Основные свойства и критерии физической реализуемости операторных входных характеристик линейных пассивных цепей

Понятие о положительных вещественных функциях.

Ранее (см. и. 6.4) было установлено, что любые операторные характеристики линейных электрических цепей, не содержащих независимых источников энергии, в том числе операторные входные характеристики линейных пассивных цепей, могут быть представлены в виде отношения двух полиномов с вещественными коэффициентами. Возникает вопрос, всякая ли рациональная функция Н (р) с вещественными коэффициентами физически реализуема в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи или, другими словами, всякой ли функции #(/;), представляющей собой отношение двух полиномов с вещественными коэффициентами.

можно поставить в соответствие линейный пассивный двухполюсник, составленный из элементов с положительными вещественными параметрами, операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость которого равны Н (р). Строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что необходимое и достаточное условие физической реализуемости рациональной функции Н (р) в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи заключается в том, чтобы Н (р) являлась положительной вещественной функцией комплексной частоты р.

Положительной вещественной функцией комплексного переменного р называется функция Н (р)> действительная часть которой неотрицательна при неотрицательных значениях действительной части р

а мнимая часть равна нулю при мнимой частир, равной нулю:

Непосредственно по выражениям (9.1), (9.2) трудно определить, является ли заданная рациональная функция Н (р) положительной вещественной функцией комплексной частоты р_у поэтому обычно проверяют выполнение следующих условий, которые полностью вытекают из этих выражений:

• 1) все коэффициенты я, и 6, полиномов N (p) и М (р) должны быть вещественны и неотрицательны;
• 2) наибольшие и соответственно наименьшие степени полиномов N (p) и М (р) не могут отличаться более чем на единицу (любой пассивный двухполюсник при р —* 0 и при

р оо ведет еебя либо как емкость Z_c(p) = kp~, либо как индуктивность Z/(p) = kp, либо как сопротивление Лр°);

• 3) нули ро/^и полюсы р_Л/ функции //(/;) не могут располагаться в правой полуплоскости: Re (p₀,) < 0, Re (p_v/) < О (в противном случае в цепи не выполняются условия затухания свободных процессов);
• 4) нули и полюсы функции Н (р)_у расположенные на

мнимой оси, должны быть только простыми (некратными), причем производные функции //(/;) в нулях и вычеты в полюсах должны быть вещественны и положительны. Если среди нулей или полюсов функции Н (р), имелся хотя бы один корень рь = у’со^ с кратностью v, то этому корню соответствовала бы нарастающая во времени свободная составляющая решения = (^ + _ + ^_v^^v-1)cosco^.

5) вещественная часть функции Я (р), должна быть неотрицательна на мнимой оси: Re|#(p)| > 0 при Re (p) = 0 (при гармоническом воздействии (р = jeo) вещественная часть комплексных входного сопротивления или входной проводимости линейной пассивной цепи не может быть отрицательной).

Перечисленные условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы заданная рациональная функция комплексного переменного Н (р) являлась положительной вещественной функцией р_} и поэтому могут рассматриваться как критерии физической реализуемости этой функции в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи. Следует отметить, что не все приведенные условия являются независимыми, в частности условия 1 и 2 вытекают из условий 3 и 4. Такая избыточность является вполне оправданной, так как позволяет в ряде случаев определять физически нереализуемую функцию непосредственно по ее виду, без трудоемких операций, связанных с нахождением корней полиномов N (p) и М (р).

Пример 9.1. Определим, являются ли функции.

положительными вещественными функциями комплексного переменного.

Непосредственно по виду функции устанавливаем, что функция Н (р) не удовлетворяет условию 1 (коэффициент а$ < 0), а функции //2(7?) и #з (р) — условию 2 (разности наивысших степеней числителя и знаменателя функции Н₂(р) и наименьших степеней числителя и знаменателя функции Я₃(р) превышают единицу). Следовательно, заданные функции не являются положительными вещественными функциями р.

Пример 9.2. Определим, является ли функция.

физически реализуемой в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи.

Непосредственно по виду функции Я₄(р) устанавливаем, что все коэффициенты полиномов N (p) = р² + АиМ (р) = /г + 9/; вещественны и положительны, а наибольшие и наименьшие степени этих полиномов отличаются на единицу. Все нули p_0i = j2, Р02 ⁼ ~j2 и полюсы р_х = 0, р_х2 =j3,Pxs = -УЗ функции расположены на мнимой оси и являются простыми. Производные функции в нулях.

и вычеты функции в полюсах.

вещественны и положительны. Вещественная часть Я₄(р) на мнимой оси.

Таким образом, функция Я₄(р) физически реализуема в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи.

Анализируя критерии физической реализуемости и рассматривая приведенные примеры, приходим к выводу, что если некоторая рациональная функция Н (р) относится к положительным вещественным функциям и, следовательно, является физически реализуемой в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи, то обратная ей функция Н~¹(р) также физически реализуема, причем нули функции Н (р) соответствуют полюсам функции Я р), и наоборот.

Условия физической реализуемости и основные особенности операторных входных характеристик реактивных цепей. Цепи, составленные только из реактивных элементов (емкостей и индуктивностей), представляющие собой частный случай линейных пассивных электрических цепей, называются реактивными цепями, LC-цепями или цепями без потерь.

Необходимое и достаточное условие того, чтобы заданная рациональная функция Н (р) могла быть реализована в качестве входной функции реактивной цепи, заключается в том, чтобы Н (р) представляла собой положительную вещественную функцию р и, кроме того, либо полином N (p) должен быть четным, а полином М (р) — нечетным, либо наоборот.

Функция, обладающая такими свойствами, называется реактансной или реактивной.

Пример 9.3. Определим, является ли функция.

физически реализуемой в качестве операторного входного сопротивления или операторной входной проводимости реактивного двухполюсника.

В примере 9.2 было показано, что такая функция является положительной вещественной функцией комплексного переменного р. В связи с тем, что полином N (p) = р² + 4 четный, а полипом М (р) = /г + 9р — нечетный, функция Щ (р) относится к реактансным и может быть реализована в качестве операторной входной характеристики реактивного двухполюсника.

Реактансная функция, обладая всеми свойствами положительных вещественных функций, имеет ряд дополнительных особенностей:

• 1) нули и полюсы ее расположены на мнимой оси;
• 2) нули и полюсы чередуются, причем как в начале координат (р = 0), так и на бесконечности (р = ±j°°) обязательно находится либо нуль, либо полюс;
• 3) значения реактивной функции на мнимой оси являются чисто мнимыми и увеличиваются с ростом со (в точках непрерывности).

Рассмотрим операторные входные характеристики некоторых реактивных двухполюсников.

Одноэлементные реактивные двухполюсники. Операторное входное сопротивление индуктивности Z_L(p) = pL име;

Рис. 9.1. Зависимости от частоты мнимых составляющих комплексного входного сопротивления (а) и комплексной входной проводимости (б) индуктивности ет нуль в начале координат. При р—> оо функция Z_L(p) принимает бесконечно большое значение (функция Zj (p) имеет полюс на бесконечности). Нули и полюсы Z_L(p) лежат на мнимой оси (полюс или нуль, находящийся на бесконечности, считается расположенным на мнимой оси). Нули и полюсы чередуются, причем при р =усо значение функции Z_L(j?) является чисто мнимым: Z_L(j (o) = j ($L = jx_L(cd)_y и растет с ростом со: dx (co)/dco = L > 0 (рис. 9.1, а).

Операторная входная проводимость индуктивности Y_L(p) = 1 /(pL) имеет полюс при р = 0 и нуль при р = оо, т. е. нули функции Yj (p) соответствуют полюсам функции Z_L(p)_y и наоборот. Значения функции Y_L(p) на мнимой оси являются мнимыми: F/0'co) = i/(jpL) =jb_{(со) и увеличиваются с ростом со: db_L(co)/dco = 1(оrL) > 0 (рис. 9.1, б).

Поскольку емкость и индуктивность являются дуальными элементами, операторные входные характеристики емкости обладают такими же особенностями, как и операторные входные характеристики индуктивности.

Двухэлементные реактивные двухполюсники. Операторное входное сопротивление последовательной LC-цепи.

