Архимед. 
Статические методы атомизма

К огромному сожалению для атомистической традиции, от математических сочинений Демокрита и софистов практически не осталось фрагментов. Атомизм в течение столетий был маргинальной традицией, которая третировалась последователями философии первоэлементов. И только сочинения Архимеда позволяют нам судить о математическом атомизме античной культуры. Почему же сохранились трактаты Архимеда? Архимед сознательно принижал атомизм и возвеличивал математику первоэлементов, т. е. ту геометрию, которую мы сейчас называем геометрией Евклида. Архимед называл геометрией только евклидову традицию, а атомизм соотносил с механическими методами.

Атомизм представлялся как подмастерье, который выполняет черновую работу для мастера. Только мастер, каковым является геометрия первоэлементов, способен придать результату совершенство. Вот как об этом говорит Архимед. Геометрические теоремы «были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем доказаны также и геометрически»¹.

Судя по всему, такая приниженная роль атомизма вполне устраивала адептов математики первоэлементов. Поэтому труды Архимеда и смогли пережить века. А что на самом деле думал Архимед? Была ли его позиция лицемерием и желанием спасти атомизм от недругов? Современные исследователи могут только догадываться об этом. Но очевидно, что Архимед работал другими, неевклидовыми методами. Он утверждал, что атомизм используется на начальном этапе, а уже затем применяются методы математики первоэлементов. Атомизм работает там, куда математика первоэлементов даже и не собирается заходить. Получается, что атомизм достигает результатов, которые затем используются двумя последующими традициями.

Возможно, Архимед понимал атомизм как начальное геометрическое учение. А традиции материального эфира (алгебра) и математика первоэлементов (геометрия Евклида) возникают позже (т.е. сначала был атомизм, а уже позже произошли другие геометрические методы). При таком подходе Архимед будет освобожден от возможных обвинений в неискренности. Но это лишь возможная реконструкция мыслей Архимеда. Самое важное в Архимеде — это описание методов математического атомизма. Именно это описание и будет целью нашего изложения.

Итак, в чем же суть механического метода? Рассмотрим применение механического метода на примере произведения «Квадратура параболы». Квадрирование заключается в превращении криволинейной фигуры в прямолинейную. В данном случае речь идет о превращении криволинейного сегмента параболы в прямолинейную фигуру — треугольник. Но начнем разбирать доказательство Архимеда поэтапно.

Этап 1. В первых пяти предложениях работы «Квадратура параболы» Архимед воспроизводит общеизвестные свойства параболы. Эти свойства будут в дальнейшем использоваться в доказательстве. Первое предложение описывает случай, когда основание параболы параллельно касательной и при этом диаметр (или отрезок, параллельный диаметру) делит основание пополам. Второе предложение излагает общеизвестное свойство касательной — отсекать на продолжении диаметра двойное расстояние от основания параболы до ее вершины. Третье предложение — это выражение уравнения параболы, которое аналитически представляется как у = х².

Но для дальнейшего доказательства будут важны четвертое и пятое предложения «Квадратуры параболы». Именно в них Архимед начинает делить площадь параболы на части линиями, параллельными диаметру. Архимед делит площадь параболы на конечные большие части. И если не знать о скрытом атомизме Архимеда, то смысл этого деления будет совсем не понятен. На примере конечных частей Архимед выясняет геометрический способ деления на части, параллельные диаметру. Эти же свойства сохраняются и при переходе к неделимым, т. е. тогда, когда мы разделим основание параболы на бесконечно большое количество частей.

Способ деления параболы изложен в четвертом предложении (на рисунках и при их описании использованы заглавные буквы греческого алфавита): «Пусть АВГ будет сегмент, заключающийся между прямой и параболой, пусть прямая ВД проведена до середины АГ параллельно диаметру или сама является диаметром и соединяющая прямая В Г продолжена. Если параллельно ВД провести какую-нибудь другую прямую Z0 так, чтобы она пересекала прямую, проходящую через точки В и Г, то Z0 будет иметь к 0Н то же самое отношение, что ДА к ДZ»¹ (рис. 1.6).

