Пространства со скалярным произведением

Последним шагом в совершенствовании структуры пространства сигналов является введение дополнительной геометрической характеристики — скалярного произведения двух векторов. Мы рассмотрим здесь комплексные линейные пространства; действительные пространства являются их частными случаями.

Скалярное произведение — это отображение упорядоченных пар векторов линейного пространства в комплексную плоскость С.

Это отображение обозначается (х, у) и удовлетворяет следующим условиям:

• а) (х, у) = (у, х)* (звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину);
• б) (ах + by, z) = а (х, z) + b (y, z);
• в) (x, x) > 0 и (x, x) = 0, только если x = 0.

Отсюда ясно, что (ах, у) = а (х, у), (х, ау) = а*(х, у) и (х, х) — действительное число. Скалярное произведение называют иногда также внутренним произведением. Важным следствием из указанного определения скалярного произведения является то, что величина ||х|| = = (х, х)!/2 есть норма в линейном пространстве. Действительно, легко видеть, что условия а) — в) нормы удовлетворяются.

Соотношение между нормами векторов и расстоянием между их концами (закон треугольника) известно как неравенство Коши — Буняковского, или как неравенство Шварца:

Используя равенство ||х||² = (х, х), легко доказать неравенство треугольника:

Следовательно, скалярное произведение порождает норму, которая в свою очередь порождает метрику. Пространство со скалярным произведением, если оно является также полным (как метрическое), называется гильбертовым пространством.

Поскольку неравенство Коши — Буняковского можно переписать в виде.

мы можем определить угол 0 между векторами х и у из соотношения.

Далее в теоретических исследованиях мы будем пользоваться только понятием ортогональности векторов. Два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда (х, у) = 0.

Сечение функции неопределенности вдоль оси времени

Важный пример применения скалярного произведения связан со свойствами сигналов ограниченной энергии. Если сигнал быстро изменяется во времени, можно ожидать, что сравнительно малые временные сдвиги должны приводить к значительным смещениям изображающей точки в пространстве сигналов L. Для медленно меняющихся сигналов смещение функции на малый промежуток времени т не приведет к сильному искажению. Интервал между двумя точками в пространстве сигналов, сдвинутых на т: x (t) и x_T(t) = x (t — т) будет:

Энергия сигнала не зависит от сдвига во времени ||х||² = ||х_т||², следовательно,.

где

Каждому сигналу x (t) соответствует действительная функция от временного сдвига, которая характеризует смещение изображающей точки в пространстве сигналов, обусловленное таким сдвигом. По аналогии с подобной характеристикой случайных процессов функцию R_x(т) часто называют также функцией автокорреляции сигнала x (t). Для быстро изменяющихся сигналов следует ожидать, что R_x(т) резко уменьшается с увеличением т. В случае короткого импульса x (t) его R_x(т) будет узкой. Сигналу большой длительности также может соответствовать узкая R_x(т). Во многих случаях, например в радиолокации, желательно использовать сигналы с узкой R_x(т), поскольку это позволяет измерить время прихода сигнала с высокой точностью. Соответственно, будем называть R_x(т) сечением функции неопределенности вдоль оси времени. Малой неопределенности соответствует большая протяженность.

Функция автокорреляции определена для случайных процессов, и известны некоторые соотношения между функциями автокорреляции и сечениями функции неопределенности вдоль оси времени. Для вещественных сигналов легко найти преобразование Фурье от R_x(r):

Функция G_x(f) называется энергетическим спектром сигнала x (t), так как R_x(т) содержит произведение x (t) и x (t + т), что соответствует мощности, выделяемой на сопротивлении, если x{t) — изменение напряжения или тока. Сигналы, отличающиеся от x (t) произвольным фазовым сдвигом 2nfz, будут иметь одну и ту же функцию автокорреляции и одинаковый энергетический спектр.

Представление элементов векторного пространства со скалярным произведением

Наиболее важное свойство пространства сигналов, в котором определено скалярное произведение, состоит в том, что имеется прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что М — произвольное п-мерное пространство, натянутое на базис {ц; i = 1, 2, …, п}, тогда для хе М имеем:

Умножим скалярно левую и правую части на и_;:

Мы получили систему линейных скалярных уравнений, и их решение относительно вектор-строки а = (а_1з а₂, …, а_п) дает представление х в пространстве С'^! относительно базиса {иД. Для удобства введем новые базисные векторы {уД, попарно ортогональные к {иД, так что.

где 5у — символ Кронекера, причем 8у = 1 для i = j и 8у = 0 для i Ф j. Теперь из (4.21) получаем.

Базис, удовлетворяющий (4.21), называется взаимным базисом. В нем выполняется соотношение.

для любого хе М.

Другой удобный способ состоит в использовании в качестве базиса в М ортонормальной системы векторов. Система {и^ i = 1, 2, …, п} называется ортонормалъной, если векторы взаимно ортогональны и норма их равна единице:

Тогда для любого х е М имеем.

Используя ортонормальный базис, мы не только получаем взаимно однозначное соответствие между векторами в М пространстве и их представлением в С^п в виде набора коэффициентов а = (а_1? а₂, …, а_п), но и равенство скалярных произведений в обоих пространствах.

п п

Если х = X a;iij иу = ^ ?>,-11;, то.

?=1 i=l.

Представляют интерес способы построения ортонормальных базисов. Одним из них, наиболее предпочтительным с точки зрения вычислений, является способ ортогонализации Грома — Шмидта, удобный в силу своего итерационного характера. Если задана система п линейно независимых векторов в М {v_;, i = 1, 2, …, л}, то система ортонормальных векторов {и_;} получается путем нормализации векторов {w_;}, определяемых следующей схемой: