Операциональное обоснование математики

Принято считать, что математическое знание иерархизировано и что в его основании лежит теория натуральных чисел. Все остальные разделы математики интерпретируемы в терминах натуральных чисел и тем самым сводимы к ним. Данное утверждение принято называть тезисом арифметизации математики'^. Принятие этого тезиса объясняет, почему натуральные числа считаются парадигмальными объектами математики, почему все ведущие программы обоснования математики начинаются с предположений, объясняющих прежде всего необходимую природу натуральных чисел.

Программы обоснования математики можно условно разделить в зависимости от того, как именно обосновывается в каждой из них понятие натурального числа.

В стандартной теории множеств натуральное число есть множество, принадлежащее (индуктивному) множеству / со следующими свойствами:^[1]

• (1) 0 е /;
• (2) если п € /, тогда (п + 1) е /^|4.

В логицистской программе Фреге—Рассела натуральное число является определенным свойством объема понятия F и определяется как класс всех понятий, которые можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с F.

В интуиционистской программе натуральные числа определяются как результаты умственного деления переживаемого жизненного момента на две части, одной из них — еще на две части и т. д. Сам жизненный момент имеет исключительно интуитивное основание.

В конструктивистской программе натуральное число — результат конструктивного, т. е. основанного на определенном алгорифме, процесса построения ряда определенных элементарных знаков (например, вертикальных черточек).

В формалистской программе Гильберта натуральные числа — это экстра-логические дискретные объекты, присутствующие в нашем непосредственном опыте еще до всякого размышления о них.

Несмотря на внешнее разнообразие подходов к определению натуральных чисел и сделанных при этом его авторами проницательных открытиях, ни одно из предложенных обоснований нельзя назвать удовлетворительным в полной мере. Общая методологическая причина этого — восхождение при объяснении природы натурального числа от частного к общему. Тогда как более правилен обратный путь — от общего к частному.

Подавляющее число математиков разделяют мнение, что каждое натуральное число представляет объект, который может быть выделен из ряда натуральных чисел и рассмотрен как нечто обособленное и автономное и который может быть определен (построен) независимо от других чисел. Например, среди формалистов и конструктивистов популярна идея представления натуральных чисел в виде комбинации определенных знаков — вер-^[2]. Число 3 — общее свойство всехтрехэлементных множеств: 3 = {0,1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}}, ит. д.}}.

тикальных черточек, палочек и тому подобных символов. Подобная символизация, полагают эти математики, наглядно демонстрирует дискретный характер каждого натурального числа, его самодостаточную природу, и объясняет, почему наш интеллект воспринимает суждения об этих объектах как очевидно истинные. Но так ли это на самом деле?

Проблема с натуральными числами заключается в том, что невозможно мыслить не только отдельное натуральное число, но и все множество натуральных чисел, включая нуль, как нечто обособленное. «Положительные и отрицательные числа, — пишет К. Гаусс, — могут найти применение только там, где сосчитанному противостоит нечто противоположное, что в соединении с ним дало бы в результате нуль. Точнее говоря, это условие осуществляется только там, где сосчитанное составляют не субстанции (сами по себе мыслимые предметы), а отношения между двумя предметами. Постулируется при этом, что предметы эти располагаются определенным образом в один ряд, например, А, В, С, D, и что отношение между А и В может мыслиться равным отношению В к С и т. д. Здесь в понятие противоположности не входит ничего больше, кроме перестановки членов отношения, так что если отношение (или переход) от, А к В есть +1, то отношение В к А должно быть выражено через -1. Так как такой ряд беспределен с обеих сторон, то всякое реальное целое число представляет отношение любого избранного началом члена к определенному члену ряда»^[3].

