Песочная парадигма. 
Концепция самоорганизованной критичности

Парадигмой для самоорганизованной критичности служит простая на первый взгляд система: куча песка. Некоторые исследователи моделировали динамику песочных куч с помощью компьютерных программ; другие, такие, как Гленн Хелд с сотрудниками в Исследовательском центре им. Томаса Уотсона корпорации IBM, проводили эксперименты. Как модели, так и эксперименты дали сходные результаты.

Хелд со своими сотрудниками создал устройство, которое медленно и равномерно — по одной песчинке — насыпает песок на круглую подложку. Сначала песчинки остаются близко к тому месту, куда они упали. Вскоре они начинают громоздиться друг на друга, образуя кучу с пологим склоном. Время от времени, когда в каком-то месте склон становится слишком крутым, песчинки соскальзывают вниз, вызывая небольшую лавину. По мере добавления песка и увеличения крутизны склона средний размер лавин увеличивается. Некоторые песчинки начинают сваливаться с края круга. Куча перестает расти, когда количество добавляемого песка в среднем компенсируется количеством песка, сваливающегося с края. В этот момент система достигает своего критического состояния.

Когда на кучу, находящуюся в критическом состоянии, падает песчинка, она может вызвать лавину любого размера, включая «катастрофическое» событие. Однако большую часть времени песчинки падают так, что лавин не возникает. Мы обнаружили, что даже самые большие лавины захватывают лишь небольшую долю песчинок в куче, поэтому даже катастрофические лавины не могут привести к значительному отклонению крутизны склона от критического значения.

Лавина является разновидностью цепной реакции, или ветвящегося процесса. Несколько упростив динамику лавины, можно определить главные характеристики цепной реакции и построить модель.

В начале схода лавины одна песчинка соскальзывает вниз по склону в результате некоторой неустойчивости на поверхности кучи. Эта песчинка остановится только тогда, когда окажется в устойчивом положении; в противном случае она продолжит движение. Если она столкнется с песчинками, которые почти неустойчивы, она заставит их также катиться вниз. В ходе этого процесса каждая движущаяся песчинка может остановиться или продолжать падать, а также может вызвать падение других песчинок. Процесс прекратится, когда все «активные» песчинки остановятся или скатятся с кучи. Для измерения размеров лавины можно просто сосчитать общее число скатившихся песчинок.

Куча сохраняет постоянную высоту и крутизну потому, что вероятность прекращения активности в среднем равна вероятности ветвления активности. Таким образом, цепная реакция поддерживает критическое состояние.

Если форма кучи такова, что крутизна ее склона меньше критической (субкритическое состояние), то лавины будут меньше, чем при критическом состоянии кучи. «Субкритичеекая» куча будет расти, пока не достигнет критического состояния. Если крутизна склона больше критической (суперкритическое состояние), то лавины будут значительно больше тех, что генерируются критическим состоянием. «Суперкритическая» куча будет уменьшаться, пока не перейдет в критическое состояние. Как субкритическая, так и суперкритическая кучи естественным образом тяготеют к критическому состоянию. Что изменится, если вместо сухого песка взять мокрый или попытаться предотвратить лавины с помощью заграждений? Сначала влажная куча дает более редкие лавины меньшего размера, чем такая же сухая куча. Спустя некоторое время крутизна склона у влажной кучи вырастает до большего значения, чем у сухой. В этом состоянии влажная куча порождает лавины всех размеров: она эволюционировала к критическому состоянию. Аналогичную динамику можно наблюдать для кучи с «противолавинными» заграждениями. В целом критическое состояние устойчиво относительно любых малых изменений в характеристиках системы.

Песочная куча обладает двумя, на первый взгляд исключающими друг друга, свойствами: эта система неустойчива во многих различных местах и вместе с тем ее критическое состояние абсолютно устойчиво. С одной стороны, конкретные свойства, такие, как локальный рельеф кучи, постоянно меняются из-за лавин. С другой — статистические свойства системы, такие, как распределение размеров лавин, остаются неизменными.

Наблюдатель, изучающий какую-то область кучи, может легко выявить механизмы, вызывающие падение песка, и даже предсказать, возникнут ли лавины в ближайшем будущем. Для локального наблюдателя большие лавины останутся, однако, непредсказуемыми, потому что они являются следствием эволюции кучи в целом. Независимо от локальной динамики лавины будут неумолимо возникать с относительной частотой, которую нельзя изменить. Критичность является глобальным свойством песочной кучи. Несмотря на то что песок добавляется к куче с постоянной скоростью, количество песка, ссыпающегося с кучи, значительно меняется со временем. Если нарисовать график этой величины в зависимости от времени, то мы увидим хаотический сигнал со следами всех длительностей. Такие сигналы известны как «шум мерцания», или «фликкер-шум», или шум 1/f. Как известно, шум мерцания указывает на то, что на динамику системы влияют прошлые события. И наоборот: «белый», или случайный, шум означает отсутствие корреляции между текущей динамикой и прошлыми событиями.