Введение в проблему собственных значений

Во многих задачах механики, физики, химии и связанных с ними задачах алгебры и вычислительной математики вместе с квадратной матрицей, А порядка п приходится рассматривать уравнение.

которое называют ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ или ВЕКОВЫМ УРАВНЕНИЕМ матрицы А, и однородную систему.

где Е — единичная матрица порядка п, х — вектор-столбец.

Уравнение (1.31) есть алгебраическое уравнение (многочлен) степени п вида.

Корни этого многочлена Л₍, i = 1, …, п называются собственными (характеристическими) значениями (числами) матрицы А. Однородная система (1.32) имеет ненулевое решение лишь в случае, при котором корни X_i являются собственными значениями матрицы А. Соответствующие каждому ненулевые решения х системы (1.32) называются собственными векторами матрицы А.

С точки зрения линейной алгебры ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ и векторах включает в себя составление характеристического многочлена (1.33), отыскание корней этого многочлена (собственных значений), решение для каждого Х₍ однородной системы (1.32), т. е. определение собственных векторов матрицы А.

Говорят о полной проблеме собственных значений, если требуется определить все собственные значения (и собственные векторы) матрицы А, и о частичных проблемах собственных значений, если требуется найти лишь отдельные собственные значения, например, максимальное или минимальное. Обобщенная проблема собственных значений возникает при решении системы.

Ах = ХВх, а общая — тогда, когда все коэффициенты матрицы Л зависят от X.

Существуют три группы методов решения второй проблемы линейной алгебры.

• • В первой группе методов (методы отражения, прямой вращения, итерационный вращения и QL-алгоритм) матрица приводится к какому-либо специальному виду, например диагональному или трехдиагональному, когда вычисление собственных чисел — простая задача.
• • Во второй группе (методы Данилевского, Леверье, Крылова, Ланцоша) матрицы приводятся к такой форме, для которой вычисление коэффициентов характеристического многочлена было бы тривиальным, т. е. производилось бы восстановление характеристического многочлена.
• • В третьей группе — методов интерполяции — собственные числа определяются с использованием интерполяционных многочленов.

ЛАППО-ДАНИЛЁВСКИЙ ИВАН АЛЕКСАНДРОВИЧ (1896—1931) — математик, основные труды которого относятся к теории функций от матриц и аналитической теории линейных дифференциальных уравнений.

ЛЕВЕРЬЕ УРБЕН ЖАН ЖОЗЕФ (Le Verrier Urbain Jean Joseph; 1811—1877) — французский астроном, работы которого посвящены проблемам небесной механики. Изучая неправильности в движении Урана, Л. показал, что причиной, их вызывающей, является находящаяся за пределами его орбиты неизвестная планета. Независимо от Дж. Адамса Л. вычислил (1846) положение этой планеты (Нептуна). Составленные им планетные таблицы потребовали колоссального вычислительного труда.

КРЫЛОВ АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ (1863—1945) — кораблестроитель, механик и математик. Работы К. по кораблестроению имеют большую ценность для математики и механики. К. занимался вопросами наиболее рациональной организации численных расчетов, разработал способ улучшения сходимости тригонометрических рядов, предложил метод решения векового уравнения. К. построил первую в России машину для интегрирования дифференциальных уравнений.

ЛАНЦОШ КОРНЕЛИУС (Lanczos Cornelius; 1893—1974) — американский математик венгерского происхождения. Л. занимался в основном математическим анализом и приближенными вычислениями. Известны ленточные алгоритмы Ланцоша, а также блочный метод Ланцоша в алгебре.