Аппроксимация степенным полиномом

Это вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах входных сигналов в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т. е. функция, аналитически описывающая кривую, и ее производные непрерывны и не имеют скачков. Очень часто при аппроксимации кривых в качестве степенного полинома используют ряд Тейлора.

где а₀, a_v а₂,…, а_п — постоянные коэффициенты; U_Q — отсчет напряжения и, относительно которого ведется разложение, называемый рабочей точкой. Отметим, что здесь аргумент t в функциях тока и напряжения для упрощения опущен.

Коэффициенты ряда (полинома) Тейлора определяют по формуле

Оптимальное число членов ряда берется в зависимости от требуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем аппроксимация точнее. Аппроксимацию обычно удается достаточно точно осуществить полиномом не выше второй или третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда (5.1) необходимо задать диапазон (U_v U₂) нескольких возможных значений напряжения u (t) и положение рабочей точки U₀ в этом диапазоне. Если требуется определить п коэффициентов ряда, то на заданной ВАХ выбирают п + 1 точку со своими координатами (/_я, U_n).

Для упрощения расчетов одну точку аппроксимации совмещают с рабочей точкой U₀ с координатами (г = /₀, и = f/₀); еще две точки выбирают на границах диапазона и = U_{ и и = U₂. Остальные точки располагают произвольно, но с учетом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в разложение (5.1), составляют систему из п + 1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов а_п ряда Тейлора.

Пример 5.1.

На рис. 5.2 штриховой линией представлена входная характеристика /_б = =f (U₆3) биполярного транзистора КТ601А. Аппроксимируем данную характеристику в диапазоне напряжений 0,5—0,8 В рядом Тейлора второй степени i₆ = = а₀ + С1_л(и_6э — U₀) + С1₂(и_6э — U₀)² относительно рабочей точки с U₀ = 0,6 В.

Рис. 5.2. Аппроксимация ВАХ рядом Тейлора.

Решение

Для упрощения расчетов в качестве точек аппроксимации характеристики зададим значения напряжений на границах диапазона напряжений и в рабочей точке, т.с. 0,4; 0,6 и 0,8 В. Поскольку выбранным точкам соответствуют токи 0,1; 0,5 и 1,5 мА, то для заданного полинома получим систему уравнений.

Решение полученной системы дает такие значения коэффициентов полинома: а₀ = 0,5 мА; а_л = 3,5 мА/В; а₂ = 7,5 мА/В". Подставив их в ряд (5.1), находим аппроксимирующую функцию (ее график показан на рис. 5.2 сплошной линией):

Аппроксимация функций рядом Тейлора имеет недостатки. Ее чаще применяют для непрерывных и гладких функций в локальных интервалах задания. Для разрывных и периодически повторяющихся функций исиользовать его практически невозможно, равно как и для непрерывных недифференцируемых функций. Операция дифференцирования может быть нс очень простой и точной, а получаемые ряды могут сходиться очень медленно.