Во-первых, из точки на основании параболы проводится линия, параллельная диаметру. Во-вторых, эта линия пересекается параболой в определенной точке и образует отрезок ZH. В-третьих, на этой линии отсекается еще один отрезок Z0. Этот отрезок отсекается лучом, выходящим из крайней точки основания и проходящим через вершину параболы. Тогда оба отсекаемых отрезка будут находиться в определенном отношении друг к другу и к линиям на основании параболы.

Рис. 1.6.

В пятом предложении производится не единичное деление параболы, как в четвертом, а полное деление всей параболы с использованием вышеописанного способа. Здесь возникает треугольник, образованный касательной из крайней точки основания и линией, параллельной диаметру, из второй крайней точки основания, который имеет с параболой то же основание (рис. 1.7).

Рис. 1.7.

Этап 2. На втором этапе Архимед начинает рассматривать равноплечий рычаг, на который сначала подвешивается треугольник, а потом трапеция.

В шестом предложении взвешивается прямоугольный треугольник. Этот треугольник уравновешивается некоторой фигурой с определенной площадью. Архимед доказывает, что площадь этой фигуры при данном способе подвешивания в три раза меньше площади треугольника. Смысл доказательства Архимеда заключается в следующем. Обе площади должны быть подвешены каждая в одной точке, т. е. на линии центра тяжести.

Для прямоугольного треугольника этот центр тяжести находится так. Сторона, располагающаяся на плече рычага, делится в отношении 1 к 2 в точке Е (рис. 1.8). Именно в этой точке и должен быть подвешен прямоугольный треугольник. При этом за доказательством этого факта Архимед отсылает читателя к утерянной сейчас работе «Механика». Вторая из сравниваемых площадей по условию была подвешена на конце равноплечного рычага. Итак, расстояние от центра подвеса во втором случае будет 3, а в первом — 1. Отсюда вторая площадь в три раза меньше первой. Ибо таково соотношение для рычага.

Рис. 1.8.

Здесь пришло время сказать об отношении линии, через которую проходит центр тяжести, и неделимых. Центр тяжести тела может представлять собой вес тела в отношении его весовой характеристики. А это значит, что с точки зрения веса двумерная фигура схлопывается в линию (линию подвеса центра тяжести), а линия подвеса схлопывается в точку (точку центра тяжести). Поэтому для атомизма так важно изучение центров тяжести фигур и объемов, ибо это и есть прямой путь к неделимым. Для нашего мира линии подвеса и точки центров тяжести являются идеальными линиями и точками. Они реальны именно в мире атомизма и предельных скоростей.

Но продолжим краткое описание хода мыслей Архимеда. Седьмое предложение рассматривает уже любой подвешенный треугольник, а не только прямоугольный. Предложения восемь и девять вводят отношение «больше» и «меньше» между подвешенными площадями треугольников. А предложения 10—13 вводят отношение «больше» и «меньше» между подвешенными площадями трапеций. Эти отношения будут ключевыми в доказательстве данного трактакта. Ибо Архимед не вводит в «Квадратуре параболы» неделимые явно. Здесь используется классический метод приведения к противоречию. Сначала доказывается, что искомая площадь не может быть больше некой определенной площади, а затем доказывается, что она не может быть меньше ее. Отсюда следует, что она равна этой площади. Этот метод всегда использовался в античной математике, чтобы избежать неделимых.

