Лекция 5. Применение уравнения Бернулли в расчетах

1. Потери давления на предоление местных сопротивленй и на трение.

Рассмотрим, что представляет собой потерянное давление, входящее в уравнение Бернулли (1.25). Различают потери давления на преодоление местных сопротивлений и потери на трение.

Потери давления на местных сопротивлениях возникают при резком изменении величины скорости и направления движения газа. Это может быть резкое изменение сечения канала, поворот канала под всевозможными углами и т. д.

Потери давления на местных сопротивлениях определяют по формуле (Па):

(1.26).

где К_м.с. — коэффициент местных сопротивлений, его величина зависит от формы местного сопротивления и, как правило, определяется опытным путем или по справочным таблицам;

₀, W₀ — плотность и скорость газа при нормальных условиях, т. е. при атмосферном давлении 760 мм. рт. ст. и Т₀=273 К;

Т — действительная температура газа, К.

Если при движении газа по каналу, газопроводу местных сопротивлений нет, т. е. участок прямой, то все равно имеют место потери первоначального давления — это потери на трение. Потери давления на трение можно определить по следующей формуле (Па):

(1.27).

где — коэффициент трения; l — длина канала, м; d_г— гидравлический диаметр канала, в случае некруглого сечения _, F — площадь канала, м²; П — периметр канала, м.

Существуют эмпирические формулы для определения коэффициента трения. При ламинарном движении (Re2100) коэффициент трения зависит от Re и не зависит от шероховатости стенок канала: .

При турбулентном движении (Re2300) коэффициент трения зависит не только от критерия Re, но и от относительной шероховатости стенки канала .

Если для гладких стенок при турбулентном движении, то для шероховатой поверхности ,.

где — абсолютная шероховатость, мм; d — диаметр канала, мм;

При приближенных практических расчетах можно принимать постоянным и равным для кирпичных каналов 0,05, для металлических 0,04.

2. Истечение газов через отверстия с острыми кромками

Истечение газов через отверстия и насадки наблюдается при работе горелок, форсунок, при выбивании газов через отверстия в стенах печи и в других случаях. Установим связь между количеством вытекающего газа (расходом), размерами отверстия и давлением, под которым происходит истечение. Для простоты возьмем истечение несжимаемого газа, температура которого в процессе истечения практически не изменяется. Рассмотрим отверстие с острыми кромками.

Положим, что из сосуда очень больших размеров, в котором давление Р₁ газ вытекает через отверстие сечением f₀ в среду с давлением Р₂ (рис. 1.).

Рисунок 1.

Для определения скорости истечения газа W₂ напишем уравнение Бернулли для сечения I и II. Поскольку температура газа неизменна и сечение I и II находятся на одной высоте, то принимаем Р_геом1= Р_геом2.

Пренебрегая потерями, запишем:

. (1.28).

Сосуд больших размеров, поэтому W₁=0.

Тогда .

Отсюда скорость истечения газа W₂ (м/с) равна:

(1.29).

В силу инерции частиц истекающего газа сечение ff₀. Отношение f/f₀= называется коэффициентом сжатия струи.

Для определения расхода газа V (м³/с) через отверстие f₀ найдем, что, но, следовательно,.

. (1.30).

С учетом гидродинамических потерь при истечении через отверстие это выражение принимает вид:

(1.31).

где — коэффициент скорости, учитывающий гидравлическое сопротивление отверстия.

Произведение = называется коэффициентом расхода.

Если истечение происходит через стенку или свод печи, на поду которой давление равно атмосферному, то статическое давление в формулах (1.29) и (1.31) обусловлено разностью плотностей печных газов и воздуха:

.

Тогда формулы (1.29) и (1.31) принимают вид:

; (1.32).

. (1.33).

Величина Н в данном случае — высота отверстия над уровнем пода печи.

3. Истечение газов через насадки

Насадком называют короткий патрубок, присоединенный к отверстию в тонкой стенке. Длина насадка обычно 3−4 его диаметра. Количество газа, протекающего через насадок, зависит от формы входных кромок и формы самого насадка. Рассмотрим цилиндрические насадки трех видов (рис. 1.).

Рисунок 1.

Пользуясь уравнением (1.29), получим следующие расчетные формулы:

для насадки с острыми кромками.

; =0,85; (1.34).

. (1.35).

Для насадков с закругленными кромками и диффузора.

. (1.36).

Для этих насадков за счет закругленных кромок в сечении III струи и отверстия равны друг другу, поэтому =1,0. Сравнение формул (1.35) и (1.36) показывает, что наибольший расход при одинаковом значении Р₁-Р₂ и при одинаковом минимальном сечении насадков получается при истечении газа через диффузор.

4. Расчет высоты дымовой трубы

Дымовая труба служит для удаления продуктов сгорания из печи. Необходимое разряжение создается в дымовой трубе, т. к. из-за разности плотностей холодного наружного воздуха и горячих газов горячие газы стремятся подняться вверх.

Найдем зависимость разрежения создаваемого трубой, от высоты трубы Н и температуры газов (рис. 1.).

Рисунок 1.

За уровень отсчета принимаем сечение II. Напишем уравнение Бернулли для сечения I и II:

Р_геом.1+Р_ст.1+Р_дин.1= Р_геом.2+Р_ст.2+Р_дин.2+Р_пот.

Труба в сечении II сообщается с атмосферой, поэтому Р_ст.2=0.

Тогда Р_ст.1= -Р_геом.1+Р_дин.2 -Р_дин.1+Р_пот

Умножим правую и левую части уравнения на минус единицу:

• -Р_ст.1= Р_раз.= Р_геом.— (Р_дин.2 -Р_дин.1)-Р_пот
• (Следовательно, у основания трубы Р_ст1 отрицательное, т. е. Разряжение)

Р_пот.= Р_тр.+К_м.сР_дин.2

На выходе из трубы К_м.с.=1, тогда Р_пот.= Р_тр.+ Р_дин.2

Вследствие этого можно записать:

Р_разр.=Р_геом.+Р_дин.1-2Р_дин.2-Р_тр. (1.37).

,.

Температура газов по высоте дымовой трубе и ее сечение существенно изменяются, поэтому в расчете и W определяются по средней температуре по высоте трубы для Р_геом. и Р_тр.

.

Подставим в уравнение (1.37) Р_геом., Р_дин.1, Р_дин.2, Р_тр и выразим их через скорости и плотности при нормальных условиях (W₀, ₀):

Па, (1.38).

где — плотность газа и воздуха при нормальных условиях, кг/м³;

d_cр — средний диаметр по высоте трубы, м;

W_o1, W_o2 — скорость газов в сечениях I и II при 0 ⁰С;

W_oср — средняя скорость газов по высоте трубы при 0 ⁰С;

t_в — температура окружающего воздуха, ⁰С;

t_г1 и t_г2 — температура газа в сечениях I и II, ⁰С;

— средняя температура газов по высоте трубы, ⁰С;

Если учесть, что.

;; где Т_о=273К, то запишем:

. (1.39).

Отсюда определяем высоту дымовой трубы H (м):

. (1.40).

Обычно Р_раз=1,3Р_пот.