Стоимость денег во времени

В инвестиционном менеджменте возникает необходимость выполнения финансово-экономических расчетов, основанных на оценке стоимости денег во времени. Необходимость учета стоимости денег во времени обусловлена следующими причинами:

• • предпочтение в общем случае субъектами инвестиционного менеджмента немедленных поступлений по сравнению с отложенными;
• • наличие инфляции, снижающей со временем покупательную способность поступлений от инвестиционной деятельности;
• • существование в условиях рынка у субъектов возможности увеличить исходную сумму денег, инвестировав ее в тот или иной актив и др.

Оценка стоимости денег во времени основана на понятиях простого и сложного процента.

Простой процент — это начисление процента только на первоначально инвестированную сумму.

Будущая сумма денег, которую получит инвестор при начислении простого процента, определяется по формуле.

где Р_п — будущая сумма денег; Р — сумма инвестиций; г — процентная ставка; п — число периодов времени.

Будущая стоимость — стоимость поступлений (выплат) от инвестиций, приведенная к будущему моменту времени.

Пример 2.1.

Определить будущую стоимость инвестиций в сумме Р = 100 000 руб., инвестированных на пять лет при начислении простого процента в размере 5%.

Решение.

Будущая стоимость инвестиций определяется, но формуле 2.1:

Сложный процент — это процент, который начисляется на первоначально инвестированную сумму и начисленные в предыдущий период проценты.

Будущая сумма денег при начислении сложного процента определяется по формуле.

где т — периодичность начисления процентов в течение года; г/т — периодическая процентная ставка; пт — число периодов начисления процентов.

Пример 2.2.

Определить будущую стоимость инвестиций в сумме Р= 100 000 руб., инвестированных на пять лет под 5%, если начисление процентов осуществляется: раз в году (т = 1); раз в месяц (гп = 12).

Решение.

Будущая стоимость инвестиций при т = 1 определяется по формуле 2.2:

Будущая стоимость инвестиций при т = 12 определяется по формуле 2.2:

Для расчета будущей стоимости денег удобно использовать табличный редактор MS Excel (рис. 2.1).

Для расчета будущей стоимости инвестиций достаточно ввести в любую ячейку электронной таблицы MS Excel имя функции БС с заданными аргументами (рис. 2.2).

Рис. 2.1. Фрагмент таблицы MS Excel с расчетом будущей стоимости инвестиций

Рис. 2.2. Фрагмент таблицы MS Excel с отображением формул

В процессе анализа инвестиций возникает необходимость сравнивать между собой разные суммы денег в разные моменты времени. Для сравнения разных сумм в разные моменты времени выполняется расчет дисконтированной (приведенной) стоимости:

где Р — дисконтированная (приведенная) стоимость денег; Р_п — будущая сумма денег.

Дисконтированная (приведенная) стоимость — стоимость поступлений (выплат) от инвестиций, приведенная к текущему моменту времени.

Экономический смысл формулы можно представить следующим образом. Допустим, инвестор через п лет планирует осуществить инвестиции в сумме Р_п. Необходимо определить, какой суммой денег инвестор должен располагать, чтобы инвестировать ее под процент /‘сегодня и получить через п лет необходимую сумму Р_п? Ответ на данный вопрос и дает эта формула.

Через пять лет инвестор планирует осуществить инвестиции на приобретение оборудования стоимостью 100 000 руб. Необходимо определить, какую сумму денег сегодня необходимо инвестировать в банковский депозит, достаточную для осуществления будущих инвестиций. Известно, что процентная ставка, но срочному вкладу в банке на пять лет составляет 5% и начисление процентов осуществляется: раз в году (т = 1); раз в месяц (т = 12).

Решение.

Для определения необходимой суммы инвестиций в банковский депозит при т = = 1 воспользуемся формулой приведенной стоимости (2.3).

Приведенная стоимость инвестиций при т = 12 определяется по формуле 2.3:

Для расчета приведенной стоимости денег удобно использовать табличный редактор MS Excel (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Фрагмент таблицы MS Excel с расчетом приведенной стоимости

инвестиций

Для расчета будущей стоимости инвестиций достаточно ввести в любую ячейку электронной таблицы MS Excel имя функции БС с заданными аргументами (рис. 2.2).

Инвестора интересует результативность его операций, которая оценивается с помощью такого показателя, как доходность.

Доходность — относительный показатель, который говорит о том, какой процент приносит рубль инвестированных средств за определенный период времени.

Рис. 2.4. Фрагмент таблицы MS Excel с отображением формул.

Доходность инвестиций можно определить за любой период времени, в течение которого осуществляются инвестиции. В общем случае доходность определяется как отношение полученного результата к затратам на получение данного результата:

где г — доходность инвестиций за период времени п.

Для сравнения инвестиций с разными сроками проведения операций используют показатель доходности в расчете на год.

Формула определения доходности в расчете на год выводиться из формулы сложного процента (2.2):

где г — доходность инвестиций в расчете на год.

Пример 2.4.

В банке, но вкладу через пять лег была выплачена сумма Р" = 127 628,16 руб. Определить, иод какой процент была помещена сумма в Р= 100 000 руб. Проценты начислялись ежегодно т= 1.