Аналогичное мнение высказывает Ж. Пиаже: «Равным образом не вызывает сомнения, что целое число как психологически, так и логически (вопреки мнению Рассела) существует только в системе натурального ряда чисел (порождаемого операцией +1) …»^[4]

Значит, ни одно натуральное число не существует как нечто, обособленное от всего ряда натуральных чисел. Каждое из них представляет результат допустимой операции, интегрированной в целостную (взаимозависимую) систему объектов и операций. Следовательно, каждое натуральное число существует только как элемент определенной системы объектов и операций над ними. Например, суждение «1 + 1= 2» истинно, если и только если речь идет о натуральных числах и знак «+» обозначает операцию арифметического сложения. Но если в качестве объектов системы выбрать дождевые капли, а их сложение интерпретировать как их слияние, то истинным будет уже суждение «1 + 1 = 1», которое с арифметической точки зрения, безусловно, ложно.

Обобщая сказанное, парадигмальными объектами математики следует считать не числа, множества, функции… как отдельные и самостоятельные математические объекты, а формы их целостности, которые принято называть математическими системами (или группами в алгебраическом смысле). Математическое знание достигает целостности, если оно может быть представлено в виде замкнутой группы преобразований, сохраняющих базисное множество элементов. Математика в принципе ничего иного и не представляет, как конструирование и применение подобных систем для решения конкретных задач.

Назовем сохранение математической системой базисного (исходного) множества своих объектов при применении своих преобразований свойством замыкания. Тогда математическую систему можно определить следующим образом:

Математическая система = базисное множество математических элементов + множество допустимых операций, выполняющих свойство замыкания.

Необходимость и достоверность математических суждений представляют прямое следствие замкнутого характера преобразований, допускаемых математической системой. Если условие замкнутости не выполняется, то результаты преобразования перестают быть необходимыми. Быть математически необходимым означает существовать как элемент определенной математической системы и подчиняться законам сохранения ее целостности.

В системе натуральных чисел только операции сложения и умножения порождают натуральные числа. Значит, только они сохраняют множество натуральных чисел как данную систему и только их результаты являются для нее необходимыми:

Натуральные числа + операции сложения и умножения = натуральные числа.

Операции вычитания и деления, выполняемые без ограничений на множестве натуральных чисел, могут привести к появлению отрицательных и дробных чисел. Последние виды чисел не принадлежат к множеству натуральных чисел. Значит, операции вычитания и деления способны приводить к ненеобходимым (случайным) для системы натуральных чисел результатам и по этой причине не входят в список ее допустимых операций. Замкнутый характер математических систем означает, что математическая необходимость представляет разновидность «истин тождества» (так Лейбниц называл истины разума) в следующем смысле:

Математические суждения о свойствах (операциях и их результатах) данной математической системы необходимо истинны, если и только если операции этой системы выполняют условие замыкания.

ком прогресса математики является процесс конструирования все более полных, целостных математических систем. Наглядным примером такого прогресса служит следующий фрагмент из истории чисел^[5].

Система натуральных чисел N = {х I д: = 0, 1, 2, …} допускает только операции сложения и умножения. Представляет простейшую и наименее полную числовую систему. Данное обстоятельство ставит под сомнение желание многих математиков видеть в этой системе «твердое» основание всей математики.

Система целых чисел.

где а> b_ya < b или а = Ь_у более полна, потому что ее базисное множество включает, помимо целых положительных чисел и нуля, отрицательные числа. К сложению и умножению присоединяется операция вычитания.

Система рациональных чисел R = CxC={jcU = т/п, п= 1,2,…} еще более полна. Она содержит конечные или бесконечные периодические дроби (дроби, чьи числители и знаменатели равны целым числам); к допустимым операциям для целых чисел добавляется деление.

Система действительных (вещественных) чисел D = {х | * = конечная или бесконечная периодическая дробь, бесконечная непериодическая дробь} еще более полна и тем самым целостна. Она состоит из рациональных и иррациональных чисел. Ее мощность равна континууму. Действительные числа находятся во взаимно однозначном соответствии с точками числовой прямой. Они всюду плотны и не содержат никаких пробелов. Эта система чисел необходима и достаточна для построения таких разделов анализа, как дифференциальное и интегральное исчисление.

Существуют и более общие системы чисел, но сказанного достаточно для понимания логики конструирования математических систем и характера прогресса в математике. Потребность создания все более целостных систем является важнейшим мотивом развития не только теории чисел, но и всей математики.