Этап 3. На третьем этапе доказательства Архимед снова вводит сегмент параболы. Этот тот сегмент параболы, который был разделен определенным образом в предложении пять. Теперь этот сегмент подвешивается на равноплечий рычаг. В предложении 14 рассматривается более наглядный и простой случай, когда основание сегмента параболы перпендикулярно диаметру. Архимед сравнивает площадь параболы и площади вписанных и описанных определенным образом трапеций и треугольников. Площадь сегмента параболы оказывается больше суммы вписанных в нее фигур и меньше суммы описанных. Утроенные суммы вписанных и описанных фигур оказываются меньше и больше соответственно треугольника, построенного над основанием сегмента параболы и пересечением касательной к одному концу основания и линии, параллельной диаметру, из другого конца основания. Затем это же доказывается для произвольного сегмента параболы в предложении 15.

Теперь перейдем к самому важному атомистическому предложению «Квадратуры параболы». Это предложение 16 (рис. 1.9).

Рис. 1.9.

Именно здесь Архимед использует доказательство от противного. И здесь же применяется знаменитая лемма Архимеда: «Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади»^[1]. Архимед доказывает, что сегмент параболы равен трети треугольника ВАГ, заключенного между основанием сегмента, касательной в одном конце основания и параллельной диаметру линии из другого конца.

Сначала предполагается, что сегмент параболы больше трети этого треугольника. Эта треть равна площади Z. Тогда избыток можно складывать с самим собой и получить треугольник, больший треугольника ВАГ. В этом случае можно взять треугольник ВГЕ, меньший данного избытка, внутри треугольника ВАГ. Этот треугольник Архимед соотносит с трапециями и треугольником вдоль параболы. Он показывает, что треугольник ВГЕ равен сумме этих фигур.

Архимед также показывает, что вписанные в сегмент параболы трапеции и треугольник плюс треугольник ВГЕ будут больше сегмента параболы. Поэтому площадь Z явно должна быть меньше суммы. Иначе Z плюс ВГЕ тоже были бы больше сегмента параболы, но это противоречит заданным условиям. Следовательно, треугольник ВАГ, равный утроенной площади Z, оказывается меньше утроенной площади вписанных в сегмент параболы фигур. Но в предложениях 13 и 14 было доказано, что ВАГ больше суммы этих фигур. Так достигнуто первое противоречие, т. е. сегмент параболы не может быть больше площади Z (трети треугольника ВАГ).

Теперь Архимед делает другое предположение. Пусть сегмент параболы меньше площади Z. Доказательство проводится таким же способом, как и для предыдущего случая, когда сегмент параболы больше площади Z. Таким образом доказывается утверждение предложения 16.

Предложение 17 использует полученный в предложении 16 результат для доказательства равенства криволинейной фигуры (сегмента параболы) прямолинейной фигуре (четырем третям треугольника). «Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с сегментом то же самое основание и равную высоту»^[2] (рис. 1.10). Доказательство проводится через сравнение определенным образом вписанного и описанного треугольника. В целом доказательство предложения 17 было бы невозможно без использования принципов математического атомизма на протяжении всех предыдущих предложений «Квадратуры параболы».

Этап 4. Теперь Архимед доказывает тот же результат методами математики первоэлементов. В предложении 20 выясняется, что «если в сегмент, заключенный между прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом одно и то же основание и равную высоту, то вписанный треугольник будет больше половины сегмента»^[3]. В следующем предложении Архимед сначала вписывает в сегмент треугольник на основании сегмента параболы, а затем в оставшиеся сегменты вписывает подобные дополнительные треугольники, которые исчерпывают сегмент параболы (т.е. Архимед начинает использовать классический метод исчерпывания Евклида).

В последующих двух предложениях Архимед сравнивает сегмент параболы с любым количеством площадей, взятых в непрерывной пропорции. В завершение книги Архимед доказывает отношение сегмента параболы и вписанного треугольника: «Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту»¹ (рис. 1.11). Это предложение, как легко заметить, полностью повторяет предложение 17.

Рис. 1.10.

Рис. 1.11.

Теперь разберем смысл атомистического метода на примере нахождения площади под параболой OLB (рис. 1.12, здесь использован латинский алфавит)).

