Модель дуополии Курно (бесконечное число раз повторяемая игра)

Напомним статическую модель дуополии Курно:

Как показано выше, равновесным по Нэшу исходом является точка.

Обозначим это значение а платежи каждой из фирм —.

В случае монополии оптимальное значение объема выпускаемой продукции равно а платеж равен

Поскольку выпуск продукции в модели дуополии превышает выпуск монопольно владеющего предприятия , фирмы имеют возможность договориться между собой и установить более выгодные для них количества выпускаемой продукции . При этом платежи каждой из фирм станут равны . Однако такой выпуск хотя и является более выгодным для каждой из фирм, но не является равновесием Нэша. Действительно, если первая фирма верит, что вторая будет придерживаться значения , то ее наилучшим ответом на это будет значение , получаемое из условия максимизации по .

При этом значении q оптимум равен Но если.

вторая фирма решит эту задачу за первую и поверит, что первая будет производить продукцию в количестве, то ее ответом будет новое значение <72 и т. д. до бесконечности.

Рассмотрим теперь бесконечное число раз повторяемую игру G (°°у 5) = {G, G, основанную на базовой игре G дуополии. Пусть фактор дисконтирования равен 8. Выясним, при каких значениях 8 следующие стратегии жесткого переключения составят совершенное подыгровое равновесие.

Стратегия жесткого переключения фирмы: «Производить в первый период (в первой базовой игре). В t-й период производить если обе фирмы производили во все предыдущие t -1 периодов. В противном случае в t-й период и во всех последующих производить

Если обе фирмы производят , то платеж фирм в базовой игре равен . В повторяемой игре G (°°, 8) платеж равен

В случае отклонения от одной из фирм ее максимальный платеж будет при выборе на первом шаге и на всех последующих. При этом точка будет равновесием Нэша, если выполняется условие.

В этом случае равновесие является совершенным подыгровым равновесием Нэша (как и в предыдущем пункте).

Естественно поставить вопрос о том, что будет, если. Определим, каких платежей q* в этом случае смогут достичь игроки путем переговоров (при заданном фиксированном ), если они будут придерживаться стратегии переключения, которая переключает навсегда к стратегиям равновесия Нэшапосле первого отклонения от исхода (q q*). Такая стратегия жесткого переключения имеет следующий вид: «Производить q' в первый период (в первой базовой игре). В t-й период производить q*, если обе фирмы производили q* во все предыдущие t — 1 периодов. В противном случае в t-й период и во всех последующих производить «.

Если обе фирмы производят q*, то платеж каждой фирмы в базовой игре равен пq*(a-c-2q*). В повторяемой игре G (°°, 8) платеж равен.

В случае если г-я фирма производит q , для j-й фирмы решение отклоняться в начальный период следует считать оптимальным, когда она решает задачу.

Эта задача имеет решение с соответствующим платежом.

Точка (q, q) будет равновесием Нэша, если выполняется условие.

Решив это неравенство относительно q, получим.

При таких значениях q равновесие является совершенным подыгровым равновесием Нэша.

Величина q* является монотонно убывающей функцией от 8, стремящейся к при и к при 8 —> 0.

Рассмотрим примеры игр, использующих дуополию Курно.

Пример 4.4. Две фирмы (А и В) одновременно принимают решение о выпуске одинаковой продукции (дуополия Курно). Предельные издержки фирм равны соответственно 4 и 5. Известна обратная функция спроса на продукцию этих фирм: P = 100-Q; Q = q_A + q_B — общий выпуск.

• 1) Вычислите равновесие Нэша NE = (q_A, q_B) в данной игре.
• 2) Докажите, что профиль стратегий R = (q_A = 24, q_B = 24) доминирует по Парето равновесный исход NE.
• 3) Игра повторяется бесконечное число раз при дисконт-факторе 8. Сформулируйте стратегии жесткого переключения, ориентированные на профиль R, и определите, при каких значениях 8 эти стратегии будут составлять совершенное подыгровое равновесие Нэша.

Решение

1) В базовой игре фирмы максимизируют свою прибыль:

2) При профиле R = (q_A = 24, г/д =24) получим.

Очевидно, что профиль стратегий R = (q_A = 24, q_B = 24) доминирует по Парето равновесный исход NE.