Математические системы обладают еще одним важным свойством, которое позволяет понять генетически обусловленное единство интеллектуальных, логических и собственно математических операций. Существенный признак всякой математической системы — не множество ее элементов, а те операции, которые его порождают и обеспечивают его существование (сохранение). «С психологической точки зрения операции — это действия, которые перенесены внутрь, обратимы и скоординированы в системе, подчиняющейся законам, которые относятся к системе как целому. Они представляют собой действия, которые, прежде чем они стали выполняться на символах, выполнялись на объектах. Они перенесены внутрь, так как выполняются в мысли, не утрачивая при этом своего естественного характера действия. Они обратимы в противоположность простым действиям, которые не обратимы… Наконец, поскольку эти операции не существуют изолированно, они связаны в форму структурированного целого»¹*.

Операциональное мышление появляется в результате замещения действий с реальными объектами действиями с символами. При этом ни одна операция не существует изолированно. «…Единичная операция не является операцией, а остается на уровне простого интуитивного представления. Специфическая природа операций, если их сравнивать с эмпирическими действиями, заключается, напротив, в том, что они никогда не существуют в дискретном состоянии. Об „одной“ операции мы можем говорить только в результате абсолютно незаконной абстракции: единичная операция не могла бы быть операцией, поскольку сущность операций состоит в том, чтобы образовывать системы»^[6][7].

Есть все основания считать, что уже на первых стадиях развития интеллекта начинает формироваться система с общими для интеллекта, логики и математики операциями. Она была названа Пиаже (алгебраической) группой INRC (аббревиатура от начальных букв названий операций — тождества /, отрицания N, обращения R и отрицания обращения С). Если это предположение Пиаже верно, то исчезает вопрос о приоритете интеллекта, логики и математики. Все эти способности и соответствующие им знания рождаются, существуют и влияют друг на друга одновременно.

Одним из лучших неформальных определений группы в алгебраическом смысле является следующее: «Группу можно определить как некоторое множество действий, или операций А, В_у …, которые могут объединяться вместе — делай сначала А, затем В. Действие, представляющее результат объединения каких-либо действий, также должно быть членом группы; процесс объединения обычно называют „умножением“. Недействие (отсутствие действия, нулевое действие. — В. С.) следует считать членом группы (ее нейтральным элементом). Каждое действие должно быть обратимым, при этом объединение какого-либо действия со своим обращением должно давать недействие, т. е. возвращение к исходному действию. Наконец, результат некоторой последовательности действий… не должен зависеть от порядка их объединения»^[8].

Конкретно в группу INRC входят^[9]:

• (1) действия, позволяющие соединять (складывать, умножать, включать и т. д.) определенным образом любые элементы системы и получать новые элементы этой же системы (свойство замыкания);
• (2) действия, представляющие обратную трансформацию другого действия, т. е. наличие в системе для каждой операции ей обратной (вычитание для сложения, деление для умножения и т. д.);
• (3) действия, позволяющие получать новые объекты системы различными независимыми способами (свойство ассоциативности: ((А + В) + С) = (А + (В + С)) = D);
• (4) действия, аннулирующие результаты им обратных действий, т. е. позволяющие получать нуль при объединении сложения и вычитания, единицу при объединении умножения и деления.

Если в качестве перечисленных действий взять операции отрицания (дополнения), обращения, отрицания обращения и тождества (нулевого действия), то мы получим группу, порождающую все интеллектуальные, логические и математические преобразования. Несложная проверка позволяет убедиться в этом.

Пусть N = «операция отрицания», R = «операция обращения», С = «операция отрицания обращения» («операция обращения отрицания»), / = «операция тождества».

Первое свойство группы требует, чтобы результат объединения операций снова был одной из исходных операций. Пусть знак «х» обозначает объединение операций и имеет приблизительно тот же смысл, что и союз «и». Проведем проверку данного свойства (интерпретация группы в целом будет приведена после рассмотрения ее законов).

NR = С, отрицание х обращение = отрицание обращения.

NC = R, отрицание х отрицание обращения = обращение.

RC = N, обращение х отрицание обращения = отрицание.

NRC = /, отрицание х обращение х отрицание обращения = тождество.

