Идея многоканального упредителя Смита

В одноканальном варианте идея упредителя Смита состоит в следующем [49]. Пусть модель объекта состоит из двух частей: минимально-фазовой части с передаточной функцией W^Cs) и элемента запаздывания с передаточной функцией W₃(s) = exp (-xs). В этом случае параллельно объекту включается упредитель Смита, передаточная функция которого равна.

В данном параграфе исследуется возможность использования этой идеи для случая многоканального объекта. Идея применяется как основа, которая дополняется приведенной выше методикой оптимизации многоканального регулятора.

Пример 12.7. Решение задачи без упредителя Смита. Пусть минимально-фазовая часть задается матрицей с апериодическими звеньями, т. е. элементы матрицы являются фильтрами первого порядка:

Рассмотрим пример, который не вполне соответствует подходу, предложенному в идее упредителя Смита, а именно: пусть элемент запаздывания не вполне является звеном чистого запаздывания, а вместо этого чистое запаздывание имеется лишь в одном канале, а в другом канале имеется элемент с ограниченным быстродействием в виде дополнительного фильтра. В этом случае такая передаточная функция описывается матрицей следующего вида:

На рис. 12.13 показана структурная схема такого элемента при моделировании его в программе VisSim.

В соответствии с изложенными в гл. 2 принципами ПИД-регулятор размерности 2×2 имеет вид, структурная схема которого (также для программы VisSim) показана на рис. 12.14.

Рис. 12.13. Структура объекта.

Рис. 12.14. Структура регулятора (ПИД в главных диагоналях и ПИ в неглавных диагоналях).

На рис. 12.15 изображена структура для моделирования всей системы. На этой структуре присутствуют также блоки для оптимизации коэффициентов регулятора, показаны результаты оптимизации в виде полученных коэффициентов и в виде получаемых переходных процессов.

На рис. 12.16 и 12.17 представлены переходные процессы. Видно, что перерегулирование по первому каналу составляет около 30%.

Рис. 12.15. Результат численной оптимизации регулятора: значения коэффициентов и получаемые переходные процессы в системе.

Рис. 12.16. Результат численной оптимизации регулятора — выход первого канала.

Рис. 12.17. Результат численной оптимизации регулятора — выход второго канала.

В данном примере результат не столь плох, чтобы служить основанием для поиска альтернативных методов, поэтому усложним задачу.

Пример 12.8. Рассмотрим вариант объекта менее благоприятных сочетаний свойств прямого и побочного трактов. Пусть минимальнофазовая часть задается матрицей с апериодическими звеньями, т. е. элементы матрицы являются фильтрами первого порядка:

Структура такого объекта показана на рис. 12.18. На рис. 12.19 и рис. 12.20 изображены переходные процессы соответствующих передаточных функций, входящих в матричную передаточную функцию.

(12.10) (отклик на единичное ступенчатое воздействие). На рис. 12.21 представлены отклики объекта на единичный скачок первого и второго входов управления при их раздельной подаче на эти входы.

На рис. 12.22 показаны схема оптимизации и результат в случае, когда первым ступенчатым воздействием является скачок на первом канале, а затем, через 20 с, на второй канал поступает отрицательный скачок из «1» в «0». Соответствующие процессы представлены на рис. 12.23 и 12.24. Видно, что в обоих случаях на выходе первого канала имеется слишком большое перерегулирование: после первого скачка оно составляет около 50%, а после второго — около 75%.

Представленные далее переходные процессы отличаются тем, что время между скачками составляет 5 с (рис. 12.26—12.27). Перерегулирование на втором канале может составить при неблагоприятном сочетании входных воздействий 125%, что никак нельзя признать допустимым практически ни в какой практической задаче.

Рис. 12.19. Отклик передаточных функций первой строки выражения (12.10) на единичный скачок.

Рис. 12.18. Структура другого объекта: в неглавных диагоналях увеличены коэффициенты передачи и уменьшены постоянные времени (повышено быстродействие).

Рис. 12.20. Отклик передаточных функций второй строки выражения (12.10) на единичный скачок.

Рис. 12.21. Отклики объекта на единичный скачок первого и второго входов управления при их раздельной подаче на эти входы.

Рис. 12.22. Результат оптимизации ПИД-регулятора 2×2 для объекта (12.10), последовательность скачков: сначала на первый канал из «0» в «1», затем на второй канал из «1» в «0», между скачками 20 с.

Рис. 12.23. Переходные процессы в системе по рис. 12.22, первый канал управления.

Рис. 12.24. Переходные процессы в системе по рис. 12.22, второй канал управления.

Рис. 12.25. Тот же результат оптимизации ПИД-регулятора 2×2 для объекта (12.10), последовательность скачков та же, оба скачка из «0» в «1», время между скачками — 5 с.

Рис. 12.26. Переходные процессы в системе по рис. 12.25, первый канал управления.

Рис. 12.27. Переходные процессы в системе по рис. 12.25, второй канал управления.

Пример 12.9. На рис. 12.28 показан результат оптимизации в такой же схеме для случая, когда ступенчатый положительный скачок сначала подается на второй канал, а затем, через 5 с, — на первый канал (рис. 12.29, 12.30). В результирующей системе в первом канале сохраняется плохое перерегулирование.