имеет полюсы в начале координат= 0 и на бесконечности Рх2 = ⁰⁰ и нули, расположенные на мнимой оси: p_0i =7оз₀, Л)2 ^{= _}Л°о, где со₀ = 1/VZc (рис. 9.2, а) (полюсы и нули, находящиеся на бесконечности, на полюсно-нулевых диаграммах обычно не изображают). Нулям операторного входного сопротивления последовательной LC-цепи соответствуют полюсы операторной входной проводимости этой цепи (рис. 9.2, б)

Рис. 9.2. Полюсно-нулевые диаграммы операторного входного сопротивления (а) и операторной входной проводимости (б) последовательной LC-цепи.

Рис. 93. Зависимости от частоты мнимых составляющих комплексного входного сопротивления (а) и комплексной входной проводимости (б) последовательной LC-цепи, а полюсам операторного входного сопротивления Z (p) — нули Y (p). На мнимой оси значения функций Z (p) и Y (p) являются чисто мнимыми.

и увеличиваются с ростом со (см. рис. 9.3, а, б).

Параллельная LC-цепь является дуальной, но отношению к последовательной LC-цепи, поэтому операторное входное сопротивление Z (p) = р/[С (р² + coj;)] и операторная входная проводимость Y (p) = С (р² + щ)/р параллельной LC-цепи обладают такими свойствами, как и соответствующие им характеристики последовательной LC-цепи.

Многоэлементные реактивные двухполюсники. Анализируя операторные входные характеристики произвольных реактивных двухполюсников, нетрудно убедиться в том, что общее число нулей и полюсов соответствующих функций на положительной мнимой полуоси, включая и внешние (в начале координат и на бесконечности), равно N + 1, где, А — число независимо включенных реактивных элементов. В зависимости от расположения нулей и полюсов на положительной мнимой полуоси различают операторные характеристики реактивных двухполюсников:

• 1) типа 0 — 0 (нули при со = 0 и со = °°);
• 2) типа 0 — х (нуль при со = 0 и полюс при со = °о);
• 3) типа х — 0 (полюс при со = 0 и нуль при со = °°);
• 4) типа х — х (полюсы при со = 0 и со = °°).

Для того чтобы определить, к какому типу относятся операторные характеристики заданного произвольного реактивного двухполюсника, достаточно установить, имеются ли между его внешними выводами пути, проходящие только через индуктивности и только через емкости. Если между выводами двухполюсника можно найти путь, проходящий только через индуктивности (очевидно, что сопротивление такого двухполюсника постоянному току равно нулю), то операторное входное сопротивление имеет нуль при со = 0. Если между выводами двухполюсника отсутствует путь, проходящий только через индуктивности (сопротивление двухполюсника постоянному току бесконечно велико), то операторное входное сопротивление имеет полюс в начале координат (т.е. при со = 0). Соответственно если между выводами двухполюсника существует путь, проходящий только через емкости, то его операторное входное сопротивление имеет нуль на бесконечности (т.е. при со = сю), в противном случае сопротивление двухполюсника имеет полюс на бесконечности. Зная особенности операторных характеристик реактивных двухполюсников, можно качественно, по виду схемы двухполюсника, построить частотные характеристики произвольного реактивного двухполюсника.

Пример 9.4. Определим тип частотных характеристик и построим качественно зависимости от частоты мнимых составляющих комплексных входного сопротивления и входной проводимости реактивного двухполюсника, схема которого изображена на рис. 9.4, а.

Непосредственно по схеме находим, что между внешними выводами двухполюсника имеется один путь, проходящий только через индуктивности, и отсутствуют пути, проходящие только через емкости. Следовательно, частотная характеристика входного сопротивления относится к типу 0 — х, а частотная характеристика входной проводимости — к типу х— 0. Общее.

Рис. 9.4. К примеру 9.4.

число нулей и полюсов, включая внешние, на единицу больше числа независимо включенных реактивных элементов, оно равно четырем. Зависимости от частоты мнимых составляющих комплексных входного сопротивления и входной проводимости рассматриваемого двухполюсника приведены на рис. 9.4, б, в.