издержек хранения. Зависимость оптимального числа поставок (закупок) п от 4к и yfh имеет обратный характер.

Следует заметить, что оптимальное значение размера партии поставки зависит не столько от абсолютных размеров затрат по выполнению заказа К и издержек хранения h, а от квадратного корня их отношения, т. е. от yjK/h. Этот момент является принципиальным, так как в случае недостаточной точности оценки затрат или однонаправленных ошибок при их исчислении (завышение или, наоборот, занижение) результат решения по формуле Харриса—Уилсона будет крайне незначительно отличаться от оптимального значения, что повышает устойчивость модели EOQ.

Как отмечалось выше, годовые издержки по осуществлению определенной стратегии закупок и пополнения запасов будут пропорциональны затратам за один цикл поставки и для идеальных условий составят:

Из формулы (9.18) следует, что второе слагаемое годовых затрат, определяющее собственно стоимость закупаемых материальных ресурсов (с • 8 = const), при заданных условиях и постоянных ценах не зависит от выбора стратегии пополнения запасов и прямо на него не влияет. Поэтому их можно исключить из суммарных затрат, определяемых конкретной стратегией, и рассматривать только логистические издержки. С учетом этого замечания и соотношений (9.15) годовые затраты по формированию и содержанию запаса при использовании оптимальной стратегии составят

Для оценки чувствительности годовых затрат по формированию и содержанию запаса к изменению размера заказа необходимо определить отношение Ь_лог / L* _ог и вычислить его зависимость от соотношения Q/Q*. Построим данное отношение и выполним необходимые алгебраические преобразования. Тогда для модели EOQ функция Ь_лог / L*_ог = /(Q / Q*) примет вид:

Из выражения (9.20) следует, что отношение не зависит от параметров системы. В табл. 9.1 приведены значения относительного увеличения логистических затрат по формированию и содержанию запаса, полученные расчетным путем по формуле (9.20) в зависимости от относительного отклонения размера заказа от оптимального, вычисленного по формуле Харриса — Уилсона, с шагом в 0,05 (т.е. 5%).

Таблица 9.1. Расчетные значения относительного роста логистических затрат в зависимости от отклонения размера заказа от оптимального значения по модели EOQ.

Графическая интерпретация зависимости соотношений логистических годовых затрат от вариации размера заказа представлена на рис. 9.2.

Из графика на рис. 9.2 видно, что в окрестности оптимального решения Q* (т.е. Q/Q* = 1,0) кривая соотношения затрат L/L* имеет достаточно плоскую форму. Другими словами, если действительное значение Q даже достаточно заметно отличается от оптимального Q*, то относительное увеличение затрат будет весьма незначительным. Это утверждение убедительно подкрепляется данными табл. 9.1. Например, при уменьшении размера заказа на 20% по сравнению с его оптимальным значением годовые общие затраты при такой стратегии пополнения запасов увеличатся лишь на 2,5%. Если увеличить объем поставки на те же 20% по отношению к оптимальному размеру заказа, то годовые общие затраты возрастут только на 1,7% по сравнению с издержками оптимальной стратегии.

Рис. 9.2. График зависимости изменения относительных логистических издержек при отклонении размера заказа от оптимальной величины.

Следовательно, низкая чувствительность годовых логистических затрат по реализации оптимальной стратегии пополнения запасов, определяемой с помощью модели EOQ, позволяет корректировать полученное оптимальное значение размера заказа в достаточно широких пределах исходя из практических соображений, определяемых условиями продажи (минимальный размер партии), транспортировки (грузоподъемность и грузовместимость транспортных средств), упаковки (кратность минимальной упаковке) и проч. При этом необходимо учитывать, что корректировка расчетного оптимального размера заказа в сторону его увеличения приводит к меньшему относительному приросту годовых логистических издержек. Эти свойства модели EOQ, определяющие ее гибкость и устойчивость, делают ее универсальным инструментом и в современных системах (стандартах) логистического менеджмента.

Классическая модель управления запасами (модель EOQ) предполагает соблюдение ряда условий:

• — величина спроса является постоянной или приблизительно постоянной (b ~ const). Если коэффициент использования запасов является постоянным, то уровень запасов также будет уменьшаться с постоянным коэффициентом;
• — интервал отставания поставки (цикл заказа) известен и является постоянной величиной (т = const). Это означает, что заказ можно сделать в точке с определенными значениями временного параметра и размера запаса (уровень повторного заказа), которые обеспечат получение заказа (поступление поставки) в тот момент, когда уровень запасов будет равен нулю;
• — отсутствие запасов (дефицит) является недопустимым;
• — размер заказа, период заказа и интервал поставки являются постоянными величинами (Q = const, Т = const).

Приведенные допущения в значительной степени упрощают модель логистического процесса, поскольку такие идеальные условия в реальных системах не встречаются. Поэтому модель EOQ имеет большое теоретическое значение, а ее практическое применение ограничено^[3]. Однако на ее основе построено достаточно много модификаций, которые учитывают те или иные дополнительные условия, и основные из них будут рассмотрены ниже.

• [1] Подробнее см.: Долгов А. П. Модель EOQ в историческом разрезе: проблема идентификации авторства формулы //Логистика сегодня. 2006. № 5.С. 270—282.
• [2] В специальной литературе вывод Р. Уилсоном формулы оптимальногоразмера заказа (модель EOQ) датируется в пределах от 1916 г. до 1934 г.
• [3] Подробнее о значении, достоинствах и недостатках модели EOQсм.: Долгов А. П. Феномен модели EOQ, или несостоявшийся реквием //Логистика сегодня. 2009. № 2. С. 92—107.