NRCN = N, отрицание х обращение х отрицание обращения х отрицание = отрицание. И т. д.

Смысл рассмотренного свойства состоит в том, что любую последовательность операций всегда можно заменить равнозначным результатом их последовательного выполнения, опять принадлежащим исходному множеству операций.

Второе свойство группы требует наличия тождественного преобразования. В рассматриваемой группе таким преобразованием является операция /. Проведем проверку данного свойства.

IN = N, тождество х отрицание = отрицание.

IR = R, тождество х обращение = обращение.

1C = С, тождество х отрицание обращения = отрицание обращения.

INR = NR = С, тождество х отрицание х обращение = отрицание х обращение = отрицание обращения.

INRC = NRC = I, тождество х отрицание х обращение х отрицание обращения = тождество. И т. д.

Итак, применить тождественное преобразование означает оставить все без изменения.

Третье свойство требует, чтобы для каждой операции, являющейся ее элементом, существовала ей обратная операция. При этом объединение (последовательное выполнение) прямой и обратной операции должно давать тождественное преобразование. Особенностью группы INRC является то, что каждая исходная операция обратна самой себе. Приведем проверку данного свойства.

NN = /, отрицание х отрицание = тождество.

RR = /, обращение х обращение = тождество.

СС = /, отрицание обращения х отрицание обращения = тождество.

II = /, тождество х тождество = тождество.

Из данного свойства следует, что тождество может быть получено двумя принципиально разными способами — как отрицание отрицания и как обращение обращения. На этом различии основано различие между логикой классов с дополнением в качестве отрицания и логикой отношений с обращением в качестве собственной операции отрицания (логика отношений включает, конечно, и операцию дополнения).

Четвертое свойство требует, чтобы порядок объединения операций не влиял на их конечный результат (свойство ассоциативности). Проведем проверку данного свойства.

N (RC) = (NR) С = R (.NC) = /, отрицание х (обращение х отрицание обращения) = (отрицание х обращение) х отрицание обращения = обращение х (отрицание х отрицание обращения) = тождество.

Очевидно, что ассоциативность является логическим аналогом свойства альтернативности.

Итак, все свойства группы выполняются. Связь всех операций, согласно данным свойствам, указана на рис. 1.1.

Рассмотрим простую интерпретацию группы в целом. Пусть даны величины А и В такие, что А больше В, (А > В). Тогда операция R трансформирует А> В в отношение В <�А, операция N переводит А > В в отношение А < В, операция С преобразовывает А > В в отношение В > А (рис. 1.2).

Все свойства группы можно проверить движением вдоль соответствующей линии диаграммы на рис. 1.2.

Инвариант логико-математического мышления, структуру которого отображает группа INRC, основывается на четырех элементарных операциях — отрицании (дополнении), обращении, отрицании обращения и тождестве. Все эти операции в равной мере необходимы и вместе достаточны для порождения всех логических преобразований, свойственных человеческому интеллекту.

Рис. 1.1. Операции группы INRC Рис. 1.2. Пример группы INRC.

Группа INRC синтезирует две основные ступени интеллектуального развития. Первая из них связана с овладением операциями с классами, что соответствует логике понятий. Вторая ступень связана с развитием навыков формирования и преобразования отношений, чему соответствует логика суждений. Синтез обеих ступеней предполагает умение оперировать как классами, так и отношениями, что отражается в способности строить отрицания обращений (обращение отрицаний) и соответствует логике умозаключений. Структура последней и выражается группой INRC.

Группа INRC снимает вопрос о приоритете интеллекта, логики или математики, так как представляет общую для всех них систему умственных операций. Операции отрицания, обращения, отрицания обращения и тождества взаимозависимы и уравновешенны. Они существуют только вместе, имеют смысл только относительно друг друга. Никакая отдельная операция, комбинация любых двух операций недостаточна для полноценного мышления.