3) Стратегия жесткого переключения фирмы А: «В начальной игре произвожу q_A = 24. В дальнейшем произвожу q_A = 24 тогда и только тогда, когда во всех предыдущих партиях было сыграно (q_A =24, q_B = 24). В противном случае сейчас и всегда в дальнейшем произвожу

Стратегия жесткого переключения фирмы В: «В начальной игре произвожу q_B = 24. В дальнейшем произвожу q_B = 24 тогда и только тогда, когда во всех предыдущих партиях было сыграно (q_A =24_}q_B =24). В противном случае сейчас и всегда в дальнейшем произвожу «.

Выясним, при каких значениях дисконт-фактора 6 профиль стратегий жесткого переключения фирм будет совершенным подыгровым равновесием Нэша.

Пусть q_B =24. Выясним, каков наилучший выбор фирмы А:

При выполнении условий соглашения суммарный выигрыш фирмы А И52.

равен -. При однократном отклонении в начальный момент и дальнеи;

1−5.

шем возврате к стратегии жесткого переключения суммарный выигрыш <_опг 1045,45 ^.

равен 1296 +——. Фирме Л невыгодно отклоняться от стратегии жест;

1−5.

кого переключения при условии

(95-q_B -2A)q_B —> max—"q'_B =35,5;U_B = 35,5² = 1260,25.

При выполнении условий соглашения суммарный выигрыш фирмы В 1128 _п

равен —. При однократном отклонении в начальный момент и даль;

1 — 0.

нейшем возврате к стратегии жесткого переключения суммарный выигрыш Э81 85.

равен 1260,25 ±Фирме В невыгодно отклоняться от стратегии жест;

1−6.

кого переключения при условии.

Следовательно, при 8 е [0,57; 1) стратегии жесткого переключения будут составлять совершенное подыгровое равновесие Нэша.

Пример 4.5. Три фирмы А, В и С одновременно принимают решение о выпуске одинаковой продукции. Предельные издержки всех фирм равны 4. Известна обратная функция спроса на продукцию этих фирм Р = 100-<2; Q ⁼ Я А т Я в Я с ~ общий выпуск.

• А) Найти равновесие Нэша в этой базовой игре G.
• Б) Пусть теперь игра G играется бесконечное число раз с дисконт-фактором 5. Фирмы договорились об одновременном одинаковом сокращении продукции до общего размера выпуска, равного монопольному выпуску при максимальной прибыли монополии. Сформулировать стратегии жесткого переключения, ориентированные на этот выпуск продукции. При каком значении дисконт-фактора эти стратегии будут составлять совершенное подыгровое равновесие в бесконечно повторяемой игре?

Решение

А) Фирма А максимизирует свою прибыль:

Аналогичные уравнения получим и для игроков В и С:

При таких выпусках прибыль каждой фирмы будет равна 24 • (96 -3 • 24) = = 576.

Б) Фирма-монополист при максимизации своей прибыли решает задачу.

Отсюда получим q_M = 48. Тогда три фирмы договариваются о выпуске ⁴⁸

продукции в количестве — = 16.

При таких значениях выпуска прибыль каждой фирмы будет равна 768 (третьей части максимальной монопольной прибыли).

Стратегия жесткого переключения игрока А: «В начальной игре я произвожу 16 ед. продукции. В каждой последующей партии я буду производить 16 ед. продукции тогда и только тогда, когда во всех предыдущих партиях каждая из трех фирм производила 16 ед. продукции. В противном случае я произведу 24 ед. продукции». Аналогично формулируются стратегии жесткого переключения остальных игроков. ygg.

При соблюдении соглашения суммарный выигрыш игрока, А равен —.

1−8.

Предположим, что фирма А рассматривает вариант отклонения от стратегии жесткого переключения. Тогда, как уже было рассмотрено, это выгоднее всего осуществить на первом шаге. Фирма решает для себя задачу максимизации прибыли:

Фирме невыгодно отклоняться в одиночку от стратегии жесткого переключения, если В силу симметрии такие же результаты будут и для остальных фирм.

Ответ: при сформулированные выше стратегии жесткого переключения составляют равновесие Нэша, совершенное в подыграх.