Проверка значимости уравнения множественной регрессии

Проверка значимости уравнения множественной регрессии основана на тех же идеях, что и проверка значимости парной регрессии (см. параграф 3.9). Если в модели (4.1) присутствует параметр 0_О, то, как и ранее, справедливы разложения (3.26), (3.27).

Статистическая гипотеза о значимости модели (4.1) имеет вид.

Как будет показано далее (см. параграф 4.12), коэффициент детерминации тесно связан с коэффициентом множественной корреляции, показывающим тесноту линейности зависимости между откликом и всеми регрессорами уравнения (4.1). Из этого следует, что гипотеза (4.20) может записываться в альтернативной форме.

что означает одновременную незначимость всех параметров уравнения множественной регрессии за исключением, быть может, свободного члена 0₍₎.

Как и в парной регрессии, отношение объясненной дисперсии зависимой переменной к остаточной подчиняется распределению Фишера, что позволяет использовать для проверки гипотезы (4.20) Е-критерий. Оценки остаточной и объясненной дисперсий в этом случае отличаются от тех же оценок для уравнения парной регрессии (3.31), (3.32) только числами степеней свободы:

Если сравнить соотношения (4.11) и (4.21), то можно заметить, что оценки дисперсии случайной ошибки и остаточной дисперсии совпадают. Такое совпадение возможно только в случае верной спецификации исходной регрессионной модели 119|. Кроме того отметим, что оценка полной дисперсии не зависит от вида уравнения регрессии, поэтому ее следует вычислять по соотношению (3.30).

Из математической статистики [1, 68] известно, что величина.

подчиняется распределению Фишера с k_t = (т — 1) и /г₉ = (N — т) степенями свободы. При проверке гипотезы (4.20) вычисленное по формуле (4.23) значение F-статистики сравнивают с критическим значением Е_кр(1 — а, т — 1, N-т)> определяемым по статистическим таблицам (см. приложение).

Отметим, что если воспользоваться соотношением (4.23) и учесть (3.28), то можно выразить статистику Фишера через коэффициент детерминации.

Если оказывается, что F > F ( 1 — а, т — 1, N — т)_у то Кр^х '.

гипотеза (4.20) отвергается и уравнение регрессии признается значимым, т. е. пригодным для практического использования.

При F < F {1 — ос, т — 1, N — т) гипотеза (4.20) не отвергается и уравнение регрессии не признается значимым.