С учетом зависимости и уравновешенности всех элементов рассматриваемой структуры имеет смысл говорить не об отдельных обособленных законах интеллекта, логики и математики, а об инвариантных чертах мышления как такового. К ним относятся способность строить классы и тем самым использовать операцию дополнения; способность строить отношения и тем самым использовать операцию обращения; способность строить дополнения обращений и тем самым использовать операцию отрицания обращений; способность строить дополнения дополнений, обращения обращений и другие комбинации операций, ведущих к тождеству, тем самым использовать тождественные преобразования. На этом операциональном фундаменте развивается способность интеллекта к установлению взаимно однозначного соответствия между элементами различных множеств, пониманию принципов сохранения числа элементов при различном способе их счета и подобным операциям, позволяющим строить математические системы в собственном смысле слова.

Группа INRC представляет инвариант операций, общих для всех действий интеллекта и достаточных для построения логики и математики. Данный инвариант доказывает существование фундаментального единства интеллектуальных, логических и математических операций. Это следует понимать как формирование нашим интеллектом с самого начала своей активности общей, лишь конкретизируемой в последующих частных применениях, антиципирующей схемы действия. Назначение этой схемы состоит в том, чтобы обеспечить единый и универсальный механизм решения проблем, с которыми сталкивается интеллект, и, в конечном счете, успешную адаптацию к изменяющейся внешней среде.

Общий операциональный источник наших знаний объясняет гносеологический статус математического знания. Интеллект использует свои математические способности тогда, когда нуждается в идеальных количественных эталонах оценки конкретных операций с реальными объектами. Без создания таких эталонных операций результаты конкретных преобразований теряют свою необходимость. Если маленький ребенок при сложении двух птичек с тремя птичками приходит к результату, отличному от результата сложения трех птичек с двумя птичками, то это свидетельствует о том, что он еще не обладает устойчивой эталонной операциональной схемой сложения, независимой от порядка счета. Только по этой причине одинаковые результаты сложения не являются для него обязательными. С гносеологической точки зрения, математика — множество идеальных эталонов, организованных в определенные математические системы, цель которых состоит в том, чтобы количественно контролировать и гарантировать необходимость результатов наших действий с реальными и символическими объектами. Нечто подобное имеет место в измерительных процедурах, когда некоторые единицы длины, веса, тяжести и т. п. принимаются за эталоны и все последующие операции с объектами производятся с учетом принятых эталонных мер. Всякое отступление от принятых мер является ненеобходимым и признается за ошибку.

Обоснование математики существенным образом связано с логикой процедуры обоснования. Смысл и последствия этой логики, однако, редко объясняются.

Со времен Евклида идеалом обоснования какой-либо науки считается построение ее в виде аксиоматической системы. Считалось, что если выбрать надлежащее множество самоочевидных аксиом и применить к ним надежную технику дедуктивного вывода, все истины аксиоматизированной науки превратятся в доказываемые утверждения, или теоремы. Главное преимущество аксиоматизированной системы — подчинение бесконечного числа аксиом небольшому числу аксиом. Тот, кто знает аксиомы некоторой науки и правила дедукции, потенциально знает все ее теоремы.

Несмотря на явные преимущества такого способа обоснования, постепенно стали ясны и его ограничения. Во-первых, проблемным является вопрос о самоочевидности аксиом. Аксиома — положение, которое, по определению, не доказывается в силу своей самоочевидности. Вместе с тем она должна быть максимально достоверным положением. При этом было достаточно сослаться на интуитивную самоочевидность или тождественность логических признаков. Однако опыт показывает, что такие ссылки не гарантируют достоверности аксиомы. Самый известный пример аксиомы, оказавшейся через много сотен лет неочевидной, — пятый постулат геометрии Евклида (через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну параллельную линию). Как известно, этот постулат был отвергнут в XIX в. Во-вторых, как было доказано Гёделем в первой трети XX в., аксиоматизация теорий, включающих элементарную арифметику, принципиально не может быть полной. Какой бы исчерпывающей ни была система аксиом, всякая теория, включающая утверждения о натуральных числах, содержит истинные высказывания, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории. В-третьих, оказалась несбыточной мечта некоторых математиков отождествить математическое мышление с дедукцией.

