Сигнализирующие игры. 
Теория игр

Сигнализирующая игра — это последовательная (двухходовая) игра с неполной и несовершенной информацией двух игроков: отправителя (S — Sender) и получателя {R — Receiver). Такие игры характерны в ситуациях продажи товара, когда продавец информирован о качестве товара (его типе), а покупатель — нет. Но продавец может сообщать сигналы покупателю, и в результате представления покупателя о потребительских свойствах товара могут меняться.

Сценарий игры выглядит следующим образом (рис. 6.4).

1. Природа раскрывает отправителю тип t_x из множества Т = {t,…, ?/}, рас;

пределенный по закону p{t_x), где p{t_x)>0 для всех t_x и? р (?,) = 1.

• 7=1
• 2. Отправитель анализирует t_x и затем выбирает сообщение т_х из множества допустимых сообщений М = {т_Л,…, тj).
• 3. Получатель анализирует т_; (но не tj) и затем выбирает действие а^ из множества допустимых действий А = {щ,…, а_к}.
• 4. Платежи определяются функциями U_s{tj, mj, a_k), U_R(t_ifmj, a_k).

Отправитель, таким образом, информирован о типе t_x, а получатель не информирован. Ключевая идея сигнализирующих игр состоит в том, что возникает возможность взаимодействия игроков в том случае, когда один из игроков (отправитель) может и хочет дать сигнал о своем типе (потребительских свойствах товара). В соответствии с сигналами может изменяться представление второго игрока о свойствах товара (вера) и, следовательно, изменяться его решение о покупке товара (действие).

Во многих приложениях множества Г, М и А — интервалы на числовой прямой, а не конечные множества, описанные выше. Естественно допустить, что сообщения отправителя зависят от типов и действия получателя зависят от получаемых сообщений.

Рис. 6.4.

Сигнализирующие модели очень широко распространены в экономике, например:

• 1) отправитель — рабочий; получатель — потенциальный работодатель; тип — производственные возможности рабочего; сообщение — образовательный уровень рабочего; действие — зарплата рабочего;
• 2) отправитель — фирма, нуждающаяся в привлечении капитала к реализации нового проекта; получатель — потенциальный инвестор; тип — активы фирмы; сообщение — предложение фирмы о ставке возврата за финансирование; действие — решение инвестора о финансировании.

В некоторых приложениях возможны отклонения от указанной последовательности. Например, возможно действие получателя до сообщения отправителя на шаге 2 либо возможно действие отправителя после (или во время) выбора действия получателем.

На рис. 6.5 изображена простейшая сигнализирующая игра в развернутой форме (без платежей) в простейшем случае:

Величина р, на рисунке определяет веру получателя в то, что он принимает решение в состоянии, соответствующем верхней точке левого информационного множества. Аналогично определяется и вера v на правом информационном множестве.

Игра начинается с хода Природы (в центре дерева) и продолжается в обе стороны (налево и направо).

В сигнализирующей игре чистой стратегией для отправителя является функция показывающая, какое сообщение следует выбрать для каждого предложенного Природой типа. Чистой стратегией для получателя является функция a (mj), показывающая, какое действие следует выбрать для каждого предложенного сообщения из множества возможных сообщений. В указанном примере имеются четыре чистые стратегии для отправителя и столько же для получателя.

Рис. 6.5.

Для отправителя стратегию представим как пару (тт"), где т' — действие отправителя при типе t и т"  — действие отправителя при типе ?₂• Тогда получим.

Аналогично записываются возможные стратегии получателя (а'] а"), где а' — действие получателя, получившего сигнал / или L (в левом информационном множестве); а"  — действие получателя, получившего сигнал г или R (в правом информационном множестве). Стратегии получателя:

Поскольку отправитель знает всю предысторию игры к моменту своего хода (выбора сообщения), его выбор отмечен одноточечными информационными множествами. Получатель, напротив, выбирает свое действие после переданного ему сообщения, не зная типа, определенного Природой. Поэтому действия получателя осуществляются в многоточечных информационных множествах.

Пример 6.1. Найти все слабые секвенциальные равновесия в чистых стратегиях в примере с двумя типами (рис. 6.6).

Рис. 6.6.

Решение

Заметим, что каждый из типов выбирается Природой равновероятно. Пусть (р, 1-р) и (v, 1-v) обозначают веры получателя в его двух информационных множествах.

В данной игре

Рассмотрим четыре стратегии отправителя в этой игре и четыре стратегии получателя.

В данной игре при каждом из ходов Природы (их всего два) возможны 16 профилей стратегий:

Рассмотрим их последовательно.

1. Предположим, что существует слабое секвенциальное равновесие, при котором стратегией получателя будет (и> U). Какова наилучшая стратегия отправителя на такую стратегию получателя? При типе t_x ему лучше выбрать ход г, при этом его выигрыш будет равен 2 (против 1 при выборе хода /). При типе t₂ ему лучше выбрать ход I, при этом его выигрыш будет равен 2 (против 1 при выборе хода R). Таким образом, наилучшей стратегией отправителя на стратегию получателя (и; U) является (г; L): (w;t/)=>(r;L).