Пример 12.10. Наконец, можно попытаться увеличить время между скачками и в этом случае; результат показан на рис. 12.31. В полученной системе по-прежнему остается излишне большое перерегулирование в первом канале (рис. 12.32, 12.33).

Рис. 12.28. Результаты оптимизации при подаче сначала единичного скачка на второй вход, а затем, через 5 с, — единичного скачка на первый вход.

Рис. 12.29. Процессы в структуре по рис. 12.28, первый канал: плохое перерегулирование в первом канале.

Рис. 12.30. Процессы в структуре по рис. 12.28, второй канал: приемлемое перерегулирование во втором канале.

Рис. 12.31. Результаты оптимизации при подаче сначала единичного скачка на второй вход, а затем, через 10 с, — единичного скачка на первый вход.

Рис. 12.32. Процессы в структуре по рис. 12.31, первый канал: плохое перерегулирование в первом канале.

Рис. 12.33. Процессы в структуре по рис. 12.31, второй канал: приемлемое перерегулирование во втором канале.

Можно сделать следующие предварительные выводы.

Вывод 12.1. Последовательность и знак выбранных тестовых воздействий при оптимизации многоканального регулятора влияют на результат.

Вывод 12.2. Время моделирования и время между последовательно подаваемыми тестовыми воздействиями при оптимизации многоканального регулятора влияют на результат.

Вывод 12.3. Многоканальный ПИД-регулятор для рассмотренного объекта при оптимизации по критерию минимума интеграла от суммы модулей ошибок, умноженных на время с момента поступления скачка, не привел к удовлетворительному результату: перерегулирование слишком велико.

Пример 12.11. Для более эффективной оптимизации регулятора введем в стоимостную функцию «детектор правильности движения», или детектор роста ошибки, рассмотренный выше. Детектор правильности движения определяет произведение ошибки на ее производную по времени. Это произведение при качественном переходном процессе должно быть отрицательным, т. е. ошибка должна убывать, если она положительна, и возрастать, если она отрицательна. Иными словами, ошибка движется к нулю, если это произведение отрицательно, и от нуля (возрастает по абсолютной величине), если это произведение положительно.

При использовании составной стоимостной функции важен выбор весового коэффициента, определяющего соотношения между ними. На рис. 12.34 показаны результаты оптимизации в случае, когда весовой коэффициент при втором члене равен пяти. В этом случае эффективно подавляется перерегулирование, однако основная цель управления состоит в обеспечении нулевой ошибки управления (рис. 12.35). В полученных переходных процессах плохая точность управления первого канала: видно, что ошибка со временем возрастает (рис. 12.36). Этот результат также проявляется в том, что один из коэффициентов интегратора отрицателен (выход блока г₂₂ равен -1,65 328). Все коэффициенты интеграторов главной диагонали (г = j) должны быть положительными. Отрицательными в идеале могут быть лишь коэффициенты побочных трактов, т. е. коэффициенты, нумерация которых не совпадает, например р₂₁, d₂₁ и т. д. В редких случаях можно согласиться с отрицательными коэффициентами дифференцирующих трактов в главной диагонали, но это совершенно исключено для интегратора (если коэффициенты передаточных функций объекта в главной диагонали положительны).

Рис. 12.34. Результаты оптимизации при вводе детектора правильности движений с весовым коэффициентом 5.

Рис. 12.35. Процессы в структуре по рис. 12.34, первый канал: малое перерегулирование в каждом канале, но плохая точность управления в первом канале.

Рис. 12.36. Процессы в структуре по рис. 12.34, второй канал: малое перерегулирование в каждом канале, но рост статической ошибки во втором канале на первом участке процесса.

Пример 12.12. На рис. 12.37 показан наилучший полученный результат с этой структурой регулятора, а именно, достигнут астатизм каждого тракта, перерегулирование умеренно большое только по одному каналу, астатизм подтверждается положительными коэффициентами интеграторов главных диагоналей и визуально по графикам не опровергается предположение астатического управления (ошибки стремятся к нулю) (рис. 12.38, 12.39).

Пример 12.13. На рис. 12.40 показан результат, полученный с упредителем Смита. Структура этого упредителя также приведена на рис. 12.32. Видно, что перерегулирование первого канала снижено до 25% (рис. 12.41), во втором канале оно несколько меньше, около 20%, статическая ошибка каждого канала достаточна мала (рис. 12.42).

Рис. 12.37. Наилучший результат, полученный со структурой регулятора без упредителя Смита.

Рис. 12.38. Процессы в структуре по рис. 12.37, первый канал: перерегулирование 40%.

Рис. 12.39. Процессы в структуре по рис. 12.37, второй канал: малое перерегулирование 10%

Рис. 12.40. Наилучший результат, полученный с упредителем Смита

Рис. 12.41. Процессы в структуре по рис. 12.40, первый канал: перерегулирование 25%.

Рис. 12.42. Процессы в структуре по рис. 12.40, второй канал: перерегулирование 20%.

Таким образом, применение упредителя Смита в сочетании с предложенной методикой оптимизации регулятора и особенностями его структуры дает значительный положительный эффект, состоящий в достижении малой ошибки при малом перерегулировании в системе для объекта с неблагоприятным сочетанием параметров его модели.