Дифференциальное приближение разностной схемы

Понятие о первом дифференциальном приближении разностной схемы ввел советский ученый А. И. Жуков. В дальнейшем этот вопрос подробно исследовал Н. Н. Яненко со своими учениками. Идея понятия состоит в следующем.

Переходя от дифференциальной задачи к разностной, мы создаем разностную схему, внося при этом определенные ошибки. Эти ошибки могут привести к тому, что разностное решение будет иметь характер, качественно отличный от решения дифференциальной задачи.

Если мы от разностной схемы (путем разложения в ряды сеточных функций) вернемся к дифференциальному ее представлению, то оно будет отличаться от исходного дифференциального уравнения. Новое дифференциальное уравнение называется дифференциальным приближением разностной схемы.

Члены, отличающие исходное дифференциальное уравнение от дифференциального приближения разностной схемы, можно рассматривать двояко. С одной стороны, они представляют ошибку аппроксимации и, таким образом, определяют порядок аппроксимации разностной схемы. С другой стороны, можно полагать, что разностная схема отражает свойства не исходного дифференциального уравнения, а своего дифференциального приближения. Этим и объясняются возможные качественные отличия решения.

Таким образом, изучение свойств дифференциального приближения может составлять основу качественного анализа свойств разностной схемы. Метод дифференциального приближения позволяет строить разностные схемы с заранее определенными свойствами, проводить анализ схем и классифицировать их по ряд}' признаков, исследовать свойства решений разностных схем на основе свойств соответствующих им дифференциальных уравнений — дифференциальных приближений разностной схемы. Поэтому необходимо иметь представление об основных качественных особенностях простейших дифференциальных уравнений.