Дедукция всегда ценилась математиками за то, что позволяла из истинных посылок выводить только истинные следствия. Однако мало кто придает значение тому факту, что в дедукции не посылки управляют значением истинности следствий, а следствия — значением истинности посылок^[10]. Истинное заключение может следовать как из истинных, так и ложных посылок. Истинность заключения не зависит от значения истинности посылок. В то же время ложное заключение необходимо опровергает истинность по крайней мере одной из посылок, из которых оно следует. Следовательно, истинность посылок зависит от истинности заключения, но не наоборот.

Из сказанного следует важный для обоснования математики вывод. Если истинность посылок в дедукции принципиально не может быть выше по рангу истинности заключения, значит, не аксиомы управляют истинностью теорем, а наоборот, теоремы управляют истинностью аксиом. Но тогда следует, что аксиомы — это положения, ничем не отличающиеся по своему статусу от гипотез, достоверность которых больше нуля, но меньше единицы, а аксиоматическая система по своим логическим свойствам — обычная гипотетико-дедуктивная система. Выходит, что обоснование математических истин ничем фактически не отличается от обоснования истин нематематических наук. Оно протекает как процесс выдвижения и испытания математических гипотез^[11].

Далее, если даже в аксиоматических системах теоремы управляют истинностью аксиом, значит, вопрос о том, из каких именно аксиом следуют данные теоремы, не имеет принципиального значения. Поиск «самых достоверных начал» для математики оказывается лишенным по крайней мере логического смысла. Ведь если одна и та же теорема следует из бесконечного числа аксиом (начал), то насколько интересен и важен спор, из какой именно? Никаких единственных и достоверных начал на самом деле не существует ни для одной науки. Математика, как и все остальные разделы научного знания, может строиться на основании любых гипотетических предпосылок. Важны получаемые результаты, а не те начальные допущения, которые принимают математики. При этом так называемые «побочные», «вспомогательные» итоги обоснования представляют очень часто гораздо более важные результаты, чем преследуемые непосредственно. Например, создание современной символической логики можно считать гораздо более значительным достижением логицизма и формализма, чем полученные основателями этих программ конкретные результаты в области обоснования математики.

Высказанные соображения означают, что ни одна из ведущих программ обоснования математики XX в. не смогла завоевать абсолютного признания и решить проблему обоснования в полном объеме. Однако каждая из них внесла свой частный вклад в решение этой сложнейшей задачи. И мы должны быть благодарны всем, кто спорил и продолжает спорить до сих пор, отстаивая, уточняя или развивая дальше свою точку зрения. Ведь только из столкновения различных мнений рождается подлинная истина.

• [1] «При такой точке зрения (рассмотрении арифметики, алгебры и анализакак части логики. — В. С.) оказывается самоочевидным и вовсе не новым то обстоятельство, что всякая, хотя бы и очень отдаленная, теорема алгебры или высшего анализа может бьггь формулирована как теорема о натуральных числах…» (Де-декинд Р. Что такое числа и для чего они служат. Казань, 1905. С. 5.)
• [2] Индуктивное множество / строится следующим образом. Число 0 обозначает общее свойство всех множеств, не содержащих ни одного элемента, т. с. О приравнивается к пустому множеству: 0 = 0. Число 1 — общее свойствовсех одноэлементных множеств: 1 = {0} = {0}. Число 2 — общее свойство всехдвухэлементных множеств: 2 = {0, 1} = {0, {0
• [3] Цит. по: Кунтце Ф. Математика и точное изложение теоретико-познавательных проблем // Новые идеи в философии. СПб., 1914. № 11. С. 130.
• [4] Пиаже Ж. Психология интеллекта. СПб., 2004. С. 42.
• [5] См.: Дейвис Филипп Дж. Арифметика // Математика в современном мире.М., 1967. С. 29−45.
• [6] Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1994. С. 594.
• [7] Пиаже Ж. Психология интеллекта. С. 41.
• [8] Candy R. «Structures» in Mathematics // Structuralism: An Introduction. Oxford, 1973. P. 144−145.
• [9] Пиаже Ж. Избранные психологические труды. С. 567−628.
• [10] См.: Орлов И. Е. Логика естествознания. М.; Л., 1925. С. 3.
• [11] Более подробно об этом см.: Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. Мм 1967.