Эта площадь ограничена осью абсцисс, дугой параболы, заданной уравнением у = ах², и ординатой ее, соответствующей абсциссе О А = /. По оси х откладываются равные интервалы Ах. По оси ординат откладываются отрезки, возрастающие пропорционально ряду квадратов натуральных чисел. Пусть KL будет одной из таких ординат, ее величина находится как ах² и вся площадь полоски-ординаты будет AS = ах² • Ах. Теперь Архимед начинает сравнивать криволинейную плошадь под параболой справа и прямолинейную площадь треугольника слева. На самом деле Архимед начинает сравнивать полоски справа и слева. А эти полоски и есть неделимые атомизма.

Рис. 1.12.

Архимед сдвигает одну за другой ординаты на конец рычага Л В. В определенном смысле Архимед схлопывает площадь ОЛВ в линию АВ. Тогда момент этой полоски относительно точки О будет / • AS = I • ах² • Ах. Далее Архимед уравновешивает этот момент при помощи подвешивания полоски MN • Ах к левой стороне рычага на таком же расстоянии ОМ = хот точки О. Величина соответствующей ординаты MN определяется через сравнение моментов относительно точки О обеих полосок. Таким образом, будем иметь х • MN • Ах = / • ах² • Ах, откуда MN = aLx.

Архимед смог приравнять криволинейную и прямолинейную ординаты, т. е. два разного рода неделимых. Таким способом Архимед начинает преобразовывать криволинейную площадь в прямолинейную. Причем приравнивание неделимых производится через приравнивание моментов, ибо геометрически неделимые существенно разные. А это и есть суть метода неделимых.

Поступая так с каждой полоской, Архимед получает на левом плече рычага ряд полосок непрерывно распределенных по длине GO. Так как ординаты полосок на левом плече рычага будут пропорциональны расстояниям х, то концы их расположатся, но прямой линии ONT; величина последней ординаты GT будет аР.

После того как распределение полосок по левому плечу OG рычага будет закончено, становится понятным, что вся площадь ОЛВ, сосредоточенная на конце А, будет уравновешена треугольником OGT, прикрепленным к стороне OG. Площадь этого треугольника равна ½аР • /, расстояние от вершины О его центра тяжести будет 2/3OG = 2/3/. Следовательно, сравнивая момент этого треугольника с моментом относительно О искомой площади 5, сосредоточенной в точке А, Архимед получает 2/3/ • ½аР • / = = SI. Отсюда находится величина S = 1/ЗОА • АВ, т. е. искомая площадь равна одной трети площади прямоугольника, построенного на абсциссе ОА и конечной ординате АВ.

«Мы видим, что успех вывода получается в результате понижения степени рассматриваемой кривой — нахождение площади, ограниченной кривой 2-й степени и двумя прямолинейными отрезками, сводится к определению центра тяжести площади, ограниченной кривой первой степени, т. е. прямой»^[4]. Получается, что центр тяжести — это то, во что охлопывается треугольник. Парабола же схлоиывается в линию АВ.

Все вычисления центров тяжести нужны были Архимеду только для того, чтобы затем использовать метод неделимых (атомизм) для преобразования площадей криволинейных фигур в прямолинейные. Таким образом, статика является методом математического атомизма. Суть статики заключается в том, что сравниваются криволинейная фигура и прямолинейная. Все неделимые криволинейные собираются в одной точке, а все неделимые прямолинейной фигуры (равные неделимым криволинейной) сначала располагаются вдоль прямой линии, образуя какую-то прямолинейную фигуру. Затем все неделимые прямолинейной фигуры собираются в точку, соответствующую центру тяжести данной прямолинейной фигуры. И окончательно проводится финальное сравнение.

• [1] Архимед. Указ. соч. С. 77.
• [2] Там же. С. 89.
• [3] Там же. С. 90.
• [4] Архимед. Сочинения. Вступительная статья И. Н. Веселовского. С. 35.