Решение.

Доходность инвестиций за пять лет определяется по формуле 2.4:

Доходность инвестиций в расчете на год по банковскому вкладу при т = 1 определяется по формуле 2.5:

Инвестиционная операция характеризуется и может быть полностью описана посредством порождаемых ею денежных потоков.

Денежный ноток инвестиций — распределенная во времени последовательность выплат и поступлений генерируемая объектом инвестиций на протяжении временного горизонта операции.

Наиболее важными характеристиками денежного потока инвестиций являются: величина отдельного элемента потока; число платежей в год; направление или знак элемента потока; интервал выплат; момент выплат; продолжительность потока; определенность величины и числа платежей потока.

В табл. 2.1 приведена классификация денежных потоков инвестиций по основным признакам.

Таблица 2.1

Классификация денежных потоков инвестиций

Как правило, денежные потоки в инвестиционной деятельности являются регулярными и положительными величинами.

Аннуитет — денежный поток, элементы которого являются положительными величинами, и при этом временные интервалы между платежами одинаковые. Если элементы аннуитета являются постоянными величинами, то речь идет о постоянном аннуитете.

Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени в результате осуществления инвестиций, в общем случае сводится к исчислению следующих основных характеристик: F — будущей стоимости потока платежей; Р — современной стоимости потока платежей.

Суть определения будущей стоимости потока платежей рассмотрим на следующем примере.

Допустим, что инвестор в конце каждого периода (месяца, квартала, года) получает платежи С_р которые не являются одинаковыми. Если он будет инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то по его завершении он получит некоторую сумму денег F — будущую стоимость потока платежей (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Схема определения будущей стоимости потока платежей

Будущую стоимость потока платежей можно определить по формуле.

где F — будущая стоимость потока платежей; С_г — сумма платежа в конце периода t.

Платежи могут осуществляться чаще, чем раз в год (т > 1). В этом случае, если число платежей в году совпадает с периодичностью начисления процентов, будущую стоимость потока платежей можно определить по формуле.

Если денежный поток от инвестиционной деятельности является постоянным аннуитетом, будущую стоимость можно определить и по следующей формуле:

где С — величина постоянного платежа.

Инвестор создает фонд для покупки оборудования с ежеквартальным пополнением С = 100 руб. Ставка по депозиту равна 10% годовых. Какова будет величина фонда F к концу первого года (п= 1)?

Решение.

Величина фонда для покупки оборудования на конец первого года может быть определена, но формуле 2.2 и (или) по формуле 2.8.

Схема определения будущей стоимости постоянного аннуитета по формуле 2.2 приведена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Схема определения будущей стоимости постоянного аннуитета

Величина фонда к концу первого года по формуле 2.8 будет равна

Преобразуем формулу (2.8), чтобы получить значение С:

Данную формулу можно использовать для того, чтобы определить размер одинаковых ежегодных отчислений для формирования к определенному моменту времени фонда денежных средств требуемого размера, например, фонда, но выкупу лизингополучателем предмета лизинга у лизингодателя по окончании срока договора лизинга.

Пример 2.6.

Лизингополучатель планирует через год (п = 1) выкупить предмет лизинга у лизингодателя, для чего создает фонд в сумме 900 000 руб. Ставка, но депозиту равна 10% годовых. Какова будет величина постоянного ежемесячного платежа (т = 12)? Решение.

Величина постоянного ежемесячного платежа составит.

Приведенная стоимость постоянного аннуитета представляет собой будущую стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его.

учреждения, т. е. дисконтированную на величину-:

(1 + г/т)^пт

где Р — приведенная стоимость аннуитета.

Пример 2.7

Ежемесячный лизинговый платеж (т = 12) по договору лизинга в течение года (п = 1) составляет С = 27 465 руб. Процентная ставка по депозиту составляет 10% годовых. Определить приведенную стоимость аннуитета.

Решение.

Приведенная стоимость аннуитета:

Полученный результат означает следующее: для того, чтобы лизингополучателю выплачивать, но договору лизинга в течение года ежемесячно сумму С =27 465 руб., необходимо разместить на счете в банке иод 10% годовых сумму Р= 312 401 руб.

Таким образом, ежемесячные лизинговые платежи можно заменить одной выплатой в размере 312 401 руб. в начале одногодичного периода, поскольку эта величина при ставке, равной 10%, эквивалентна стоимости всех лизинговых платежей по договору лизинга.

Формулу приведенной стоимости аннуитета также можно использовать в случае, когда лизингодатель берет кредит на покупку предмета лизинга на условиях его погашения в будущем равными платежами ежегодно:

где Р — сумма кредита; г — процент по кредиту; С — платеж по кредиту; п — число лет, на которые берется кредит; т — величина платежей по кредиту в течение года.

Пример 2.8

Лизингодатель берет кредит на покупку предмета лизинга в сумме Р- 1 млн руб. с условием погашения через год (п = 1). Ставка по кредиту составляет 15% годовых. Определите величину постоянного ежемесячного платежа (т = 12).

Решение.

Величина постоянного ежемесячного платежа составит.