Отличия результатов теоретического анализа, моделирования и практики

Рассмотрим такую систему, в которой передаточная функция контура описывается рациональной дробью. Обычно порядком объекта называют порядок полинома в знаменателе модели объекта. Порядком регулятора по аналогии следовало бы называть порядок знаменателя его передаточной функции. Тогда пропорциональный регулятор следовало бы назвать регулятором нулевого порядка, а ПИ-регулятор — регулятором первого порядка. В этой терминологии не используется порядок числителя соответствующей передаточной функции, поэтому такая терминология недостаточно удобна.

Для определенности введем термин «асимптотический порядок» (АП). Определим его как разность между порядком знаменателя и порядком числителя. Этот термин связан с наклоном ЛАЧХ в области высоких частот, его величина равна кратности наклона с противоположным знаком. Если АП равен единице, то наклон равен минус единице; если АП равен минус единице, то наклон равен единице.

Например, АП интегратора, как и АП апериодического звена, равен единице. В области высоких частот наклон АЧХ этих звеньев равен минус единице (-20 дБ/дек.).

Асимптотический порядок колебательного звена (звена второго порядка) равен двум, наклон ЛАЧХ равен минус двум (-40 дБ/дек.).

Асимптотический порядок ПИД-регулятора равен минус единице. Наклон ЛАЧХ в области высоких частот положителен и равен +20 дБ/дек.

Поскольку при соединении звеньев их передаточные функции перемножаются (а ЛАЧХ складываются), АС соответствующих передаточных функций также складываются. Например, при последовательном соединении объекта второго порядка и ПИД-регулятора итоговый АС равен единице, т. е. наклон ЛАЧХ такого соединения в области высоких частот равен минус единице.

Из теории автоматического управления для линейных систем известно, что линейная система без запаздывания устойчива, если ее ЛАЧХ пересекает ось абсцисс под углом -20 дБ/дек. При достаточной протяженности этого участка (более 12 дБ в каждую сторону) в системе имеется достаточный запас устойчивости.

Из этого следует, что система, в контуре которой итоговый АС равен единице, устойчива с любым коэффициентом усиления.

Вывод 4.3. Система из объекта первого порядка с пропорциональным регулятором устойчива при любых коэффициентах усиления.

Следствие 4.1. Для управления объектом первого порядка ПИ, ПИД и ПД регуляторы избыточны.

Вывод 4.4. Система из объекта второго порядка с ПИД-регулятором устойчива при любых коэффициентах усиления.

Следствие 4.2. Для управления объектом второго порядка ПИДрегулятор достаточен, двойного дифференцирования не требуется.

Приведенные выводы и следствия справедливы только применительно к чисто теоретическому случаю.

На практике объектов первого или второго порядка не существует. Такая упрощенная модель допустима только в том случае, когда во всем диапазоне рассмотрения поведения данного объекта ошибка от такого упрощения не принципиальна и пренебрежимо мала.

Например, если коэффициент усиления в контуре ограничен по каким-либо причинам, не связанным с поиском оптимальной настройки, то ограниченной остается и область частот. Поэтому для допустимости такого упрощения достаточно, чтобы упрощенная модель совпадала с фактической моделью объекта только в этом ограниченном диапазоне частот.

Характерной ошибкой исследователей является нарушение этого правила. Например, при идентификации объекта принятие модели первого или второго порядка достаточно обосновано, поскольку в рассматриваемой полосе частот эта модель была адекватна. Далее эта модель зачастую используется безотносительно ограничений полосы частот, поэтому в результате получаются необоснованные расчеты регулятора.

Достаточно отметить, что ни при каких обстоятельствах ни один объект не обладает такими свойствами, чтобы система с этим объектом и каким-либо регулятором была устойчивой при сколь угодно большом коэффициенте усиления. В любой практической системе всегда имеется максимально допустимый коэффициент усиления, выше которого его поднимать нельзя, поскольку система теряет устойчивость. Уже из одного этого следует, что никогда в природе не встречаются объекты первого или второго порядка.

Не следует противопоставлять теорию и практику. Встречаются утверждения о том, что, дескать, в теории ситуация одна, а на практике совсем иная. Подобные заявления ошибочны. Если теория не совпадает с практикой, то применена неверная теория. Поскольку теория автоматического управления верна, то в случаях, когда теоретически рассчитанные системы ведут себя на практике не так, как в теории, очевидно, что ошибка кроется в моделях объектов.

Вывод 4.5. Модель объекта первого порядка всегда ошибочна, так как всегда недостаточна для расчета регулятора.

Вывод 4.6. Модель объекта второго порядка всегда ошибочна, так как недостаточна для точного расчета ПИД-регулятора.

Действительно, с ПИД-регулятором и объектом второго порядка система устойчива при любом коэффициенте усиления, чего на практике быть не может.

На практике не существует систем без транспортного запаздывания. Учет даже самого малого транспортного запаздывания придает любой теоретической модели свойства реальной модели: никакая модель объекта с запаздыванием не дает систему, которая устойчива при любом коэффициенте усиления. Система с объектом, содержащем запаздывание, всегда может быть доведена до возбуждения при повышении коэффициента усиления.