Эллипсоид деформаций и эллипсоид напряжений

Экспериментально показано, что при деформации кубика из изотропного упругого материала, зажатого между плунжерами пресса, в нем образуются четыре системы трещин, выкалывающих две сходящиеся вершинами пирамиды. Это трещины скалывания. Они образуются в сечениях, где скалывающие (касательные) напряжения достигают максимума. Ранее было показано, что такие сечения расположены под углами 45° к осям а, су₂ и а₃, поэтому теоретически каждая из образующихся систем трещин скалывания должна располагаться под углом 45° к направлению сжимающих усилий. Практически же этот угол в хрупких породах оказывается меньше 45°, а в более пластичных — несколько больше 45°. После образования трещин по их поверхностям происходит перемещение выкалывающихся блоков. Такие движения блоков являются непременным атрибутом трещин скалывания.

Иначе будет протекать деформация кубика, если между ним и плунжерами пресса поместить свинцовые прокладки. Трение образца о плунжеры теперь снижается и он может проскальзывать, раздаваясь в стороны. В таком случае в кубике возникают трещины, параллельные оси сжатия. Это трещины отрыва, приоткрывающиеся в направлении, перпендикулярном сжатию.

В природе могут совместно наблюдаться одна или две системы трещин скалывания и в различной степени выраженная система трещин отрыва.

Предположим, что сжатию подвергается кубик, вырезанный из однородного упругого материала. До момента преодоления.

Рис. 3.12. Деформация «чистый сдвиг» (по Л.И. Лукину).

А — деформация кубика упругого материала под воздействием сжатия (показано стрелками); Б — эллипсоид деформаций (сплошная линия) и гомологичный (подобный) ему эллипсоид напряжений. Стрелками показаны направления перемещений по сколовым трещинам предела упругости он превратится в прямоугольный параллелепипед. Если в первоначальный кубик вписан шар, он приобретет форму трехосного эллипсоида (рис. 3.12). Такая деформация получила название чистого сдвига. Получающийся эллипсоид деформаций (а при плоской деформации эллипс) для большей наглядности изображают уплощенным, но в действительности для хрупких тел (таких, как горные породы) деформация, имеющая место до хрупкого разрушения, ничтожна, и получающийся эллипс (эллипсоид) очень мало отличается от круга (шара).

В эллипсоиде деформаций, А — большая ось (или ось наибольшего растяжения), В — средняя ось (или ось среднего сжатия), С — малая ось (или ось максимального сжатия). При этом, А > В > С и в общем случае, А > г, В > г, С < г, где г — радиус исходного шара. Таким образом, произойдет сжатие шара в одном направлении и растяжение в двух направлениях.

В естественных условиях растяжения по оси В практически не происходит, а значит, для удобства им можно пренебречь, считая деформацию двухосной, т. е. плоской (В = г). При этом допущении двухосную деформацию можно легко изобразить в плоскости чертежа. Ей будет отвечать эллипс с осями, А и С, тогда как ось В выразится точкой, поскольку ориентирована нормально плоскости чертежа.

На рис. 3.12, Б показано, какое положение занимают в эллипсоиде деформаций три упомянутые выше системы трещин. Две системы трещин скалывания пересекаются в нем по оси В и по своему положению очень близки к положению круговых сечений эллипсоида, а трещины отрыва (показаны волнистой линией) параллельны плоскости осей С и В эллипсоида деформаций. Стрелками на рис. 3.12; Б показаны и направления перемещения блоков по трещинам скалывания.

Выше отмечалось, что при рассмотрении деформаций в природных условиях растяжением по оси В можно пренебречь, считая деформацию плоской. Однако могут иметь место и трехосные (объемные) деформации, когда образуется еще одна пара трещин скалывания, пересекающихся по оси, А эллипсоида деформации.

Следует заметить, что представление об эллипсоиде деформаций математически не обосновано, поскольку не вполне адекватно отражает соотношение усилий, вызвавших деформацию. Кроме того, оно объединяет в одной модели упругие деформации и хрупкое разрушение, что недопустимо. В связи с этим относиться к эллипсоиду деформаций следует просто как к графическому выражению наших представлений об относительном положении в пространстве направлений сжатия и растяжения, существовавших на некотором участке земной коры в момент образования той или иной структуры. Он показывает, что ее формирование было обусловлено растяжением коры в одном или двух взаимно перпендикулярных направлениях, тогда как в третьем направлении, нормальном к плоскости первых двух, происходило некоторое сжатие. Таким образом, не являясь вполне строгим, представление об эллипсоиде деформаций оказывается весьма полезным и используется при анализе складчатых, разрывных, трещинных и других структур.

Вместе с тем при структурном анализе вместо эллипсоида деформаций зачастую используется эллипсоид напряжений (рис. 3.12, Б). Поскольку упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям, эллипсоиды деформаций и напряжений гомологичны (подобны). Его длинная ось, обозначаемая <�з₃, соответствует наибольшему сжимающему напряжению (или наименьшему растягивающему напряжению) и по своему положению близка к короткой оси (ось С) эллипсоида деформаций. Короткая ось эллипсоида напряжений обозначается о, соответствует наименьшему сжимающему напряжению (или наибольшему растягивающему напряжению) и по своему положению примерно совпадает с длинной осью (А) эллипсоида деформаций. Наконец, средняя ось эллипсоида напряжения (ось а₂) совпадает с осью В эллипсоида деформаций.

В природе наряду с чистым сдвигом встречаются и деформации, получившие название сдвиг и выражающиеся в перемещении блоков по некоторой разделяющей их плоскости (например по трещине).

Деформация сдвига рассматривается как плоская и связана с проявлением пары сил. Под их воздействием круг, мысленно вписанный в деформируемый квадрат, превратился бы в эллипс,.

Рис. 3.13. Деформация «сдвиг* квадрата, выделенного в изотропной среде.

(по Л.И. Лукину).

А — положения осей главных нормальных напряжений, Б — положение сопряженных трещин скалывания (Ск) и отрыва (0).

тогда как сам квадрат перешел бы в ромб. При этом длинная ось эллипса деформаций совпала бы с длинной диагональю ромба (рис. 3.13, А). При такой деформации образуются трещины отрыва (волнистые линии), параллельные короткой диагонали ромба (рис. 3.13, Б), а также две системы трещин скалывания, из которых одна расположена под острым, а другая — почти под прямым углом к плоскости скольжения.