Вариационная постановка краевых задач

Многие дифференциальные краевые задачи допускают вариационную постановку. В качестве примера обеих постановок возьмем хорошо известную первую краевую задачу для уравнения Пуассона. Рассмотрим функционал вида.

и будем разыскивать его минимум на множестве функций w (x, у), удовлетворяющих граничному условию.

Условием минимума функционала будет функция, удовлетворяющая уравнению Эйлера — Остроградского (10.4). Если мы для интегранта функционала построим это уравнение, то получим следующую дифференциальную краевую задачу: найти функцию и (х, у), которая удовлетворяет внутри замкнутой области D уравнению.

а на границе Г области D принимает заданное значение.

Здесь $ - параметрическая координата границы замкнутой области D.

Это обстоятельство можно использовать для переформулировки дифференциальной краевой задачи. Дадим вариационную формулировку, равносильную дифференциальной задаче (10.7) — (10.8): среди всех функций w (x, у), удовлетворяющих условию (10.6), найти ту, которая доставляет минимум функционалу (10.5).

Вариационным методом решения краевой задачи (10.7) — (10.8) будет называться метод, основанный на нахождении решения из соотношений (10.5) — (10.6).

В дальнейшем мы увидим, что могут быть построены и другие интегральные соотношения, отличные от полученного выше, которые также могут быть использованы для построения решения краевой задачи. Такие методы, например метод Галеркина, уже не имеют жестких математических ограничений на обязательное существование вариационной формулировки краевой задачи, которая может быть точно установлена лишь дчя достаточно простых уравнений (уравнения Лапласа, Пуассона).

Таким образом, дня решения дифференциальных краевых задач мы можем использовать методы и подходы численного решения соответствующих вариационных задач. Схема такого подхода приведена на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Сведение краевой задачи к вариационной и решение ее прямым методом.

Ограничением для такого подхода является то, что не для любой дифференциальной задачи можно разыскать соответствующий ей интегранг и построить функционал, для которого уравнение Эйлера — Остроградского будет соответствовать уравнению исходной краевой задачи. Однако в дальнейшем мы увидим, что это затруднение можно преодолеть.