Проследим, какова будет теперь реакция получателя при выборе отправителем стратегии (г; L). Поскольку сигнал L может быть получен только при типе t_2i то 1-р = 1р = 0. Аналогично v = 1. Иными словами, со стратегией (г; L) согласованы только веры р = 0, v = 1.

Получив сообщение г, в соответствии с верой v = l получатель уверен в своем расположении в верхней точке правого информационного множества. При этом наилучшим ходом для него является U (1 > 0).

Получив сообщение L, в соответствии с верой р = 0 получатель уверен в своем расположении в нижней точке левого информационного множества. При этом наилучшим ходом для него является и (4 > 1).

Следовательно, наилучшим ответом получателя на стратегию отправителя (г, L) является стратегия (и; U). Веры, согласованные с этими стратегиями, равны соответственно р = 0, v = 1.

Совокупность стратегий и вер {(г; I); (г/; U) р = 0; v = 1} является слабым секвенциальным равновесием.

2. Предположим, что существует слабое секвенциальное равновесие, при котором стратегией получателя будет (ir, D). Какова наилучшая стратегия отправителя на такую стратегию получателя? При типе t_x ему лучше выбрать /, при этом его выигрыш будет равен 1 (против 0 при выборе г). При типе t₂ ему лучше выбрать L, при этом его выигрыш будет равен 2 (против 1 при выборе R). Таким образом, наилучшим ответом отправителя на стратегию получателя (u, D) является стратегия (/; L): (и; D) => (/; L).

Проследим, какова будет теперь реакция получателя при выборе отправителем стратегии (/; L). Поскольку левое информационное множество достигается с положительной вероятностью при обоих значениях и t₂, вера р рассчитывается, но формуле Байеса и равна 0,5. Тогда в левом информационном множестве для него лучше выбирать тот ход, при котором математическое ожидание выигрыша будет больше. При его выборе и он получит средний выигрыш р-3 + (1-р)-4 = 4-р = 3,5, а при выборе им d он получит средний выигрыш р () + (1-р)-1 = 1-р = 0,5. Следовательно, оптимальным ответом на сигнал I или L будет и. Правое информационное множество находится вне траектории равновесия, поскольку стратегия (/; L) не приводит игру в правое информационное множество ни при каком типе. Тем не менее слабое секвенциальное равновесие требует определения значений веры v, при которых ход D будет предпочтительнее хода U.

Поскольку средний выигрыш при ходе U составляет v-l + (l-v)-0 = v, а при ходе D v-0 + (l-v)-2 = 2−2v, то ход D предпочтительнее хода U при условии

Следовательно, является слабым секвенциальным равновесием.

3. Предположим, что существует слабое секвенциальное равновесие, при котором стратегией получателя будет (d, U). Какова наилучшая стратегия отправителя на такую стратегию получателя? При типе^ ему лучше выбрать ход /, при этом его выигрыш будет равен 4 (против 2 при выборе хода г). При типе t₂ ему лучше выбрать ход R, при этом его выигрыш будет равен 1 (против 0 при выборе хода L). Таким образом, при стратегии получателя {d U) наилучшим ответом отправителя является стратегия (/; R): Оd;U)=>(lR).

Проследим, какова будет теперь реакция получателя при выборе отправителем стратегии (/; R). Веры, согласованные со стратегией (/; R), равны р = 1, v = 0. Получив сообщение /, получатель, веря в свое положение в верхней точке левого информационного множества (р = 1), выберет ход и(3 > 0), что противоречит исходному предположению о наилучшей стратегии получателя (d; U). Следовательно, не существует слабого секвенциального равновесия, при котором стратегией получателя будет (d; U).

4. Предположим, что существует слабое секвенциальное равновесие, при котором стратегией получателя будет (d;D). Какова наилучшая стратегия отправителя на такую стратегию получателя? При типе ?, ему лучше выбрать ход /, при этом его выигрыш будет равен 4 (против 0 при выборе хода г). При типе t₂ ему лучше выбрать R, при этом его выигрыш будет равен 1 (против 0 при выборе L). Таким образом, при стратегии получателя (d; D) наилучшей стратегией отправителя является (/; R): (d D) => (/; R).

Поскольку сигнал I может быть получен только при типе ?/, то ц = 1. Аналогично 1 — v = 1 о v = 0. Эти веры получателя согласованы со стратегией отправителя (/; R). Проследим, какова будет теперь реакция получателя при выборе отправителем стратегии (/; R).

Получив сообщение /, получатель, веря в свое положение в верхней точке левого информационного множества (р = 1), выберет ход и (3 > 0), что противоречит исходному предположению о наилучшей стратегии получателя (d;D). Следовательно, не существует совершенного байесовского равновесия, при котором стратегией получателя будет (d; D).

Заметим, что если бы мы нормализовали игру, рассмотренную в примере 6.1, то получили бы матрицу.

В ней два равновесия — {(rL;uU);(lL;uD)}. Но для нахождения слабых секвенциальных равновесий этого недостаточно — требуются веры, согласованные с этими равновесиями. Читателю предлагается самостоятельно подобрать веры, согласованные с равновесными стратегиями.